Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Найдем моменты одномерного распределения,на его выходе. Для этого в соответспвии с п.7.3.2 необходимо найти сначала т,5(1 — и|) ...$(1— — ид)), Используя результаты задачи 6.6 и применяя метод полной математической индукции, получаем Для вычисления интеграла (7.91) прн произвольном конечном А снова можно использовать метод полной математической индукции. В результате (2г)! 2Л 5-1 Мег =глэгй =, П (2г — 1+ — ) г! 2' г=! [, а / (7. 93) (7.94) р,„=В(г+'/з, Ца)/В('/з, Л/а). Нетрудно убедиться, что (792) получается из (7.94) при г=1. Сравнивая (7.94) с (4б) задачи 2.2, убеждаемся, что моменты 2г-го порядка исследуемого процесса совпадают с моментами г-го порядка случайной величины пь имеющей бета-распределение.
Таким образом, моменты процесса на выходе интегратора представляют моменты случайной величины й = +»г ть распределение которой получаем цэ формулы (4а) задачи 2 2. Так как в рассматриваемом случае а= 1/2, Ь=Л/а, то, используя известное правило определении распределений прн функциональном преобразовании случайной величины, получаем одномерную плотность вероятности процесса иа выходе интегрирующей схемы, когда на ее вход действует телеграфный сигнал: у,)Ь/а — ! ь (У» В(1/2, Л/а) (7.95) Эта плотность зависит только от одного параметра Л/а — отношения полосы энергетического спектра телеграфного сигнала к полосе интегрирующей схемы.
Функцию распределения процесса на выходе интегратора нетрудно выразить через неполную бета-функцию. При Л/а= 1/2 из (7.95) получаем плотность вероятности синусоиды со случайной, равномерно распределенной фазой (см. задачу 3.8) йт~(у) = (!/и)( 1 †) -'/т, ( у[ ( !. Нетрудно найти коэффициент эксцесса распределения (7.95) 6 3+2Л/а и записать первые два члена ряда (7.87) '[г'2п ( 2 ) ь 4(3+ 2Л/а) (7. 97) где х=у/ [г 1+2Л/а. При Л/а-ьсо для узкополосного интегратора приходим к нормальному распределению.
Для широкополосного интегратора Л/а«1, В(1/2, Ца) =Ца и из (7.95) на- ходим Л йтй (у) = — (1 — у )'/ — ', а (7.98) 203 Заметим, что величина Ца равна отношению ширины полосы частот спектра телеграфного сигнала к ширине полосы частот /7С-интегратора. Используя элементарное соотношение для гамма-функции Г(х+1) =хГ(х) н определение бета-функции '[см. (1.23в)», можно формулу (7.93) представить в виде При Л/а-ьо из (7.98) получаем плотность вероятности телеграфного сигнала Уй (у) = [6(у — 1)+б(у+1)]!2.
(7.99) Заметим, что при к=а распределение сигнала на ныходе интегратора равномерное, при Л=2а — параболическое, а при Л=За)2 — эллиптическое. Интересно отметить, что распределение вида (7.95) характеризует также процесс на выходе рассмотренного )7С-ингегратора, если на его вход действует процесс, равный знп $(1), причем $(1) — гауссовский случайный процесс, нормированная корреляционная функция которого 171(т) =ехр( †!)(т1), й)0, а аяп х=х/[х!. Если обозначить !с=а)0, то, как показано в [29], распределение нроцесса на выходе интегратора получается из (7.95) заменой Х'а вели жной [рв(1)2, 1ь)2) — 2] 7.3.5.
Нормализация случайного процесса на выходе фильтра. Как отмечалось в п. 7.3.4, процесс на выходе низкочастотного фильтра (интегратора) приобретает свойства гауссовского процесса, когда отношение ширины полосы частот фильтра Лф к ширине полосы частот энергетического спектра входного процесса Л стремится к нулю. Эта тенденция к нордгалиэации, т. е.
к приближению распределения процесса на выходе низкочастотного филь,тра к нормальному (гауссовскому), имеет общий характер при Лф/Лй — О, что является следствием центральной предельной теоремы для стационарных случайных процессов, удовлетворяющих условию сильного перемешивания (см. п. 5.2.7). Качественно явление нормализации можно объяснить следующим образом. Допустим, что в реальных ситуациях центрированный процесс на входе 9(1) принадлежит классу Т вЂ” зависимых процессов (см. п. 4.2.9).
