Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Заметим также, что эти утверждения, очевидно, имеют место для Т-зависимых случайных процессов (см. и. 4.2.7). (5.29~ (5.30) В.З. СЛУЧАИНЫК ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ л ~п (ч1*' !",) ='Зз(оз',11) П!Зд(оо, '(о — и (ь) о=2 (5.33) где !9, (и; !) = т, (ехр [! и $ (1)]), ЙА (и; 1; и 1~) = т, (ехр [1 и ($ (1,) — $ (1; 1)) и, од — — 2„'и,. (5.34) (5.35) (5.36) !38 5.3.1. Вероятностные характеристики.
Из определения случайного процесса 5(1) с независимыми приращениями, приведенного в п.5.!.5, получаем следующее представление процесса $((о) =$(1)+ Х Б(!.) — $(1~-)! 1 ~!о< — (! . (5.31) Дисперсия процесса в момент времени !о представляет монотонно возрастающую функцию, так как прн независимых приращениях из (5.31) следует ро(с((АИ = ро($(11))+ Х ро(в(!!) $(!г — 1)) (5.32) 1=2 Используя нз "естные свойства характеристической функции суммы независимых случайных величин (см. п. 3.3.6), запишем и-мерную характеристическую функцию процесса с независимымч приращениями Таким образом, характеристическая функция любого порядка случайного процесса с независимыми приращениями определяется его одномернои и двумерной характеристическими функциями.
5.3.2. Однородные процессы с независимыми приращениями. Случайный процесс «(1) с независимыми приращениями называется однородным (иногда — процессом со стационарными независимыми приращениями), если он определен при 1)0, причем в(0) =О, и распределение приращения $(т+т) — й(1) совпадает с распределением й(1) для всех 1)0, т)0. Однородный процесс с невависимыми приращениями непрерывен по вероятности. Из (5.31), следует, что однородный процесс с независимыми приращениями можно представить конечной суммой одинаково распределенных случайных величин и, следовательно, (5.
37) 9,(и; йт) = Оа~(и; т). 5.3.3. Случайные процессы со скачками в фиксированные моменты времени. Рассмотрим процесс 5(1), реализации которого— ступенчатые функции со случайными скачками в фиксированные моменты времени (рис. 5.1). Скачок процесса в один из фиксированных моментов 1; представляет случайную величину =й(1;+О) — й(У; — О). Тогда рассматриваемый процесс можно записать в виде суммы (5.38) в(1) = Х ьь Этот процесс непрерывен по вероятности при всех значениях за исключением тех фиксированных моментов времени, где появляются случайные скачки.
Если скачки йо 1=1, 2, ..., представляют совокупность независимых случайных величии, то рассматриваемый процесс является случайным с независимыми приращениями. 5.3.4. Гауссовский процесс с независимыми приращениями. Если приращения на непересекающихся интервалах времени независимы и распределены по нормальному закону, то процесс с рнс.
ад. Процесс со случайными скачками в фиксированные моменты времени 1зй независимыми приращениями принадлежит классу гауссовских случайных процессов, Характеристическая функция такого про- цесса (5.42) 9х(и; 1) =ехр 11иа(1) — оз(/)из/21, '(5.39) где а(/) =т1(я(/)), оз(/) =1ззД(/)) Характеристическая функция приращения этого процесса Од(и; з„!з) = ехр(1 иад — од'и'/2), (5.40) где ад(/ь /3) а (/2) а (/1), о д(/ь /з) = 1зз (к (/з) З(/1) ). Так как ад (1ь /з)+ад (/з, /з) =ад (/ь /з) и о'д (/ь /з)+ +о'д (Оь /3) =озд (/ь /3), /,(/з 1з, то нз (5.39), (5.40) следУет общая формула (5.33). 5.3.5. Винеровский случайный процесс.
