Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если случайная величина дискретна и принимает значения хь..., х„,... с вероятностями р>,..., р„,..., то ее >е-й момент распределения ' т (2) = 2;хер„ (2.21) т в предположении, что ряд в правой части (2.21) сходится абсолютно. Формулу (2.21) можно переписать в векторной форме тл(й) = (х") 'р, (2.2!а) где хь, р — вектор >с-х степеней значений случайной величины и вектор вероятностей соответственно.
Следует подчеркнуть, что далеко не всегда удается характеризовать случайную величину прн помощи моментов, так как не для любого распределения зти моменты существуют. Заметим, что если существует момент п-го порядка, то, конечно, существуют все моменты порядка >с(п. Если же момент и-го порядка неограничен, то н любые моменты порядка й)п неограничены. ' Симнол п>ь(Ц обозначает пе функцию случайной переменной $, а операцию усреднения величины йз по множеству ее возможных значений [ср.
формулу (3.14а]), з Если допускать представление плотности вероятности дискретной случайной величины дельта-фуакциями [см. (2.17)), то (2.21) является частным случаем (2.20). 23 (2.23) (2.26) для дискретной 1» (в) = Х( па~) р . Г (2.27) ' Отметим, что часто используют обозначение М$ для среднего значения и Вй для дисперсви случайной величины. 24 2.2.2. Среднее значение. Простейшая числовая характеристика случайной величины — момент распределения первого порядка — определяет абсциссу центра тяжести плоской фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс и называется математическим ожиданием, или средним значением случайной величины.
Из (2.20) и (2.21) при уз=1 находим среднее значение непрерывной случайной величины аг»($) = )хгса(х)дх (2.22) п среднее значение дискретной случайной величины лт, Я) = ~',х„р„= х' р. г Среднее значение случайной величины характеризует только расположение кривой распределения относительно начала координат. Для центрированной случайной величины а — т,(Д среднее значение равно пулю, а геометричсская форма кривой плотности та же, что и для случайной величины $. Размерность среднего значения совпадает с размерностью значений случайной величины. 2.2.3. Центральные моменты. В отличие от моментов гл»(Ц, которые называют начальными, моменты распределения центрированной случайной величины называют центрально»ми и обозначают 1»»Д).
Для непрерывной случайной величины )»»($) = )(х — т,ф)»гвь(х)дх, А)2, (2.24) а для дискретной р»(ь)=,"г (х,— лт,(ь))»р„, й)2. (2.25) Г Если среднее значение случайной величины равно нулю, то центральные моменты распределения совпадают с начальными. Очевидно, центральный момент первого порядка всегда равен нулю. 2.2.4. Дисперсия. Центральный момент второго порядка называется дисперсией случайной величины' и определяется в соответствии с (2.24) и (2.25) по формулам: для непрерывной случайной величины (»з Я = 1'(х — т,)' гсь (х) с(х, Величину )Г рз называют средненвадратичесхим значением случайной величины $. Размерность дисперсии совпадает с размерностью квадрата значений случайной величины, а размерность среднеквадратического значения — с размерностью случайной величины.
Центральный и начальный моменты второго порядка связаны соотношением, которое непосредственно следует из (2.26) или (2.27): газ=те — т ь (2.28) Обозначим т1(Я=а и рассмотрим вероятность РО$ — а! )е) = ) ин(х) ах, е) О. (к — а)ве Так как (х — а)Че'=-1, то Р($ — а1 ) е) < — 1г (х — а)апч(х) йх< — ) (х — а)'пэ(х) дх„ 3 ~к — а)>е ез т. е. Р()я — а))е) (рз(я)/е'. (2.29) Соотношение (2.29) называется неравенством Чебышева.
При е=й)~ рд из него следует Р (Я вЂ” ~( ) Ц~р ) < 1(Р, (2.29а) т. е. отклонения $ от его среднего, значительно превышающие среднеквадратическое, маловероятны. Таким образом, дисперсия случайной величины характеризует разброс ее значений относительно среднего. 2.2.5. Коэффициенты асимметрии и эксцесса. Среднее и дисперсия не отражают всех особенностей кривой распределения. Одной из них являются симметрия или асимметрия кривой плотности относительно оси, проходящей через центр тяжести. При любом симметричном распределении центральный момент произвольного нечетного порядка равен нулю, что непосредственно видно из (2.24).
