Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Многомерная функция совместного распределения выражается через многомерную плотность при помощи интеграла Р.» (х»!) = ) и „(а",) дп»!, '! » (2.41) где Ỡ— область и-мерного эвклидова пространства, определяемая системой неравенств — оо(и!(х!, !=1, и. Дифференцируя обе части (2.37а) по переменным х„..., х, получаем иы,... ь (х,,.... х,„) = ~, ~иь ...
~ (х,..., х„)йх +! ...йх». (2,42) (2.43) 2.3.3. Числовые характеристики совокупности случайных величин. Наиболее общей числовой характеристикой совокупности и случайных величин является следующий смешанный момент совместного распределения: тм „. ь я!,..., ~„) = )", )хь ...хь»им»„» (х„..., х„)йх!...йх„, (2,44) где й,— любые положительные числа (включая и нуль), 1'=1, н. 28 Таким образом, по известной н-мерной плотности вероятности всегда можно определить плотность вероятности любой группы т случайных величин (1(т(п) путем интегрирования в бесконечных пределах по остальным н — т переменным. Обратное, вообще говоря, неверно, т. е.
по многомерным плотностям частей совокупности случайных величин нельзя найти плотность вероятностей всей совокупности. Исключение из этого общего правила составляет совокупность совместно независимых случайных величин, для которой (см. (2.38)) ие, ... » (х„..., х„) = йи»,(х!). !=1 При й»=1, й;=О, 1=1, ..., ( — 1, 1+1, ..., и из (2.44) получаем среднее значение случайной величины ~,; т,(ч;)= )" )хгш»,,...» (х,,..., х„)йх,...йх„= ) х, ш;; (х;) йх; = а»и (2.46) Смешанный центральный момент второго порядка случайных ве- личин $; и $» КО =сот ($о $т) = ),, ) (х, — а»,) х — О (хз — а».) ш»„..., » (х„..., х„) йх,...дх„=- ) (х,— а»,) (хз — а»,) ш»».(хо х,) йх, йх, (2.46) и ковариационной (корреляционной) магрицей (см. (2.46)) К» = (К;;) = о' К» о, (2.50) где 11» — матрица коэффициентов корреляции, а — диагональная матрица с элементами о» .
1=1, и, на главной диагонали. Ковариационная матрица К» представляет симметричную, положительно определенную матрицу размером пХп. Положитель- 29 называется ковариацией случайных величин Ц» и фь При 1=1 ковариация представляет дисперсию случайной величины $ь Безразмерное отношение )т»,» = сот($о 5т)/о» о»,, (2.4?) где о» = )? р,», называется коэффициентом корреляции случайных величин $; и $ь Можно доказать (используя неравенство Буняковского Шварца), что !%»т~~' (2. 48) Если случайные величины $, и $; независимы, то Р»,;; =О. Обратное утверждение о независимости $, и $; при )т»,»,.
=0 в общем случае несправедливо. Две случайные величины, для которых коэффициент корреляции равен нулю, называются некоррелированными. Таким образом, независимые случайные величииы всегда некоррелированы, но не наоборот. Если ограничиться моментами порядка не выше второго, то совокупность случайных величин $ь ..., ~„можно характеризовать вектором средних а» = (а»,, ..., а»„) (2.49) ная определенность матрицы Ки означает, что для любых дейст- вительных чисел Л1, ..., Л„ л л ~ хЛ1Л,К!1~0 1=1 1=! или в векторной форме (2 51а) Л' Ке Л ~ О, (2.51б) где вектор-строка Л'= (Л1, ..., Л )'. Необходимое и достаточное ус- ловие положительной определенности матрицы Кв записывается в виде де1Ка) О, (2.51в) ТОЧКИ Хлт +1'. откуда (см.
(2.41)) В „(Хи1) аии! т 1 „л о Р (~'"<хв~$и Д,П '! „и л!+1 Когда область д„„стягивается в точку х" +1, получаем функцию т+1 й'(х,"~х"+,) = !Ип РЯ",'<х",'~Ц+,сна„„ ил в+1 !и+ ! в „( хи1) дх~! Ов (2.52) ) В „( Хи1) аз~! т 1 которая называется исловной функцией распределения случайно- ГО ВЕКтОРа йв1, ПРИ УСЛОВИИ, ЧтО ЗаВИСИМЫй От НЕГО СЛУЧайНЫЙ ВСКТОР а~в+1=Х в+1.
30 2.3.4. Условные функции распределения. Рассмотрим совокупность $1, ..., $„зависимых случайных величин и используем правило умножения для определения вероятности пересечения событнй 4в! =Х, И Ви -1!ЕН и„„, ГДЕ Д „— МаЛаЯ ОКРЕСтНОСтЬ ")и+1 ил+1 хд) д(хд к, — ) ве, 1„(х„хх) д(хд. вм (хд) хд) д(хд (2.53) ВычислЯЯ смешаннУю пРоизводнУю от Р(х д(х" +,) по х„. ., х , получаем условную плотность вероятности в.„( х") в ( х",' ~ х", ) = в „( х" +,) в+1 (2.54) Для совокупности двух случайных величин из (2.54) следует из 1 (хд, хх) в (хд)хх) = ' вз (кх) (2.55) Формулу (2.54) можно переписать в форме, аналогичной форме правила умножения для случайных событий." в „(х",) = в, (х",) в(х',"~х"~,) = в „, (хв) в(х",) хв), (2.56) а также в „(х",) = в,(х) Пв(хх+д)хх1).
