Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Методы решения уравнений Колмогорова рассмотрены, например, [20, 21]. 5.4.9. Стационарные диффузионные процессы. Для стационарных диффузионных процессов коэффициенты сноса (5.85) и диффузии (5.86) не зависят от временного параметра, а плотность вероятности перехода зависит только от разности т= Т вЂ” й Тогда из (5.84) получаем — в(у; т]х)+ — [А,(у) в(у; т[х)]— д д дт ду 1 дз — — — [А, (у) 1о (у; т] х)] = 0 2 дуз с начальным условием в(у; 0[х) =Ь(д — х). Если при т — оо существует предел плотности вероятности перехода, не зависящий от начального состояния х, то его называют предельной функцией распределения стационарного диффузного процесса Я7(д) =![ты(у; т[х).
т«0 Из (5.88) следует, что — ю(у; т]х) — «О при т-«оо. Поэтому пред дт дельную функцию распределения можно найти из обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка — [А (д) Ю(у)] = 2Ат(у) Ч7(у) +с„ ду решение которого имеет вид [[7 (у) = у у [с, + с,] ехр ( — Т(у)) с(у], (5.90) Аз (у) где 1(д) =2] — '" с(у, (5.90а) А~ (у) (5.87~ (5.89) константы с, и сз определяются из условия нормировки ] [[У(д) с[д =1 и граничного условия ]Р'(оо) =О.
149 5.4.10. Гауссовский диффузионный процесс. Рассмотрим гаус- совский стационарный случайный процесс с нулевым средним, дисперсией а' и нормированной корреляционной функцией )т(т). Условная плотность распределения этого случайного процесса [см.
(2.74)] гв(у; т[х) = [2по'(! — )тю)]-!ггехр [ — ( У ! 1, 2ою(1 — !!ю) ! (5.91) (5.96) 150 где 1т'=Й(т). Найдем для рассматриваемой условной плотности вероятности функции А„(у), определенные согласно (5.82): А, (у) =1!и! — ) (г — у) [2иою (1 — )сю)]-пю ехр [ — ( " г) [ю(г= тю+т 2аю (! — Йю) = !ип (т! у = у)т' (О+), (5.92) т. ю+ т А, (у) = !нп — ] (г — у)' [2по' (1 — )тю)] — пг ехр [ — ~ ] ог = ю„т 2ою (! — У) = !нп — [ о' (1 — Я[ю) + у' (1 — Я)ю] = — 2о' Я' (О+), (5.93) ъ'+ю+ т А„(у) =О, п) 3, (5.94) где Л'(Ое) — значение производной при приближении к нулю справа.
Если Я'(т) непрерывно в нуле, то [с'(0) =О. Предположим, что К'(т) терпит разрыв при т=О. Тогда А~ (у) ФО, Аю(у) ча ФО. Найдем частные производные: д юа(у; т]х) = — га(у; ]т]х) )т'(т) = д дт дЯ д =Я'(т)ю(у; )г[х) — 1пго(у; Й[х) = дк = К (т) го(у; )с[х) [ ~ (~~ ~! ~ ], (5.95) Е 1 — Д' ою(1 — Яю) о'(1 — й')ю — [А,(у) го(у; т[х)] = ду = [ А',( у) -1- А, (у) — !и го (у; Й [ х)~ ю (у; т[ х) = 1 дю — — [А (у) га (у; т[х)] = 2 дую = †Я' (О+) ~ д ]иго (у; т] х) + ~ д !и!о (у; т]х)) ~ га (у; т]х) = даю ю ду (!!х — ю)ю й' (О „) !1' (О+! -1 (5,97) ю (1 ою)ю + Подставляя (5.95) — (5.97) в (5.87), получаем Я' (т) (, 1Р (т) х — у! [х — й (т) у[ ~ )7 (т) 1 — и~ (т) Ф [1 — )1~ (т)! Р(т) Я'(О+) ( [Р(т) х — у)[х — Я(т) у 1 — Р'( ) ! '[1 — )! ( )! Так как выражения в фигурных скобках совпадают и отличны от нуля, то условная плотность (5.91) гауссовского процесса удовлетворяет уравнению Колмогорова (5.87) при условии )7'(т) =)7'(О+)Я(т).
Единственным решением уравнения (5.98), удовлетворяющим условию )г(0) =1, является г7 (т) = ехр ( — Л [т] ), (5. 99) где Л= — )7'(О+) )О. Таким образом, гауссовский стационарный случайный процесс с экспоненциальной корреляционной функцией является диффузионным. При иной корреляционной функции гауссовский случайный процесс не может быть диффузионным (см. п. 5.4.5). Предельная функция распределения гауссовского диффузионного процесса В'(у)=1[ш1е(у; т]х) = ехр~ — " о ]/2п ~ 2оз )' что согласуется и с (5.90). 5.4.11.
Вииеровский процесс как диффузионный процесс. Из определения виперовского процесса, приведенного в п. 5,3.5, следует, что его условная плотность вероятности 1с(у; !]х; з) = (2па'(! — з)] — Н' ехр ( — " ), !'з з. (5.101) 2о~ (1 — 5) Нетрудно убедиться, что коэффициент сноса А,(у) винеровского процесса равен нулю, а коэффициент диффузии А,(у) =1.
