Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Отказ от однозначного представления указанных результатов объясняется обычно гае столько сложностью изучаемого явления, сколько незнанием всех причин, связанных с его возникновением илн невозможностью задать необходимое число начальных данных. Математическая модель эксперимента (испытания, наблюдения, измерения), которая является основой излагаемой далее теории, определяется фиксированным комплексо)м условий и возможностью многократного повторения эксперимента при этих условиях. Результаты эксперимента могут быть детерминированы в том смысле, что условия эксперимента однозначно определяют его результат.
Они могут быть неоднозначными в том смысле, что при неизменном комплексе условий эксперимента невозможно заранее предсказать его результат. Непредсказуемый результат эксперимента называют случайным событием. Теория вероятностей изучает закономерности случайных событий и способы их количественного описания. Если наблюдать длинные сер~ни результатов эксперимента, то обнаруживается следующая закономерность: отдельные результаты могут отличаться друг от друга, но средние значения, относящиеся к сериям результатов, остаются постоянными, проявляют статистическую устойчивость. Такая статистическая устойчивость является еще одной особенностью рассматриваемой математической модели эксперимента. Наконец, предполагается, что априори (до осуществления эксперимента) из~вестно множество возможных результатов эксперимента. Рассмотрим некоторое случайное событие А — один из возможных результатов эксперимента.
Пусть при и повторениях эксперимента событие А появляется т,~ раз. Величина 7 (1.1) т„(А) = в!л!и называется частотой появления события А при п экспериментах. Очевидно, что ч„зависит от п. При наблюдении за ней в любой длинной серии рассматриваемого эксперимента обнаруживается статистическая закономерность — устойчивость частоты, т. е. приблизительно одни и те же значения величины т . При достаточно большом и эта частота, мало изменяющаяся при увеличении а, может служить количественной мерой статистической закономерности появления события А. Ясно, что частота появления события не может быть отрицательной или превосходить единицу, т.
е. (1.2) 0<т„<1, Если под событием А понимать появление любого результата из множества априори возможных результатов, то тл=н и ч„=1. Если А и  — несовместимые события, а в!л и тв — числа появлений этих событий в серии и экспериментов, то число появления события А или В ра|вно та+та и, следовательно, (1.3) Ул или в = Ул +Ув. 1.1.2. Алгебра событий.
Как уже отмечалось, рассматриваемая модель эксперимента априори характеризуется множеством возможных результатов. Каждый элемент этого множества называется элементарным событием, а ~все множество, обозначаемое символом Р, — пространством элементарных событий. Подмножества множества 11 называют событиями.
Вводятся д~ве логические операции над события!мм: объединение событий (логическая операция ИЛИ) и пересечение (совмещение) их (логическая операция И). Объединением (суммой) событий А |и В, обозначаемым символом А()В, называется событие, состоящее в появлении А или В или того и другого события. Объединением совокупности событий А!, ..., А„, обозначаемым () Аы называется событие, состоящее в появлении, по крайней »=! мере, одного из событий А», й=1, и. Пересечением (!произведением) событий А и В, обоз|начаемым символом АПВ, называется событие, состоящее в совместном появлении событий А и В (имеется в ~виду совместимость, в общем случае логическая, а не обязательно во времени и пространстве).
Пересечением совокупности событий А!, ..., А„, обозначаемым и () А», называется событие, состоящее в совместном появлении »-! всех событий А», й=1, и. 8 Событие, включающее все элементы ~пространства й, называется достоверным. Событие, не содержащее ни одного элемента пространства 11, называется невозможным (пустое множество, обозначаемое символом О). События А и В называются несовместимыми, если их пересечение невозможно: АДВ=О. Совокупность несовместимых событий образует полную группу, если объединение этих событий дол стоверно: Ц А;=11, АДА,=И, 1чь), 1, 1=1, и.
