Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ПОСЛЕДОВАЧЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИИ 1.3.1. Биномиальная формула. Многочисленные практические задачи укладываются в следующую схему последовательности независимых испытаний, называемую иногда схемой Бернулли. Пусть производится и независимых испытаний (повторений эксперимента при .неизменных условиях).
В результате каждого испытания с вероятностью р появляется событие А. Вероятность противоположного события А, т. е. непоявления события А, равна г)=1 — р. Необходимо определить вероятность Р (я) того, что в данной последовательности и независимых испытаний событие А появилось точно й раз, 0(й(п. Решение этой задачи, которое получается простым применением правил сложения и умножения, описывается следующей формулой: (д) (~ ) д)д — д ~а/ где ( = и' ди д ) ы(п — д)! (1.20) — число сочетаний из и элементов по я. Нетрудно заметить, что Р (й) равно коэффициенту при хд в разложении бинома (д+ +Рх)" по степеням х.
Поэтому формулу (1.20) часто называют биномиальной. 13 Соотношение (1.18) называют формулой полной вероятности. Эта формула позволяет определить вероятность события А, если известны априорные вероятности гипотез В,, В„и апостернорные вероятности события А при условии, что одна из гипотез подтвердилась. 1.2.5. Формула Байеса. Пусть, как в п. 1.2А, совокупность событий (гипотез) Вь „,, В„составляет полную группу. Используя правило умножения, находим Р(В ) 1) Р(В )Р(А)В~) Р(А) и, подставив вместо вероятности Р(А) ее значение по формуле полной вероятности (1.18), получим формулу Байеса 1 (В )А) Р(вд) Р(л)Вд) (1.19) л 2, 'Р (Вд) Р (А ~Вд) д=! Если известны априорные вероятности гипотез Вд, Й= 1, и, и апостериорные вероятности события А при условии Вд, то по формуле Байеса можно найти апостериорную вероятность гипотезы Вд при условии, что событие А осуществилось.
Формулу Байеса поэтому называют иногда формулой обратной вероятности. (1.236) где Г (х) = ) гк — ! е т т(г (1.23г) о — гамма-функция, которая при целочисленном аргументе х=т Г(т) = (т — 1)1, т= 1. (1.23д) 1.3.2. Асимптотика Муавра — Лапласа. В тех случаях, когда число независимых ~испытаний велико, непосредственное вычисление вероятностей по формуле (1.20) представляет большие трудности, так как при этом определение биномиальных коэффициентов связано с вычислением факториалов при больших аргументах. Факториал можно с достаточной точностью получить, применив так называемую асимптотичесхую формулу Стирлинга' т1 ]/г2п т"+из е ™.
Функция Р„(й) целочисленного аргумента достигает максиму- ма при тз=м = [(я+1))з], (1.21) где символ [х] означает целую часть числа х. Вероятность того, что событие А появится не более т раз: Р„(й(т) = г, Р„(я) =;~ ~ ) р" ол ~ 1.22) а=о а=ох Сумма в правой части (1.22) равна отношению неполной бета- функции к полной Х 1 ~)рау" а=1д(и — т, т+1)= д( ', (123а) а=о~а) В(л — ш, гл+ 1) где неполная Вд(х, у) и полная В(х, у) бета-функции представля- ются интегралами В (х, у) = [г' — ' (1 — г)л — ' с(г, о 1 В (х, у) = )" г' — ' (1 — г)д — ' г(г.
(1.23в) о Для того чтобы убедиться в справедливости равенства (1.23а), достаточно подставить в его правую часть интеграл (1.236), продифференцировать обе части по ц и воспользоваться табл~ич- ным выражением В(х, у) =Г(х) Г(у)у'Г(х+у), т Символ (асимптотическое равенство) озвачает, что отношение двух выражений, соединенных этим символом, стремится к единице при неограниченном возрастании ш. Формула Стирлинга справедлива и для гамма-функции Г(ш-ь1), где ш не обязательно целое число. 14 Используя формулу Стирлинга, при п-~со из (1.20) с точно)о до малых порядка 1/)/ п можно получить следующее асимпто ическое равенство: Р„(/ь) ехр 1 — —" к~ (1.24) о $/2п 2 где х„ь = Р, о = )/ пРФ о Формула (1.24), которую иногда называют локальной формулой Муавра — Лапласа, является искомым асимптотическим приближением вероятности Р„(й), точное значение которой дается биномнальной формулой (1.20).