Интервал корреляции входного процесса тг « Т, откуда следует, что полоса частот энергетического спектра Лв« ЦТ, причем 54 (О) чь0. Предположим, что процесс Ь(1) на выходе фильтра можно аппроксимировать суммой независимых случайных величин Д!) = 2; И(! йтД(йт), так как $(иТ) и 9(гТ) при п~г независимы. Условия центральной предельной теоремы будут выполнены, если л.йа(1 — йТ) (оз и й(и) — медленно меняющаяся на интервале Т функция. Последнее условие означает, что полоса частот фильтра Лф«![Т«Лй или Лф/Лй «!.
Строгое доказательство нормализации Т-зависимых процессов на выходе низкочастотного узкополосного фильтра приведено в [301. 7ся ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 7.4.!. Характеристика системы. В $ 7.! — 7.3 рассматривались случайные процессы, проходящие через линейные системы, характеристики которых представлялись заданными детерминированны- 204 (7.100а) й (но, 1) = ) й(1, 1 — и) ехр ( — 1ви) Йи. (7. 1006) где интегралы определены в среднеквадратическом. Корреляционную функцию линейной системы со случайными параметрами определим следующим образом: В,(8„1, а„в,) = гп,(й(но,, 1,) й(но„1,). (7.101) Для стационарных (в широком смысле) линейных систем В,(т, в)=т~(й(но, 1)й( — но, 1+т))=В,(т, — в).
(7.102) В этом случае можно также характеризовать линейную систему преобразованием Фурье по т от В,(т, в')ехр(1в'т), вводя частотную функцию двух переменных Г(а, а') = ) В, (т, а') ехр (1(в' — в) т) дт. (7.103) Заметим, что для линейной системы с постоянными параметрами Й(1в, 1) — = й(1в) и, следовательно, В,(т, а) = ~й(1а) ~о=со(в), (7.104) т. е. не зависит от т и совпадает с квадратом частотной характеристики системы. Функция Г(в, в') переходит при этом в Г(в, в')=С'(вЦ ехр(1(а' — а)т)пт=2пСт(в)б(в' — в). (7.105) 7.4.2.
Корреляционная функция процесса на выходе системы. Воспользуемся введенными вероятностными характеристиками линейной системы со случайными параметрами для определения корреляционной функции процесса на выходе такой системы, когда иа вход ее поступает случайный процесс $(1), корреляционная функция которого равна В1(1ь 1о). Запишем общее соотношение, 205 чои функциями. Наряду с этим следует также исследовать характеристики процессов на выходе линейных инерционных систем, параметры которых случайны. Примерами таких систем являются большинство каналов, в которых происходит распространение раднбсигналов от передатчика к приемнику. За характеристики линейной системы примем импульсную характеристику й(1, т) и передаточную функцию й(но, 1), однако в отличие от предыдущего эти функции соответственно для каждой величины т и для каждой частоты в, рассматриваемых как действительные параметры, представляют случайные процессы.
Зги характеристики представляют пару преобразований Фурье 1 й (1, 1 — и) = — )" й (но, 1) ехр (1ви) йо. 2н связывающее процесс на выходе линейной системы с процессом на входе: ), (1) = ) Щ, т) $ (т) )(т, (7. 106) (7.112) 206 где интеграл понимается в среднеквадратическом. Теперь выражение для корреляционной функции процесса ь(1), можно представить в виде 0,)~,. ~)=,[] ) 0))о )ОР„,))).))))0 О]. )0)0)) В дальнейшем будем предполагать, что случайный процесс $(1) и случайная импульсная характеристика линейной системы статистически независимы.
Тогда нз (7.107), изменяя порядок интегрирования и усреднения, а также заменяя и на 1) — и, о на 1з — о, получаем Вт(1м (т) = )О ) тт(Ь(1о 1т — и) ))(Цв (т — о)) Х х Вт(1,— и, 1,— о)йи(о. (7.108) Выразим коварнацню импульсных характеристик системы через корреляционную функцию системы. Используя (7.101) н (7.100а), находим и (й ((„) ) — и) 1) (1, (т — о)) = ° 0 00 — — ] В, (1„тв в„е,) ехр [1 (в, и + в, о)] )(е, дев (7.109) ОО 00 и, подставляя (7.109) в (7.108), получаем 00 00 Вс (11 )з) = ) - ]ВО (1~ Оз в1 ви) Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