(2.57) Заметим, что этот аналог правила умножения для случайных величин выражается через плотности вероятности, а не через функции распределения. Из (2.56) следуют аналоги формулы полной вероятности в (х",') = ) в,„(х" +,) в (х'," ~ х" +,) д(х" (2.58) х" и формулы Байеса и „( х"+,) в(хд ~х"+,) в (х" +, ~ х",')— в„в ( х~д) %~ в „(х" +,) в ( х~д~ х "+,) т+! (2.59) в„(х +)в(х )х +)д)х + х и — хд дхд+1 31 Для совокупности двух лучаем из (2.52) к, ве Е (к„ Р (хд)хд) ) вт 1 (хд, случайных величин (а=2, од=1) по- 2.3.5.
Условный среднее значение и дисперсия. При помощи условных плотностей вероятности можно определить и условные числовые характеристики случайных величин. Если имеется совокупность зависимых случайных величин 5ь ..., $, то условное среднее значение случайной величины при ф"к=х", а „„=т, ($,5"=хЯ = ~хкв (х,(х") йх„ (2.62) а условная дисперсия )кк(зк($ = х"( = ) (хк а ) в (х (х") йхв (2.63) 2.4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕИ 2.4.1.
Многомерная нормальная плотность вероятности. Важнейшим для практических приложений является нормальное распределение совокупности случайных величин, которое определяется следующим выражением многомерной плотности вероятности этой совокупности: ве (х) = ехр ( — — (х — ае)' К1 ' (х — аь) ), (2.64) 3' (2н)" ем Кь к к где К-'1 — матрица, обратная матрице К1.
Из (2.64) следует, что нормальное распределение совокупности случайных величин полностью определяется вектором средних значений аь и ковариационной матрицей К1. Совокупность случайных величин, подчиняющуюся нормальному закону распределения, называют гауссовской. Матричному представлению (2.64) многомерной нормальной плотности вероятности соответствует следующее ее выражение через скалярные величины: 1 вм, 1 (х»..., х„) = Х сь, е„ф (2н)" О ! " " к~ — еч кь — вл 1 Хехр — — ~ ~ Р„ У 2к) е~ аь (2.65) 32 Для совокупности двух случайных величин из (2.58) из (2.59) получаем в1 (хк) = ) ым (хк) Гю (хк ! хк) йхв (2.60) ве (кк) в (к~ (кк) и (х,1х,) = (2.61) ) ве (к,) в (к,!кк) екк нч (х) = ехр(-- ), (2.66) которая определяется двумя параметрами: средним значением и дисперсией о'.
Как видно из рнс. 2,4, кривые плотности нормального распределения при различных значениях дисперсии унимодальны, т. е. имеют один максимум в точке х=а. Кривая плотности в полосе а~За ограничивает 99,7$ общей площади, т. е. с вероятностью 9,997 значения гауссовской случайной величины попадают в интервал (а — Зо, а+Зо).
Нетрудно показать, что точки перегиба, в которых кривая плотности имеет максимальную крутизну, определяются из равенства х=а~о. При о-а-со кривая распределения сливается с осью абсцисс, а при о-+.О она переходит в дельта-функцию: Функция распределения гауссовской случайной величины р'з(х) = )ехр ~ —, ~ г(и= к ~ (а л)а 1 о (/2я ! 2о к-а ) ехр( — — )бз. Интеграл (2.67) к г а ° Р(х)= )ехр( — — )Ыг. ")/2я (, 2 (2.68) называемый интегралом Лапласа, представляет функцию распределения нормированной стандартной гауссовской случайной величины при а=О, о= 1.
Имеются многочисленные таблицы интеграна Лапласа, т. е. функции стандартного нормального распределения (см., например, 121). Эти таблицы можно использовать для 2 — 87 33 где а;=т,Д;), о';=ргЩ, Р=бе( 1(. )т=(Нз, г„) — матрица коэффициентов корреляции размером лХп, а Ро,— алгебраическое дополнение элемента Ят, а„в определителе Р. Таким образом, л-мерная нормальная плотность вероятности зависит от 2п параметров (иь о,) и от п(п — 1)/2 параметров ЯЗ, а„. Можно доказать, что любая часть гауссовской совокупности случайных величин также является гауссовской. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно (см.
пример в 11, с. 51]). 2.4.2. Гауссовская случайная величина. Из (2.65) при л= 1 находим нормальную плотность вероятности одной гауссовской случайной величины определения значений Рй(х) яр~и произвольных значениях параметров а и о)0, если заметить, что из (2.67) и (2.68) следует Рй(х) =Р("="). (2.69) Таблицы интеграла Лапласа составлены для положительных аргументов, а значения Р( — х) определяются из очевидного соотношения ' Р(х)+Р( — х) =1.
(2.70) Вблизи начала координат функция Р(х) имеет участок, близкий к линейному, который хорошо описывается несколькими первыми членами степенного ряда 1 1 ! ха хв хт Р(х)= — + (х — — + — — — +...)= 2 )/2и (, 6 40 336 ! 1 хяе ~ ( 1)в+! (2.70а) 2 )!2и в ! 2ь-!(2й !)(й — Ц! При достаточно большом аргументе имеет место асимптотическое разложение 1 ! хв Ч ! ! 1 3 16 Р (х) 1 — ехр ( — — ) 1 — — — + — — — + " ) )/2и (, 2 )~ х ха хь хт р2и х 2 2" И х~~+' Заметим, что если в знакопеременном ряде ограничиться несколькими членами, то ошибка будет меньше значения первого отброшенного члена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
