Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 33
Текст из файла (страница 33)
— о (6.58) В.З. ДВА СНОСОВА ОПИСАНИЯ СИСТЕМ НОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В 1161 предложено различать два способа описан~ни системы под воздействием случайного процесса. При одном из них, называемом прямым описанием, устанавливается связь выходного и входного случайных процессов в форме функциональных зависимостей, представленных стохастическими разностными или дифференциальными уравнениями. При другом способе, называемом косвенным описанием, устанавливается связь между вероятностными характеристиками случайных процессов на входе и выходе системы.
Задачи анализа, которым посвящены последующие главы первой части этой книги, состоят в ~получении косвенного описания системы при известном ее прямом описании. Более трудными являются задачи получения прямого описания системы по заданному косвенному, которые в общем случае не имеют однозначного решения. Задачи синтеза могут быть отнесены к такому классу задач.
1аа Глава 7 ПРЕОВРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ (ИНЕРЦИОННЫХ) СИСТЕМАХ тль пРВОБРАЗОВАния случАйных ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ 7.1.1. Среднее значение и корреляционная функция процесса на выходе системы. Линейная система с дискретным временем и с импульсной характеристикой й(п, Ь) преобразует согласно (6.10) случайную последовательность я(п), воздействующую на ее вход, в другую случайную последовательность п(п), которая является сверткой импульсной характеристики со входной последовательностью: т1(п) = 7„ Ь (п, Ь) $ (Ь).
(7.1) й= — е Бесконечная сумма (7.1) случайных величин предполагается сходящейся в среднеквадратическом смысле (см.,п. 3.4.1). Обозначим через а1 (п) и В1 (п, Ь) среднее значение н корреляционную функцию ~входной последовательности а1(и)=т,($(п)), В1(п, й)=т,($(и)$(Ь)). (7.2) Из (7.1) непосредственно следует связь между средними значениями и между корреляционными функциями случайных последовательностей на входе и на выходе линейной системы с дискретным ~временем: а„(п)= ~ Ь(п, Ь)а1(й), ь= — юо В„(и, т)= ~ ~', й(п, Ь,)й(т, Ь,)В1(йо й,). (7.4) х~= — ю х =— Дисперсия выходной последовательности н~ч(п) =В„(п, п) — (ач(и))з= ~', ~, 'Ь(п, Ь,) х Хй(п, Ь,)В1(йой,) — ~ Х Ь(п, й)а1(Ь) (7.5) 1х=— Из (7.5) следует, что для определения дисперсии выходной последовательности недостаточно знать только дисперсию входной последовательности, но необходимо задать также и входную корреляционную функцию.
181 (7.7) (7.9) где С й (!) = Х й (!) й (! — !) (7.12) ! ю — свертка импульсных характеристик линейной системы. Для того чтобы выполнить условие физической реализуемости линейной системы, необходимо в (7.3) — (7.6) !положить й(и, й) =— — 0 при й)и, а в (7.7) — (7.12) положить й(й) — = 0 при й(0. 7.1.2. Спектральная плотность мощности случайной последовательности. В п. 4.3.5 была определена спектральная плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса с непрерывным временем. Определим теперь эту величину для случайной последовательности $(п). Рассмотрим усеченную реализацию стационарной в широком смысле случайной последовательности С!ю(0), $<ю(1), ..., $!")(й!— — 1) и введем г-преобразование этой реализации и — 1 Ц," (г) = 2, $!'!(п) г ", (7.13) а=.а .где г — комплексная переменная.
Спектральная плотность мощности усеченной реализации В! !(.) = ' Я."!(,) 3.ю( — '), !т х 182 (7.14) Из (7.1) находим, кроме того, выражение для взаимной корреляционной функции входа н выхода линейной системы Вач(п, т) =т!(ь(п) !)'(т))= Х й(т, й) Ва(и, й). (7.6) ь — а Для линейных систем с постоянными во времени параметрами (инвариантных систем) в для входной случайной последовательности, стационарной в широком смысле, приведенные соотношения имеют следующий вид: ач~(п) = а1 ,'~ ' й(й), М Ф В„(п) = 2; Х й(!) й(1 — !) Вь (и — 1), (7.8) 1= — ао ! ао й(!) й(! — !) Вт(!) — ~аа 2„'й(й) !=в В!ч (п) = 2'„й (й) Вт (и — й).
(7.10) Заметим, что формулу (7.8) можно представить в виде В„(п)= 2; д(!)Вт(и — !), (7.1 1) а спектральная плотность мощности 81 (г) случайной последовательности $(п) равна пределу при Ф-+-оо среднего значения этой величины: Ва(г) = Вщт, (6,'д'(г)) =11щ — т, ~Яф(г) Л~~~' ( — ' ) ). Из (7.13) — (7.15) следует И вЂ” 1М вЂ” ! 51(г)=1!щ — ~ 2, т,($(п)$(т))г — <" — "'1= а=в а=О У и — пт — ь =1пп — ~ 2, Ва(п — т)г ~" "~л-Ют О н так как суммируемые .величины зависят только от разности индексов суммирова~ния, то двойная сумма приводится к простой сумме. После перехода к пределу при )у-+со получаем оконча- тельно Яа(г) =;~ Ва(й) г (7.
