Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(и+ 1,)! (л+ 1т)! (2гт — 1)!! (2гз — 1)!! 1з! 1з! «1 1 ) (9. 35) Дискретной части спектра соответствуют (в смысле преобразования Фурье) члены при л=О, непрерывной части — члены при л)0. Если детерминированная часть гауссовского процесса на входе системы отсутствует, то в (9.35) исчезают все члены, за исключением тех, для хоторых 1 =(з=О. Тогда из (9.35) находим корреляционную функцию стационарного гауссовского случайного процесса, прошедшего через систему, нелинейная характеристика которой аппроксимируется степенным рядом (9.31): « «) « В(т) = ,'~~ )т«(т) ~, '~ а„+т, а„+з, Х «=о г,=о г,=о Хот!"+"+"! ~ 1] ) (2гт — 1)!! (2гз — 1)!! л! л 1), л ) Так как суммированием по г) и гз разделяется, то получаем , гл+ 2гч В))=Х )«))[Хч,г~"( ))2 — ))и]. )9)6) л о ,=о л Выпишем несколько первых членов суммы (9.36), пренебрегал членами при г))5: В (т) = (а«+азот+За„о') а+Я (т) (а)а+За«от+15азоз) з+2йз (т) (агоз+ +ба,о']з-)-6)тз(т) (азоз+10а,о')а+24)т'(т) (а«о')а+120)7'(т) (азп))з.
(9.37) ' Формулу (9.33) следует использовать при «=0, а последующие коэффициенты с„при л~! находить последовательным дифференцированием )(с )1)(з=с«. 236 9.!.6. Квадратичный детектор. Используем общее соотношение '(9.37) для анализа энергетических характеристик случайного про- цесса на выходе квадратичного детектора, когда иа его вход дей- ствует гауссовский случайный процесс, представляющий сумму детерминированного сигнала и гауссовского стационарного шума. Полагая, что характеристика квадратичного детектора у=)(х) =х', (9.38) находим из (9.33) при а,=! и аж=0, птФ2, с,(Х)=от+я'(Е), с,(7)=2оа(7), с,=2о' и с„(7) =— 0 при п)3.
Обозначим 77г )Р, = ! пп — ~ зв (7) с(7, (9,40а) т.ь 7 77Я 772 В, ( с) = ))т — ) з (!) з (7 + т) с)7, т э., 7 ггя гр Вм(т)= !йп — ( зв(7)зз(7+7) й. (9,40в) 7'-+~ 7 7 ~я Величина )г", представляет среднюю мощность детерминиро- ванной части процесса; В,(т), В,. (т) — соответственно временные корреляционные функции процесса з(7) и его квадрата зз(!). Применив введенные обозначения, можно выражение усред- ненной корреляционной функции случайного процесса, полученно- го в результате квадратичного преобразования гауссовского про- цесса, представить в виде )см.
(9.35)] В*(т) = о'(о'+ 2)р',) + В,* (с) + 4В, (т) )с (т) + 2о' )сз (т). (9.41) Каждое слагаемое в (9.4!) имеет ясную физическую трактов- ку: первое соответствует мощности постоянной составляющей, вто- рое — дискретной части спектра, а последние два — непрерывной части спектра. Постоянная составляющая создается как детерминированной, так и случайной частью процесса на входе, причем доля посто- янной составляющей от детерминированной части равна 2аз!)7„ доля от случайной части — о4.
Дискретный спектр после квадратичного преобразования вос- производит спектр квадрата детерминированной составляющей входного процесса. Непрерывный спектр после квадратичного пре- образования содержит комбинационные гармоники от взаимных 237 (9.39) (9.40б) В выражении (9.37) первый член характеризует мощность постоянной со,ставляющей, второй соответствует неискаженному воспроизведению входного спектра на выходе нелинейной системы, а последующие члены описывают продукты нелинейных искажений этого спектра второго, третьего и более высоких порядков.
биений компонент случайной части [член 2о4Я'(т)] и компонент детерминированной и случайной частей [член 4В,(т)Я(т)]. При квадратичном детектировании стационарного центрирован- ного гауссовского процесса с корреляционной функцией оЯ(т) в соответствии с (9.41) корреляционная функция процесса на выходе детектора В ( ) = 4 [1+ Мз ( ) ] (9.42) причем среднее н дисперсия процесса на выходе а оз оз 2о4 — э (9.42а) а нормированная корреляционная функция РС (т) =Й'(т).
