Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для полиномиальной аппроксимации (6.6) можно использовать ортогональные полиномы (см. п. 2.5.1) или частичную сумму ряда Маклорена. При этом константы Ьд, Ь= 1, и, определяются коэффициентами разложения функции [(х) в ортогональном базисе, а при разложении в ряд 'Маклорена — по известной формуле Ьд= ! 1(д»(0).
И 6.1.5. Аппроксимация характеристики «вход — выход» динамической системы. Для инвариантной динамической системы с дискретным временем функционал (6.2), определяющий характеристику «вход — выход», можно представить в виде функции счетного числа переменных у(п) = — )([х(п), х(п — 1), ..., х(п — Ь), ... ) . (6.7) Здесь и ~в дальнейшем для сигналов с дискретным временем используются обозначения х(1„) =х(п), у(1„) =у(п). При дискретизации с периодом Т величина 1„=пТ. Разлагая функцию многих переменных в кратный степенной ряд, представим характеристику (6.7) в виде оо оо оо у(п)= 2;Ь,х п — 1)+ ~ ~, 'Ь1 х(п — 1) х(п — 1)+ о=о ю=о у=о оо о + 2; 2; 2; Ьыдх(п — 1)х(п — /) х(п — Ь)+ ... =о 1-о д=о Заданная точнос|ь аппроксимации функции (6.7) определяет необходимое число слагаемых в (6.8).
Для инвариантной динамической системы с непрерывным временем функционал (6.2) можно аппроксимировать с любой заданной точностью функциональным рядом Волотерра: л оо у(()=;» ) ...)Ьд(и,, и„..., ид)х(1 — ид)Х д=» о о Х х (1 — ио)., х (1 — ид) г(и, г(ио...г(ид. (6.9) 110 Разработаны методы определения весовых коэффициентов йь йн, йцм ... и весовых функций Бь(и„иь ..., иь), й)1 с помощью ортогональных функций.
Одним нз них является метод Винера ~(1, 24). 6.1.6. Линейные системы. На практике широко используется подкласс линейных моделей систем. Система называется линейной, если она удовлетворяет двум условиям: аддитивности (принципу суперпозиции) и однородности. Пусть у1(1) и ут(1) — выходные сигналы системы при входных сигналах х, (1) и х,(1) соответственно.
Условие аддитивности выполнено, если при входном сигнале х(1) =с~х1(1)+с»хе(1) выходнои сигнал у(1) = с,у, (1) + с»уз (1) для произвольных констант сь ст и произвольных сигналах х~(1), х.(1). ~Пусть у(1) — выходной сигнал системы при входном х(1). Условие однородности выполнено, если при входном сигнале сх(1) выходной сигнал равен су(1) ~при произвольной константе с,и произвольном сигнале х(1). 6.2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ ЩИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ) 6.2.1. Характеристика «вход-выход». Линейная (динамическая) система с дискретным временем характеризуется тем, что значение у(п) выходного сигнала получается суперпозицией (сложением) значений х(н) входного сигнала, умноженных на весовой коэффициент й(п, й), зависящий в общем случае и от момента воздействия сигнала х(й), и от момента наблюдения сигнала у(п).
Таким образом, сигнал у(п) на выходе линейной системы с дискретным временем можно выразить через значения х(й) сигнала на входе в виде суммы у (и) = 2; й (и, й) х(й). ь — в Функцию й(п, й) называют импульсной характеристикой линейной системы с дискретным временем, а сумму (6.10) — свертной импульсной характеристики с входным сигналом. Для физически реализуемой линейной системы п(п, й) = — 0 при й.т-п.
В этом случае из (6.10) следует » у (и) = 2; й (и, /г) х (й). Бели параметры линейной системы постоянны во времени (т. е. она инвариантна), то ее импульсная характеристика зависит только от одного аргумента — разности и†'и. Для таких систем соотношение (6.10) преобразуется к виду у(п)= 2', 1)(п — й)х(й) (6.12 17! (6.141 (6.16) или с учетом физической реализуемости « у(и)= ~ Ь(п — А)х(й), п=0,1,2,„.
(6.13~ Заменой индекса суммирования т=и — и соотношения (6.12) и (6!13) преобразуются к виду у(п) =;~ й(т)х(п — т) и соответственно, с,учетом физической реализуемости, у(п)= .'«„Ь(т)х(и — т), и=0, 1, 2,... (6.15) Формулы (6.10) — (6.15) описывают характеристики «вход— выход» линейных динамических систем с дискретным временем. Заметим, что (6.15) совпадает с линейным членом разложения (6.8) характеристики «вход — выход» динамической системы об- щего вида. 6.2.2. Передаточная функция.
При анализе инвариантных ли- нейных систем с дискретным временем вместо рассмотренных в п. 6.2.1 соотношений между входным и выходным сигналами часто используют соотношения между г-преобразованиями. Как известно, г-преобразование Р(г) функции 1(и) целочисленного аргумента п Р(х)= ~„'~(п)г ", «=- где г — комплексная переменная, причем функция Р(г) опреде- лена для тех значений г, при которых степенной ряд (6.16) схо- дится.
