Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 40
Текст из файла (страница 40)
217 д гоп гена з'ь Рис. 8.П Спектральная плотность мощности узкополосного процесса после нели- нейного преобразования где д(1и)= )Г(х)ехр( — (хи)с(х. ЮО (8.24) Подставляя (8.23) в (8.2) и меняя порядок интегрирования, находим Вс (1„1а) = — ) ) д (1 ит) Д (1 Пв) Х ! с, с, ОО О Х ) ) гва (хз х„г„гя) ехр [1 (х, и, + хя из))г(х, г(хя г(и, г(из. Внутренний интеграл по х| и хз представляет двумерную характеристическую функцию Оа(иь им 1ь гз) процесса на входе нелинейной системы. Тогда В4(1„1а)= — ) ~д(( и,) д(1 иа) Вя(и„и„1„гя) 4(и,диз. (8.25) 1 4"' с,с 218 тоты 1спектр 5~(оз), где сосредоточен также спектр и входного процесса) и в высокочастотных областях около гармоник несущей (спектры 5,(го) при г)2). Их можно разделить при помощи полосовых фильтров, каждый нз которых позволяет охватить данную полосу и не пропустить заметную часть спектра соседних полос.
Низкочастотный спектр наиболее интересен при демодуляции, .в то время как спектральная полоса около несущей важна для изучения таких процессов, как модуляция и гетеродинироваиие. 8.1.4. Метод контурных интегралов. Второй способ вычисления интеграла (8.2) заключается в использовании представления характеристики нелинейной системы контурнаьи интегралом 1(х) = — ~д(! и) ехр(1хи) г(и, 2п с (8.23) да а щ ] ~'"' (х) в, (х) дх, [дат]" (8.28) а из (3.84г) — дифференциальное уравнение, связывающее корреляционные функции на входе и на выходе системы: дп В (т) ~,и" ~ (х,) [~ "~ (х,) ю, (х„х„т) йх, дх,.
(8,29) [д Вз (т)]" Конечно, уравнения (8.28) и (8.29) можно использовать для определения среднего и корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы, если правые части этих уравнений константы или содержат в явном виде соответственно среднее и корреляционную функцию процесса на входе. Эффективность метода производных будет показана в гл. 9 для гауссовского процесса ьа входе нелинейной системы В этом случае метод производных часто позволяет получить выражение корреляционной функции процесса на выходе нелннерь ной системы в замкнутой форме, а не в виде бесконечного ряда Если процесс на входе стационарный, то ВС (т) = — [ ( д (1 и,) д (1 ит) 6, (и„и„т) г(и„г(и,.
(8. 26) 4"Р с а Если в (826) заменить 6з(иь из, т) =61(и1)61(ит) при т-+аа„ зо получим [ср. с (8.4)1 а4= — ~д(1 и) 6т(и) Ыи. 1 (8.27) 2и, Для разделения переменных интегрирования в (8.25) можно„ как и в п. 8.2.1 при прямом методе, разложить 6з(иь из, (ь 1з) в ряд по ортогональным полиномам, соответствующим одномерной характеристической функции, а в некоторых случаях в степенной ряд Тейлора. Нельзя дать общей рекомендации, когда для вычисления корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы применять прямой метод, а когда метод контурных интегралов. Такая рекомендация зависит от вероятностных характеристик входного процесса и от характеристики нелинейной системы.
Если потребуется дополнительное усреднение по времени корреляционной функции выходного процесса, может оказаться предпочтительнее метод контурных интегралов для нестационарных процессов. 8.1.5. Метод производных. Этот метод основан на обобщения на случайные процессы кумулянтиых уравнений (3.73б), (3.84г) [31]. Так, для стационарного процесса на входе статической нелинейной системы из (3.73б) получаем дифференциальное уравнение, связывающее средние значения процессов на входе и выходе системы (см, (8.11)], Однако с помощью представления в виде ряда можно гораздо проще выполнить преобразование Фурье корреляционной функции, необходимое для определения спектральной плотности мощности 1см.
(8.17)1, 8.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОИТНОСТЕИ ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 8.2.1. Общие соотношения. Точное определение функции распределения процесса на выходе динамической (даже линейной) системы представляет в общем случае практически неразрешимую задачу (см. 3 7.3). Для статической системы эта задача решается точно и в замкнутой форме для функции распределения любого порядка путем использования результатов, приведенных в п. 3.1.12. Пусть известны характеристика (8.!) статической нелинейной системы и многомеРнаЯ плотность веРоЯтности ш1(хь ..., х, гь ..., 1„) случайного процесса $(1) на входе системы. Обозначим через ад=5(1д) и через ьд=ь(1д), и=1, и.
Задача состоит в определении совместной плотности совокупности случайных величин ьд, и=1, и, получаемых в результате нелинейного преобразования Ьд=1Яд), и=1, и. Преобразование (8.30) представляет частный случай (3.23), когда преобразованная й-я переменная зависит только от й-й входной переменной. Если чч(уд) — 1-я ветвь обратного преобразования, то из (3.25) в рассматриваемом случае находим простое выражение якобианов преобразования У, = П ~' Уд , 1 = 1, 2, .