16) ь=— Как правило, спектральная плотность мощности вычисляется на единичной окружности а=ехр(ко): Ва(ы) = 2„В1(А)ехр( — 1Ьо), (ы! (и; где ы — «безразмерные» частоты. Корреляционная функция В! (А) случайной последовательности определяется по зада~иной спектральной плотности мощности обратным преобразованием Фурье: й Вт (А) = — ) Я! (в) ехр (1 А ы) с~ ы.
(7.18) 2а (7.17) Формулы (7.17) и (7.18) являются аналитическим представлением теоремы Хинчина — Вивера для случайных последовательностей (см. п. 4.3.6). 7.1.3. Спектральная плотность мощности на выходе линейной системы с дискретным временем. Выполним г-преобразоваиие от обеих частей равенства (7.11).
Так как свертке функций соответствует произведение их г-преобразований, то, учитывая (7.16), найдем из (7.!1) связь между спектральными плотностями мощности случайных последовательностей на входе и на выходе инвариантной линейной системы с д~искретным ~временем: Яч (г) = Н (г) Н (1!г) Я! (г), (7.19) где Н(г) — передаточная функция линейной системы (г-преобразование импульсной характеристики). С помощью (7.17) можно получить эквивалентное (7.19) выражение для спектральной плотности мощности,:которое чаще 183 (7.22) (7.24) используется при анализе линейных систем с дискретным временем: Вч(в) = [Н [ехр(1в))['Ве(в), (7.20) где [Н[ехр(1а)) [з — квадрат амплитудно-частотной характеристики системы.
Основываясь на (7.20) с учетом (7.18), можно определить корреляционную функцию выходной последовательности Я Вч(А) = — ) [Н [ехр(1а)[[зВ1(а)ехр(1йа) дв. 1?.21) 2л д' Средняя мощность последователыности на ~выходе системы о В„(0) = — ) [Н [ехр(1 а)) [~В1(в) 1[в. 2о 7.1.4. Воздействие последовательности с некоррелированными значениями на линейную систему. Предположим, что на входе инварнантной линейной системы с дискретным временем действует случайная, стационарная в широком смысле, центрированная последовательность $(п) с некоррелированными значениями (см. п.5.1А). Корреляционная функция такой последовательности В1(п:й)= т,($(п)$(А)) =озб„„= ~ (7.23) где о'е — дисперсия последовательности, й ь — символ Кронекера. Из (7.8) н (7.23) следует, что в рассматриваемом случае корреляционная функция последовательности г1 (п) на:выходе линейной системы [см.
также (7.!2)1 В„(п) = о' 2; й (и) й (й — п) = оз д (и). й= — м Ясно, что при центрироваиной последовательности на входе линейной системы ,последовательность на выходе также центр~нрована 1см. (7.7)1, Дисперсия последовательности на выходе линейной системы согласно (7.24) оз = Вч (О) = о' ~, 'й' (й) = о' д (О), (7.25) Из (7.17) и (7.23) видно, что спектральная плотность мощности случайной последовательности с некоррелированнымн значениями постоянна на всех частотах: 51 (в) = В1 (О) = о~.
(7.26) Тогда из (7.20) находим Вч(в) =о'~[Н[ехр([а))[', (7.27) т. е. нормированная спектральная ~плотность мощности Вч (а)/Фа .184 (7.29) с=о «=о на выходе линейной системы, когда на ее входе действует слу- чайная последовательность с некоррелированными значениям~и,. совпадает с квадратом амплитудно-частотной характеристики системы. 7.1.5. Реакция рекурсивного фильтра иа входную некоррели- рованную последовательность. Пусть на входе рекурсивного циф- рового фильтра действует стационарная в широком смысле цент- ~рированная последовательность $(п) с некоррелированными зна- чениями. Связь выхода т)(л) со входом $(п) рекурсивного фильт- ра определяется стохастическим линейным раз~постным уравнени- ем 1см. (6.18)] и П$ 2, 'а! т1(й — !) = ~', бД(й — 1).
(7.28) с-о с=о Общее, достаточно громоздкое решение уравнения (7.28) приве- дено в (28). При и=0 это уравнение называют уравнением авто- регреосии. Рекурсивный фильтр первого порядка можно описать простейшим уравнением авторегрессии т)(п) = Лт)(п — 1) + ~г 1 — Л 5 (и), 1)(1) = 5 (1), и= 1, 1Ц(1, решение которого, как нетрудно доказать, имеет вид т — 1 т)(п) =Л т1(п — и)+У! — Л' ~, 'Л'$(п — г), и= 1, 2,... (7.30) с=о Корреляционная функция последовательности т) (п) Вч(п, и) = и,(т( (л) т1(и)) = Л" и, (т)о(п)).
(7.31) Из (7.31) следует, что последовательность на выходе рекурсивно- го фильтра сестационарная. При и-«оо из (7.30) получаем стационарное решение уравне- ния (7.29): т) (и) = )г 1 — Ло 2' ,Л' к (п — г). (7.32) с=о Ряд (7.32) сходится в среднеквадратическом. Стационарное значение дисперсии последовательности (см (7.23) 1 и, (т1'(и)) = П вЂ” Л') 2; 2, 'Л'+« и, ($ (и — г) $ (л — А)) = о «=о = (1 — Ло) 2, '2', Л'+ б,«оом откуда следует и (т)о(п))=(1 — Л')оо ~ Лт"=о~. «-о (7.33) 185 которое называют уравнением скользящего среднего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