с=~ Противоположным (дополнительным) событием А событию А называется событие, состоящее из всех элементов пространства Я, .не принадлежащих А. События А и л образуют полную группу событий, так как АЦЛ=Й, АДА=О. Событие А влечет за собой В (Ас:.В), если,при появлении события А обязательно происходит событие В. Если А влечет за собой В и В влечет за собой А, то события А и В называются эквивалентными (А = В). Система подмножеств еиножества й называется алгеброй .Ф, если из того, что А енФ, 1=1, и, следует ЦА;яма, ДА~яФ, и если а Ая,яг, то АеиФ. Таким образом, алгебра есть класс множеств, замкнутых относительно;конечного (для булевой алгебры) или счетного (для сигма-алгебры) количества операций объединения, пересечения и дополнения, В качестве системы событий в теории ~вероятностей рассматриваются системы множеств, которые представляют указанные алгебры.
1.1.3. Аксиомы теории вероятностей. Основанием теории вероятностей служат аксиомы, сформулированные А. Н. Колмогоровым. Пусть 11 — пространство элементарных событий и Ф вЂ” алгебра событий. Вероятность и ее свойства определяются следующими аксиомами: 1. Каждому событию АыФ соответствует действительное число Р(А), называемое вероятностью события А, такое, что 0( <Р(А) (1. 2. Р (11) = 1.
3, Если АДВ=О, то Р(АЦВ) =Р(А)+Р(В). Нетрудно убедиться, что аксиомы теории вероятностей представляют абстрактные эквиваленты приведенных свойств частоты появления события при многократном повторении эксперимента в неизменных условиях. Аксиома 1 постулирует статистическую устойчивость частоты в длинной серии испытаний и отображает основное свойство частоты, выраженное неравенствами (1.2). Аксиома 2 постулирует достоверность появления какого-либо результата из множества возможных результатов эксперимента. Аксиоме 3 соответствует соотношение (1.3), относящееся к частоте .появления события, которое представляет объединение двух несовместимых событий.
1.2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ 1.2.1. Правило сложения вероятностей для несовместимых со- бытий. Если Аь ..., А„— несовместимые события, то вероятность появления одного из событий Аь илн Ам или ..., нлн А~ равна сумме вероятностей этих событий: г л ! и Р~() Ад~ = ХР(Ад), А!ПАд= 45, д, й=1, и. д-! д, Формула (1.4) 'непосредственно следует из аксиомы 3 (см.
п. 1.1.3). Если несовместимые события Аь ..., А„составляют полную группу, то одно из них появляется обязательно и, следовательно, и Р( Ц Ад) =1. Учитывая (1.4), получаем для полной группы сод=! бытий (1.5) ~, 'Р(Ад) =- 1. д=! Полная группа может представлять счетное множество событий, причем Р(А„)-+О при и-д.ьо, так что Х Р(Ад)=1.
д=! Если !полная группа состоит из д|вух событий А и А, то нз (1.5) следует Р(А) = 1 — Р(А). (1.6) Пусть и случайных событий, составляющих, полную группу, равновероятны, т. е. Р(Ад) =р, й=1, и. По формуле (1.5) находим вероятность р появления одного из и равновероятных событий, составляющих полную группу: р =17и, (1. 7) В соответствии с (!.4) и (1.7) вероятность одного из т(и событий, входящих в полную группу и равновероятных событий, Р(0 Ад1=— (1.8) и 1.2.2. Правило умножения. Два события А и В называют зависимьдми, если вероятность события А зависит от того, произошло или нет другое событие В. Вероятность совместного наступления двух зависимых случайных событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность появления другого, вычисленную в предположении, что первое событие совершилось; Р(АПВ) =Р(А)Р(В(А) =Р(В)Р(А~В).
(1.9) В (1,9) входят ~вероятности двух родов: безусловная вероятность события А (события В) и условная вероятность события В !О (1.12) 11 (события А), в предположении, что,пронзен)ло событие А (собы- тие В), Поэтому безусловные вероятности Р(А) и Р(В) иногда называют априорными, а условные вероятности Р(В(А) и Р(А ) В) — апостериорными, Когда события А и В независимы, апр|иорные и апостериорные вероятности становятся равными друг другу: Р(В(А) =Р(В), Р(А)В) =Р(А) (1.10) и из (1.9) следует Р(АПВ) =Р(А)Р(В), (1.11) Равенство (1.11) может служить определением независимости двух случайных событий А и В ~и распространяется на произволь- ное число независимых (в совокупности) событий А), ..., А„: Р(И А)=ПР(А).