Вероятность того, что число появлений события при и независимых испытаниях находится в пределах от Й, до йк„можно подсчитать с помощью асимптотической формулы Р(й,(й(йк) =Р(а(х„ь<Ь) - ")ехр ~ — — ') с(з, (1.25) )/2п а где а= Я,— пр)/а, Ь= (Ьк — пр)/о. Формула (1.25) является аналитическим выражением так назы~ваемой интегральной теоремы Лапласа.
1.3.3. Асимптотика Пуассона. Во многих практических задачах, относящихся к схеме последовательности большого числа независимых испытаний (п»1), вероятность появления события при одиночном испытании относительно мала, так что р=),/и, (1.26) где ) — положительная величина. Рассмотрим вероятность того, что событие А при и испытаниях не появляется вовсе.
На основании (1.20) и (1.26) эту вероятность можно представить в виде Р (О) = (1 — р)"= (1 — )./и)", откуда 1п Р~ (О) =п 1п(1 — )./п) = — ),— У/(2п) — „. Если и»).', то в разложении логарифма в ряд,можно огра|ничиться первым членом, тогда Р„(0) — е-к. (1.27) Далее при фиксированном й Рп(е) к (к 1)Р (1.28) Рп (Й вЂ” 1) Йд Й 1(ри й=1 из (1.27) и (1.28) следует Р,(1) -Хе-х. Аналогично 13 при й=2 имеем Р (2) (Ло/2)е ".
При любом целом й получаем асимптотииескую формулу Пуассона Р„(й) - е-", Л О, й) О. (1.29) Используя (1.29), .находим вероятность того, что событие появляется не более т раз: т )о Р„(й(т) = Х вЂ” е х=- Р(т, Л). (1.30) »=о' »»1 Функцию Р(п», Л) можно представить интегралом 1 Р(т, Л) = — )гме — "йг, о»1 (1.30а) При Л = 0 интеграл (1.30а) — гамма-функция Г (т+ 1), которая при целочисленном аргументе равна т! 1см.
(1.23г и д)). Интеграл Г (т + 1, Л) = ) г е — ' йг = Г (т -1- 1) — ) г е — ' йг (1.31) о х Формула (1.30) может называется неполной гамма-функцией. быть записана следующим образом: Р(т, Л)=1 —— Г (о»+ 1) (1.32) 1.4. ПРОСТАЯ ЦЕПЬ МАРКОВА Предположим, что исходом каждого испытания может быть не одно из пазух событий А или А, а одно событие из.полной группы несовместимых событий А„..., А .
Простейший вид вероятностной связи состоит в том, что условная вероятность р»мц появления какого-то событ~ия А»,при (в+1)-м испытании зависит только от того, какое событие А» появилось при з-м испытании, и не зависит от того, какие события появились при более ранних испытаниях. Такая последовательность событий называется простой цепью Маркова. Если условная вероятность рц перехода от события А» к событию А; обусловлена только этими событиями, но не за~висит от номера испытания, то соответствующая простая цепь Маркова называется однородной.
Следующее повышение сложности состоит в учете появления двух или более событий, предшествовавших данному испытанию. Подобным образом можно, получить все более сложные цепи Маркова. Как следует нз приведенного определения, для описания простой однородной цепи Маркова необходимо указать условные вероятности появления события А» после события Аь», 1=1, т. 16 Этн!вероятности называются переходными; они могут быть располотакены в виде таблицы: Ры Раа ... Рати Раа Раа ...
Ра (1.33) Ртп! Ртпа ., Ртптп Такая таблица называется матрицей переходных вероятностей (или стохастической матрицей). Необходимо задать также априорные ~вероятности р»(1) осуществления каждого из событий А» в ~первом испытании. Матрица М переходных вероятностей вместе с вектором априорных вероятностей р(1) = 1рт(1), ..., р (1)) полностью определяют простую однородную цепь Маркова. Поскольку при каждом данном испытании появление одного нз событий, составляющих полную группу, достоверно, то сумма переходных вероятностей .в каждой строке матрицы М равна единице, т. е. (1.34) Храт=1 »=1, т. т'=! В соответствии с формулой полной вероятности вероятность появления события А, во втором испытании Р7(2)= Хр (1),оц, 1=1, и! т=! нли в,векторной записи (1.35) р(2) =Мр(1). Общее соотношение между векторами р(1) и р(в) имеет вид р(в) =М'-ар(!), в)!.
(1.36) Справедлива теорема, согласно которой для однородной простой цепи Маркова с положительно определенной матрицей М (1.37) 1ппр(а) = р, где р — вектор предельных вероятностей появления событий, который не зависит от р(1) и является собственным вектором матрицы М, принадлежащим характеристическому числу, равному единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