Уравнение Колмогорова (5.87) в рассматриваемом случае имеет вид — 1е(у; т]х) = — — 1е(у; т]х), т=( — з) 0 д 1 д~ (5.102) дт 2 ду~ (5.100) называется стохастическим интегралом Иго. 151 и функция (5.101) удовлетворяет этому уравнению. 5.4.12. Стохастический интеграл Иго. Пусть т[(1) — винеровский процесс. Стохастнческий интеграл по винеровскому процессу, определяемый пределом в среднеквадратическом интегральной суммы т ~ о (~ (з) з] г[т! (з) = 11п1 ~, 'о К (з)), 3;] (т[(зг~ы) — Ч (зт)] (5 103) с тахаев 0 1 Из (5.!ОЗ) и определения винеровского процесса т[(1) следует, что с т гп, [ ) о [$ (в), з[ д т) (з) ~ = О, г т 1тс с т ф сссс, ссссс))=,[С асс,ч').
с (5.104) (5.105) 5.4.13. Прямое и косвенное описание диффузионного процесса. Рассмотрим стохастическое интегральное уравнение т т $(Т) =$(1)+ )' а 15(з), з[сЬ+ ) о[3(з), з[с(т)(з) (5.106) н соответствующее ему стохастическое дифференциальное урав- нение 5.5. ИМПУЛЬСНЫЕ СЛУ'ХАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ 5.5.1. Определение. Многие известные задачи импульсной техники требуют исследования спектров последовательностей идентичных импульсов.
Основные параметры, характеризующие геометрическую форму или положение этих импульсов (амплитуда, длительность, момент возникновения фронта и др.), могут изменяться по заданному закону или быть случайными. Последнее имеет место, когда импульсы искажаются случайными помехами или когда модулированную импульсную последовательность можно рассматривать как квазидетерминированный случайный процесс.
Назовем последовательность импульсов, параметры которых являются случайными величинами, импульсным случайным процессом. Если форма импульсов задана и случайными являются их параметры, то последовательности импульсов соответствует 152 дя (1) = а [ь (1), 1) Ж+ о [$ (1), 1[ Й1 (1) . (5.107) Можно доказать, что при определенных ограничениях (см. '[22], гл. 8, ~ 3) плотность вероятности перехода случайного процесса $(1), определяемого уравнением (5,107), удовлетворяет уравнению Колмогорова с коэффициентом сноса А,(у, 1) =а(у, 1) и коэффициентом диффузии Аз(у, 1) =а'(у, 1).
Верно и обратное утверждение: каждому диффузионному процессу, задаваемому своими плотностями вероятности перехода, которые удовлетворяют уравнению Колмогорова, соответствует стохастяческое дифференциальное уравнение типа (5.107). Представление диффузионного процесса уравнением (5.107) можно назвать его прямым описанием, а уравнение Колмогорова (5.102), определяющее вероятностные характеристики диффузионного процесса, — его косвенным описанием '[16) . Эти уравнения устанавливают взаимно однозначное соответствие между прямым и косвенным описанием диффузионного процесса.
последовательность многомерных случайных величин, а именно: началу каждого импульса можно приписать случайные значения его параметров. Импульсный случайный процесс определяется бесконечным множеством реализаций, каждая из которых представляет собой последовательность импульсов. 5.5.2. Классификация импульсных случайных процессов. В зависимости от вероятностных характеристик моментов появления импульсов рассматривают три группы случайных процессов. К одной из них относятся случайные процессы, у которых известное число импульсов со случайными параметрами появляется на дезерминированных тактовых интервалах времени. Такие процессы могут быть нестационарными.
Действительно, два значения импульсного случайного процесса в момент прохождения импульса и в паузе между нмгульсами независимы. Значения импульсного случайного процесса могут стать зависимыми, если рассматривать два момента времени, относящихся к прохождению произвольной пары импульсов. Наконец, значение импульсного процесса определяется однозначно для паузы между импульсами. Таким образом, нормированная корреляционная функция импульсного случайного процесса при заданной разности двух моментов времени может принимать любое значение от нуля до единицы. Среднее значение импульсного случайного процесса также зависит от времени.
В паузах между импульсами оно всегда равно нулю, в то время как для моментов времени, соответствующих прохождению импульсов, среднее значение может быть не равно нулю н различно для разных импульсов. Рассматриваемую группу случайных процессов можно представить как «несущую» в форме периодической последовательности импульсов, параметры которой модулированы случайной стационарной модулирующей функцией с дискретным временем. Иначе говоря, указанные импульсные случайные процессы представляют собой результат наложения стационарной случайной последовательности параметров импульсов на детермгнированную последовательность тактовых интервалов.
Назовем эту группу импульсных случайных процессов импульсными процессами с детерминированным тактовым интервалом. Другая группа объединяет такие импульсные случайные процессы, для которых характерно отсутствие какого-либо периодически повторяющегося тактового интервала. В отличие от процессов первой группы, для которых разность между моментами появления импульсов не может превосходить удвоенную длительность тактового интервала, для процессов второй группы эта разность может быть произвольной. Можно сказать, что сдвиг каждого импульса вызывает смещение всех последующих импульсов.
Это означает отсутствие каких-либо признаков периодичности в импульсном случайном процессе. При некоторых дополнительных ограничениях, наложенных на распределения вероятностей интервалов между моментами появления импульсов, эти импульсные случайные процессы являются стационарными. К рассматриваемой 153 группе импульсных случайных процессов относятся: случайный телеграфный сигнал, клиппированный сигнал, получаемый из непрерывного предельным ограничением, последовательность стандартных импульсов, формируемых из клиппированного сигнала, и т. п. Назовем эту группу импульсных случайных процессов апериодическими импульсными случайными процессами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