Если события А), ..., Ал зависимы, то Р (о А ! — Р(А)Р(А)А)Р(А)А иА).,Р(А„О А ). (113) 1.2.3. Правило сложения для совместимых событий. Рассмотрим сначала совокупность В, В независимых событий. Пусть Ни — событие, противо- положное событию Вь Тогда появление хотя бы одного (безразлично како- го) из событий В, исключает возможность совместного наступления всех л л событий Вь ..., в . Поэтому,в соответствии с (1.6) Р( 0 ВА)=1 — Р( 0 Вз). а=! а=! Так каи Вь,, В взаимно независимы, то по правилу умножения (1.121 л л Р( 0 Вл)= П Р(ВА). Кроме того, Р(ВА)=1 — Р(ВА). Следовательно, а=! а=) Г л л Р ~ () Ва) =1 — Ц[1 — Р(ВаЦ.
(1.14) з=! Формула (1.14) позволяет вычислить вероятность наступления по меньшей мере одного из совместимых незааиоимых событий В„..., В„по заданным вероятностям этих событий. Выполним умножекие в яра~вой части (1.14) и обозначим л л л 5 = ~~ Р(В!), ЗАлл ,'~~ ,'Я Р(ВВ Р(ВВ, )=! 1=1 1=) и и 3,= ~( „,2,' Р(В,. )„Р(В! ), 1 <1~<..<(,<и. (,=! ! =! и (Каждая комбинация индексов в суммах появляется один и только один раа, 1' и! и) поэтому Я, содержит ( ) = членов.) Последний член (( г ) г1(и — г)! и — П (а) а=! 'Тогда формулу (1.14) можно переписать в виде ч 10 "1= -' +-." а=! (1.
!5) В частном случае при л=2 нз (1.15) следует Р(В1ЦВг)=5~ 5г=Р(В~)+Р(Вг) — Р(В~)Р(Вг). (1.16) Так как в сумму 5,=Р(ВА+Р(Вй дважды включаются те случаи, когда события В, и Вг появляются совместно, то нз нее вычитается вероятность 5г=- =Р(ВАР(Вй совместного появлен~ия независимых событий Вг и Вг. Для произвольного л формула (1.16) трактуется аналогично на основании так называемого принципа включения и исключения; включается все и исключается лишнее, включается ошибочно исключенное и т, д., т. е, попеременное включение и исключение.
Используя этот проницал, нетрудно доказать, что формула (1.15) остается справедливой и для совокупности зависимых событий, если только в формулах для 5, заменить произведения вероятностей вероятностями оовмешен~ия событий: л я 5,=;Р~ ... ~ Р(В! ПВ! () „, ПВ;,) г,< 1,< <1„<п. г, 1 1.2А. Формула полной вероятности.
Иногда необходимо определить вероятность события А, появляющегося с одним из и взаимно несовместимых событий Вг,, В„, составляющих полную группу, т. е, А= и (АПВ„). а=! События Вь, 'к=1, и, часто называют гипотезами, связанными с наступлением события А. Так как при 1=~1 (АЯВ!)П(АПВ1) ФО, то, используя правило сложения, представим вероятность события А в виде суммы Р (А) = Р 1 Ц (А П Вь)1 = ~ Р (А П Ва). а=! Согласно, правилу умножения каждое слагаемое этой суммы Р(АПВа) =Р(Ва)Р(А(Ва) и, следовательно, Р(А)= Х Р(В,)Р(А)В,). (1.18) (1.17) 12 Первый член 5~ л (1.15) всегда ранен сумме вероятностей, т. е.
соответствует несовместимоспи событий, а остальные члены дают поправку за счет того, что события в действительности совместимы. Тогда, когда вероятностями совмещения событий можно пренебречь по сравнению с априорными вероятностямн самих событий, вместо обобшеггного пра~вила сложения (1.!5) можно с известным приближением пользоваться обы гным правилом (1.4) для совместимых событий. ЬЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