(8.31) Тогда из (3.26) получаем решение рассматриваемой задачи в форме следующего соотношения между плотностями вероятностей процессов на входе и выходе нелинейной системы: Ф'с(у„...у„, 1„..., 1„) = л = ~ ш1(~р;(у,),..., ~р,(у„), 1„ ..., 1„! П ~ т' "д ~ (8.32) Заметим, что корреляционную функцию и спектральную плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы можно определять после того, как найдено, по крайней мере, двумерное распределение этого процесса. Однако, если по условию задачи требуются только энергетические характеристики выходного процесса, часто проще воспользоваться результатами 3 8.1, не вычисляя предварительно двумерного распределения. 220 Наконец, отметим, что нелинейное неинерционное преобразование случайного процесса не вносит дополнительных вероятностных временных связей.
Точнее говоря, если процесс до неинерционного преобразования полностью характеризовался п-мерным распределением, то и после преобразования он будет полностью характеризоваться распределением п-го порядка. Например, марковский процесс после нелинейного неинерционного преобразования (монотонного) останется марковским. В противоположность этому динамические системы вносят дополнительные вероятностные связи. Так, профильтрованный белый шум оказывается коррелированным, а процесс на выходе линейной системы, когда на входе действует марковский процесс, уже не является марковским 8.2.2. Распределение квадрата случайного процесса. Используем общую формулу (8.32) для определения двумерной плотнсти вероятности квадрата ь(!) =$'(1) случайного процесса $(1).
Одномерная плотность вероятности квадрата случайного процесса получается из (3.11) заменой в! (х) на гв~(х, 1). Обозначим через ш~(хь хм 6ь 1з) и В'~(уь у~, 1ь 1~) двумерные плотности вероятности случайного процесса и его квадрата соответственно. Так как функция, обратная у=х', двузначна, то каждой точке с координатами у~)0, у,)0 будет соответствовать четыре точки в плоскости (хь х,): х„= )/ у„х,, = — )/ у,, х„= ТГу.„х„= — )Гу,.
(8.33) Так как их~~ (кх,~ ! ! дх., ( нх~~1 ! ау ~ йу ~ 2~/у~' Ку~ ~КУ~~ 2Р'~у то в соответствии с (8.32) находим 11'а(уг ум 1! !г) = ~ — (гва(1 ум ) уа 1! (з)+ 4 кугу, +гва( )' уг Ф уи (з 1и) + + и!, ()" Ум — )' уз 1м гз) + и!, ( — Уум )I ум 1м 1~)) ) (8.34) Если процесс на входе стационарный, то двумерные плотности вероятности процессов на входе и на выходе нелинейной системы зависят только от временного параметра сдвига т=1~ — 6ь При .т оо !в~(хь х„т) =и!,(х,)в,(х~) и тогда из (8.34) получим 1(!т (у у ) ' [1и (У'„) .~ г4, ( ) у,)) х 2 ~/у, х (ш,()"у.)+ш,( )'у,)), что согласуется с (3.11).
22! 8.2.3. Линейный детектор. Найдем двумерную плотность вероятности случайного процесса на выходе линейного детектора с ха- рактеристикой )'х — х,, х х„ (О, х<х,. (8.35) Обозначив Ь=5(1т), Ч =т1((т), 1=1; 2, получим (см. и.
3.1.8) Р(0<т11<уь 0<т1о<у«) = =Р(хо(Ь(у~+хо, хо~~$о<до+хо)+ +Р(хо<51<у,+хо, $о<хо)+ +Р(~1(хо, хоЯо~до+хо)+Р(51~<хо, Мхо), откуда выразим двумерную плотность вероятности )ото(уод„1ь(о) процесса на выходе линейного детектора через двумерную плот- ность вероятности тао(хь хо, й, 1«) на входе: (от(ут у» т» тт)=тат(ут+хо у«+хо тт то)+ «, +6(у~) ) птт(хт хо+до тт (о)т(хт+ «« +6(у,) ) тао(х,+у,, хо, тт, тт)дх,+ Эта формула является частным случаем (3.136) при т=1. 8.8.
КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА 8.3.1. Характеристика квантователя. В цифровых системах передачи информации аналоговый сигнал подвергается дискретизации во времени и квантованию по уровням в аналого-цифровом преобразователе (АЦП), При квантовании динамический диапазон значений аналогового сигнала делится на ряд дискретных уровней. Если сигнал квантуется на М уровней, то характеристику амплитудного квантователя можно записать в виде (рис. 8.2): Я(х)=ад, если хек(го ь г„), Й 1, М (8.37) 222 + 6 (д,) 6 (УН ) ) та, (х,, х„(„го) т(х, т(х„д, ) О, д, ~ О. (8.38) Интегрируя по любой из переменных у, и уо, получаем одномерную плотность вероятности процесса после линейного детектирования «а )рт(у, 1) = та, (х,+ у, 1)+6(у) ~ тат(х, 1) Нх, У)0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