Частным случаем гауссовского случайного процесса с независимыми приращениями является винеровский процесс, для которого т,(5(/)) =О, р,(5(1)) -оз/. (5.41) Одномерная и двумерная характсрнстичсские функции винеровского процесса 61(и; () = ехр( — оз!из/2), Вз (и„и,; /, з) = ехр ( — — [одз (и, + и,)з — о'(/ — з) иД ). (5.43) 1 Из (5.43) находим корреляционную функцию винеровского процесса В(/, з) = — Вз(и„из, /, з)(и, „,— о — — озгп1п(з, 1). (5,44) ди, диз Винеровский процесс с параметром о'=1 называют стандартным.
Реализации впнеровского процесса непрерывны, но недифференцируемы в любой момент времени с вероятностью единица (см., например, 115)). Винеровский процесс часто называют процессом броуновского движения, так как он служит математической моделью хаотического перемещения частиц под ударами молекул жидкости. 5.3.6. Пуассоновский процесс. Рассматривается последовательность случайных событий, каждое из которых можно представить точкой на оси времени, а всю последовательность событий — потоком случайных точек. Обозначим через т(/) число событий (случайных точек), появившихся на интервале (О, /). Предположим, что число событий т((з) — т(/,) на интервале (/ь /з) не зависит от того, сколько событий и когда происходили до указанного интервала, т. е.
отсутствует последействие. Предположим, кроме того, что вероятность появления более одного события на интервале (/, /+Ж) при М-з-0 убывает быстрее, чем б/ (имеет место ординарность), и что вероятность появления одного события на интервале (/, /+б/) равна 1.(/)б/+о(Л/). Тогда 140 (5.45а) Ра(т)=р([т(1+т) — ч(1)]=Ц= ы ехр( — Хт), Й=О, 1,2,... р )' (5.49) Одномерная и двумерная характеристические функции однородного пуассоновского процесса 6~ (и; 1) =ехр[)!(ехр(! и) — 1) 1, 1)О, 3)0, (5.50) Оа(и,; и,; 1, з) =61(и,+иа; з) 01(иа; ! — з) = =ехр [Хз(ехр[!(и,+иа)] — 1)1Х Хехр [й(1 — з) (ехр(!иа) — 1) 1, Е)з.
(5.51) т(!) — случайный процесс с независимыми приращениями, под- чиняемый закону распределения Пуассона р (! 1) р([т(1 ) т(1 )] ь) — Л !'а ~а) ехр[ — Л(1„1,)], й=О, 1, 2,..., (5.45) где Л(1,,1,) = ~Щ)й1, н и называемый пуассоновсним. При фиксированном значении 1, реализации пуассоновского процесса — неубывающие ступенчатые функции !)1, с единич- ными скачками в случайные моменты времени (рис. 5.2). Пуас- соновский процесс — непрерывный по вероятности, что не проти- воречит возможности скачков в отдельных реализациях. Характеристические функции пуассоновского процесса и его приращения О,(и; !) =ехр [Л(0, 1) (ехр(1и) — 1)], (5.46) 9 (и; 1, 1,) =ехр [Л(1„1а) (ехр(! и) — 1Я, (5.47) из которых следует н общая формула (5.33).
Модель пуассоновского процесса широко используется в есте- ствознании и технике, в теории массового обслуживания, в тео- ри надежности, в ядерной физике н многих других областях. 5.3.7. Однородный пуассоновский процесс. Пуассоновский про- цесс однородный (стационарный), если интенсивность ),(!) пото- ка событий — постоянная величина. Тогда из (5.45а) следует Л(1, 1+т) =1,т, т)0, Х)0 (5.48) и, следовательно, [см. (5.45)] Рис. о.2. Пуаееоновскай процесс о !4! Из (5.50) находим среднее значение однородного пуассоновского процесса т, (о (1)) =- — — 8, (и; 1) („о = Л г, 1 д ди а из (5.51) — смешанный момент второго порядка т,(ч(1) ч(з)) = — Оа(иы и.,; 1, з)(„,=„„о=Линн(з, 1). ди, див (5.52) (5.53) Заметим, что моментная функция второго порядка (5.53) однородного пуассоновского процесса отличается от корреляционной функции (5.43) винеровского процесса только постоянным множителем, хотя указанные случайные процессы (пуассоновский и винеровский) существенно отличаются как по виду отдельных реализаций, так и по распределениям вероятностей.