Поэтому простейший из нечетных моментов — центральный момент третьего порядка: р„($) = ((х — т )аша(х) йх (2.30) в первом приближении служит характеристикой асимметрии распределения. Его можно выразить через начальные моменты первых трех порядков: рз= те — 3т1тг+2тть (2.31) Асимметрию распределения принято характеризовать безразмерным отношением (у" з (2.32) 25 Э . хе Рис.
23. Процентная точка хч — — Р1 1(1 — а), (2.34б) где Р-'р,(1 — д) — функция, обратная функции распределения. Ясно, что а — процентная точка распределения — совпадает с квантилью порядка 1 — д. и (х) которое называется коэффициенай х том асимметрии. В качестве характеристики сглаженности кривой распределения около ее моды используют безразмерный коэффициент эксцесса т= 1лл/р'а — 3.
(2,32а) 2.2.6. Квантили и процентные точки распределения. Распределение вероятностей случайной величины часто характеризуют квантилями порядка р„ т. е. таким значением х=хар, которое удовлетворяет уравнению Ра (х') = р. (2. 33) Квантнль х*о,а, которая делит площадь под кривой плотности вероятности на две равные части, называют медианой расиределения. Процентные точки распределения определяются из уравнения (рис. 2.3) Р ($ ~ хч) = 1 — Рл (хч) = а или 2.3. СОВОКУПНОСТЬ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН 2.3.1.
Многомерное распределение вероятностей совокупности случайных величин. Некоторые положения теории случайной величины, изложенные ранее, можно обобщить на произвольную конечную совокупность случайных величин $О..., $ . Эту совокупность можно рассматривать как случайную точку в п-мерном эвклидовом пространстве со случайными декартовыми координатами ~о (=1, и, или как случайный вектор ~=1"~=($ь-, $.)' (2.35) В дальнейшем для векторных величин е, х используем обозначения ~"ь х", тогда, когда следует указать размерность вектора.
Таким образом, множеством возможных значений совокупности случайных величин является многомерное эвклидово пространство (или область, принадлежащая этому пространству). Необходимо также определить на указанном множестве распределение вероятностей совокупности случайных величин. 26 (2.3бб) (2.37б) По аналогии с функций распределения скалярной случайной величины введем многомерную фуннци!о совместного распреде- ления совокупности случайных величин (векторной случайной ве- личины) (см. (2.35)) ! л Рм, ! (х„..., х„) = Р[ П ($! ( х!)) (2.3ба) 1=1 или к векторной форме Р х (х",) = Р ( ц' < хх!).
! Многомерная функция совместного распределения векторной случайной величины обладает свойствами, аналогичными свойст- вам функции распределения скалярной случайной величины. Зна- чения многомерной функции распределения неотрнцательны и не превосходят единицы. Если хотя бы один из аргументов хг= — оо, то значение функции распределения равно нулю, а если все аргу- менты х!=оо, !=1, н, то значение этой функции равно единице.
Кроме того, многомерная функция распределения неубывающая в любом направлении, изменяющемся от — оо к оо. Однако появляется и новое свойство, присущее многомерной функции совместного распределения. Если н — т аргументов функ- ции (2.36а) обращаются в бесконечность, то эта функция стано- вится функцией совместного распределения остальных т случай- ных величин. Например, Рь,, ~ (х„..., х, оо,..., оо) =Р'м, г (х„..., х ) (2.37а) илн в векторной форме Р~„(х), оо) =Р,„(хт), Обратное, вообще говоря, неверно, т. е.
по распределениям ча- стей совокупности случайных величин нельзя найти совместное распределение всей совокупности. Исключение из этого общего правила составляет совокупность совместно независимых случай- ных величин, для которой по определению х Р!,, ! (х„..., х„) =- ПР! (х!). (2.38) !=! Пусть й и !) — два случайных вектора. Для их независимости необходимо и достаточно, чтобы функция их совместного распре- деления была равна произведению функций распределений каж- дого из них: Р!ч (х, у) = Р! (х) Рч (у).
(2.38а) 2.3.2. Многомерная плотность вероятности. Смешанная произ- водная и-го порядка от н-мерной функции совместного распреде- ления (х! ... хл) !ецио-, ! (х!~" хп) дх, „дхх (2.39а) называется п-мерной плотностью вероятности совокупности случайных величин $!, ..., й„. В векторной форме (2.39а) можно переписать в виде »» р ( х» ) (2.39б) и» (х») = Многомерная плотность вероятности векторной случайной величины обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности скалярной случайной величины: и,, (х",))О, ) и „(х",) пх»!=-1, где Х» — п-мерное эвклидово пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