Обратным е-преобразованием является 1 (и) = — ) Р (г) г" — ' иг, (6.16а) 2п1 « где е — замкнутый контур в области сходимости, охватывающий начало координат. Основные свойства преобразования (6.16) аналогичны свой- ствам преобразований Фурье и Лапласа. В частности, г-преоб- разование свертки двух функций целочисленного аргумента равно произведению г-преобразований этих 1функцнй. Применяя это правило к (6.12) и обозначая через Х(е), У(г), Н(г) г-пре- образования сигналов х(п), у(п) и импульсной характеристики й(и), получаем Н(з) = У(х)/Х(г).
(6.17) Функция Н(з) называется передаточной функцией ннвари- антной линейной системы с дискретным временем. 6.2.3. Характеристика «вход — выход» в форме разностного уравнения. Полезной формой представления характеристик «вход — выход» некоторых инвариантных физически реализуе- 172 (6.19) Ьо » «(6 22) мых линейных систем с дискретным временем (цифровых фильтров) являются линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами л м „'«„а, у(7о — 1) = ~ Ь~х(й — 1), (6.18) ~ о (=о причем а,=1, а„~О. Если в (6.18) при ао=1, по крайней мере, еще при одном значении 1 и при одном значении у коэффициенты а;~0, Ь«ФО, то цифровой фильтр называют рекурсивным.
В этом случае выход зависит не только от |входа, но н от ~предыдущих значений выхода. Если же в (6.18) а,=О, 1=1,п, то цифровой фильтр называют не- рекурсивным. В этом случае выход представляет весовую сумму входных величин [27]. Совершая г-преобразования над обеими частями уравнения (6.18) и учнгывая, что г-преобразование функции ((й — и«) со смещенным аргументом равно г-"'г (г), получаем прн нулевом начальном состоянии системы л »1 У(г) 2; пог- =Х(г) 2; Ь~г — ~. «=о «=о Из (6.17) и (6.19) следует, что передаточная функция линейной системы, которая характеризуется уравнением (6.18), Н(г)= ~', Ьтг — ! ~1+ ~ а~г о .
(6.20) г о Формула (6.20) прн заданных коэффициентах а; и Ь; служит основой для построения цифровых фильтров с минимальным числом сумматоров, усилителей н элементов задержки (см., например, '(26) ). 6.2.4. Характеристика «вход — состояние — выход». Принимая текущие значения выходного сигнала за переменные состояния, можно заменить разностное уравнение (6.18) и-го порядка системой п линейных разностных уравнений первого порядка, записанной в матричной форме (см., например, (16, 26), а также п.6.3.5): г (й+ 1) = Аг (й) + Вх (/г), (6.21) где г (и) — вектор-столбец состояний, 0 0 ... 0 — ао 1 0 0 — а, А= 0 1 0 — а,, В= а„«Ь„вЂ” Ь„« (6.23) пз 0 0 1 — а„ Общее решение уравнения (6.21) л — 1 г(п) = Ф(п) г(0)+ ~ Ф(п — 1 — 1) Вх(1), о=о где Ф(й) =А' Уравнение (6.21) представляет так называемое каноническое уравнение состояния линейной системы с дискретным временем.
Это уравнение совместно с уравнением у(п) = Сх (и) +(тх(п) „ (6.24) где С'= (О, О, ..., — 1), О=Ь (6.25) представляет характеристику «вход — состояние — выход» 1см. (6.3) н (6.4)1. В.З. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ (6.27) 6.3.1. Характеристика «вход — выход». Как и для линейных систем с дискретным временем, характеристика «вход — выход» линейной системы с непрерывным временем представляется на основе принципа суперпозицни интегралом Дюамеля у(1)= (й(1, т) х(т) йт. (6.26) Функцию й(1, т) называют импульсной характеристикой линейной системы с непрерывным временем, а интеграл (6.26) — интегральной сеерткой импульсной характеристики со входным сигналом.
Для физически реализуемой линейной системы й(1, т) =О при т)1 (значение у(1) в данный момент времени зависит только от значений х(1), предшествовавших моменту 7). В этом случае верхний предел интегрирования в (6.26) равен й у(1) = (й (1, т) х (т) й т. Для линейных систем с постоянными параметрами импульсная характеристика зависит только от разности 7 — т моментов наблюдения на:выходе и приложения воздействия на вход системы, т, е, й(1, т) =й(7 — т).
При этом формула (6.26) преобразуется к виду у (1) = ) й (т) х (1 — т) й т. (6.28) <» Соответственно для физически реализуемых систем у(1) = ( й(т) х(1 — т) йт. (6.29) о Заметим, что (6.29) совпадает с линейным членом функционального ряда Вольтерра (6.9). 6.3.2. Передаточная функция. По определению передаточная функция й(1ы) и импульсная характеристика й(1) инвариантной линейной системы с непрерывным временем являются парой преобразования Фурье 174 чч й (1 ш) =- ) й (!) ехр ( — 1ю !) й(, (6.30а) (6.32) В Й(!) = — ) С(Г)+юо) соз (Гй !+ гр($3+О)о)) йГ) сов оэо !— Г ! — ~ — (С(Г)+~,)Я Р!+ р(1)+,))йи Я "— мч ' На практике часто удобно измерять ширину полосы линейной системы между точками.
в которых усиление по мощности равно половине его максимального значения или усиление по напряжению составляет 0,7 максимального. Длн теоретических исследований удобнее пользоваться определением ширины полосы в виде (6.34). Однако оба способа в наиболее важных практических случаях дают близкие результаты. Ширину полосы пропускании, определенную согласно (6.34), иногда называют эффективной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