5.3.8. Обобщенный однородный пуассоновский процесс. Случайный процесс и Н1 т) (1) = ~ $1 и (1 — 11), 1) О, (5.54) с=о где $; — одинаково распределенные независимые случайные величины, а и(1 — Гн) — единичный скачок в момент Го соответствующий 1-му скачку однородного пуассоновского процесса т(г) с параметром Л, назовем обобн4енноси однородным пуассоновским (161. Реализациями такого процесса являются ступенчатые функции со случайными независимыми скачками в случайные моменты времени (рис.
5.3). Характеристическая функция обоб1ценного однородного пуассоновского процесса (16) Ц(и; 1) =ехр(Л((О4(и) — 1)), Л) О, 8) О, (5.55) где ()й (и) — характеристическая функция случайных скачков $;. Если скачки детерминированы и равны единице, то Ой (и) = =ехр(1и) и формула (5.55) совпадает с (5.50). Среднее значение и смешанный момент второго порядка обобщенного однородного пуассоновского процесса 1161 т,(41(1)) =лгт, д,), (5.56а) т~(г1(1)т1(з)) = Лппп(з, 1) т, Д'4). (5.56б) Имея в виду, что й, распределены одинаково, т. е.
что гп~Д;)=а 142 Рис. бЛ. Обобщенный пуассоновскнй процесс и т,Д';) =Ь', нетрудно заметить, что указанные величины отличаются от соответствующих величин однородного пуассоновского процесса лишь множителями а и бг [см. (5.22) и (5.53)1. Как и однородный пуассоновский процесс, обобщенный пуассоновский является случайым процессом с независимыми приращениями.
5.3.9. Белый шум. Рассмотренные ранее случайные процессы с независимыми приращениями — винеровскнй, однородный пуассоновский, обобщенный однородный пуассоновский — непрерывны по вероятности, но не днфференцируемы. Производные этих процессов можно рассматривать как обобщенные случайные процессы с независимьглги значениями (!7), корреляционные функции которых В(з, 1) =с гп!п(з, 1) =сб(! — з), (5.57) де дГ где о' для винеровского процесса (см. (5.44)1, 1Х для однородного пуассоновского процесса (см.
(5.53)), ~),д' для обобщенного однородного пуассоновского процесса !ем. (5.56б) !. Корреляционная функция (5.57) является по определению корреляционной функцией белого шума — случайного процесса с постоянной на всех частотах интенсивностью спектральной плотности мощности (см. п. 4.4.2).
Таким образом, имеется три класса белых шумов: гауссовский (производная винеровского процесса), пуассоновский и обобщенный пуассоновский (производные однородных пуассонов- ского н обобщенного пуассоновского процессов). 5.3.10. Разложение случайного процесса с независимыми приращениями. Как доказал П. Леви (см., например (8]), процесс с независимыми приращениями мсжет быть представлен суммой трех независимых слагаемых: а) детерминированного (центрирующего) процесса, б) процесса с независимыми приращениями со скачками в фиксированные моменты времени (см. п.
5.3.3), в) непрерывного по вероятности процесса с независимыми приращениями. Непрерывная часть любого процесса с независимыми приращениями есть либо гауссовский процесс с независимыми приращениями (см. п. 5.3.4), либо пуассоновский (см. 5.3.6), либо сумма этих процессов. 5.4. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 5.4.1. Вероятностные характеристики. Из определения марковского процесса, приведенного в п.5.1,6, а также непосредственно из формулы (5.6) следует (5.58) !43 Условную плотность и2(х; Цу; з) = Р(х; 1)у; з), г')з дх (5.59) называют плотностью вероятности перехода марковского процесса из состояния у в момент з в состояние х в момент й Используя формулу (2.57), определяем многомерную плотность вероятности (любого конечного порядка) марковского про- цесса п22(х" 1",)=зез(хз, 11) Пю(хз Чхз — ь 11 !) 11(12~ '"((п (5.60) Формула (5.60) означает факторизацию многомерной плотности вероятности марковского процесса — представление ее в виде произведения одномерной плотности и плотностей вероятности перехода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