9.1.7. Двухполупериодное квадратичное детектирование суммы амплитудно-модулированного сигнала н гауссовского шума. Предположим, что детерминированная часть гауссовского процесса представляет собой амплитудно-модулированный сигнал (9.43) з(1) =и(1)соя ао(, (9.45) где В (т) — временная корреляционная функция модулирующего сигнала; ттз В,*(т\= — ( 1+ — соз2а,т'1 Вш — ) и'Яи'((+т)т((= 4 2 !т- Т 1 / 1 = — (.1+ — соз2а,т] В„*(т). 4 (, 2 (9.46) 238 причем наивысшая гармоника в спектре огибающей и(1) гораздо меньше несущей частоты аа Предположим, что стационарное слагаемое гауссовского процесса представляет шум, спектр которого сосредоточен в относительно узкой полосе около той же высокой частоты аа Воспользуемся результатами п. 9.1.6 для решения задачи о квадратичном детектировании амплитудно-модулированного сигнала в присутствии аддитивного гауссовского шума.
Очевидно, что для восстановления низкочастотной огибающей и(1) из радиосигнала детектор, помимо нелинейного элемента, должен содержать фильтирующий элемент, выделяющий низкочастотные и подавляющий высокочастотные компоненты. Из (9.40а — в) с учетом узкополосности сигнала находим: т12 Ю', = — Вш — ) и' (1) сУ = — В„(0), (9.44) 2 т Т то 2 где В (О) — средняя мощность модулирующего сигнала; тд 1 В,(т)= — соза,т!пп — [ и(1)и(1+т)Ж=- — В„(т)созаат, 2 т Т вЂ” 'т2 2 Подставляя (9.44) — (9.46) в (9.41) и учитывая, что В (т) = ~йю(т)созююют, получаем В (т) = о + ою В„(0) + — В„* (т) + ою Вц (т) )т (т) + ою Вю (т) 4- 4 + ~ — Вцс (т) + о' Вц (т) тСю (т) + о Р~~ (т)1 соз 2свю т. (9.47) (1ри отсутствии сигнала из (9.47) следует В (т) = ос [ 1 1 Яю а (т) -(-Яюю (т) соз 2гюют] .
(9.48) В отличие от линейного детектора [см. (9,26)), для которого выходная корреляционная функция шумов выражается бесконечным рядом по степеням Яю(т), корреляционная функция шумов на выходе квадратичного детектора не содержит степени Вю(т) выше второй. Использовав выражение (9.48) для корреляционной функции и произведя преобразование Фурье, можно определить спектральную плотность мощности процесса на ныходе квадратичного детектора. Среднее и дисперсия шумов на выходе квадратичного детектора определяются по формулам (9.42а).
9аи Анализ энеРГетических хАРАктеРистик МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 9.2.1. Общие соотношения. Предположим, что характеристика нелинейной системы допускает представление контурным интегралом (8.23). Воспользуемся формулой (8.25) для корреляционной функции случайного процесса на выходе нелинейной системы при условии, что на ее вход действует случайный процесс, представляющий аддитивную смесь детерминированного сигнала з(1) и гауссовского центрированного стационарного процесса с дисперсией о' и нормированной корреляционной функцией Я(т). Подставляя в (8.25) выражение двумерной характеристической функции случайного процесса [см.
(5.10)), получаем В(т, 1)= — ) ) д(1и1)д(1и,) ехр ~1(а, и, + аю из)— с,с, (9.49) — — [ и',+ 2сг(т) и, из+ итю)~ с(и, с(ию. В ннтеграле (9.49) только множитель ехр[1(а,и,+азию)1 содержит величины аг=а(1) и аюе а(г+т), зависящие от времени. Поэтому при усреднении во времени корреляционной функции В(т, 1) усредняется только этот множитель. Обозначая тсю Ц(и„цю, т)=11гп — )" ехр(1(з(1)и,+з(1+т)ию))Ж, (9.50) т Т находим из (9.49) следующее выражение усредненной корреляци- 239 оиной функции случайного процесса на выходе нелинейной си- стемы (9.52) где с+о ! оо ио й„„= ~й(! и) и 1„(аи) ехр ( — — ) о(и.
с г ) (9.55) В сумме (9.54) группа членов, для которых А=О, соответствует дискретной части спектра. Величина ло„о равна интенсивности дискретной части этого спектра на частоте 2лп7Т. Остальные члены при А~О соответствуют непрерывной части спектра. Если в (9.55) положить а=О, то найдем корреляционную функцию процесса на выходе нелинейной системы, когда на его вход действует стационарный гауссовский процесс. В этом случае й о=О при и)! и йо )7 (т) (9.56) о=о где !' . о ( ооио~ Ьох= — ~д(1и) и ехр ( — — ) о(и. 2л, 2 (9.57) 240 В* ( о) = — ) ) д (! и ) д (! ио)0, (и„и„т) х 4ло сс х ( — — ( из+ 2с7 (т) и, и, + и,') ~ г(и, о(ио.
(9.51) Рассмотрим более подробно частный случай, когда е (1) = =асов(2л!(Т). Из (9с50) находим 2лт ~!!2 1 !9, (и„и„т) = У ~а ( и', + ио + 2и, и, соз — ) Т ) На основе известной в теории функций Бесселя теоремы сложения, можно представить (9.52) в виде ряда !9,(и„и„т) = 2; ( — 1)" е„у„(аи,) У„(аио) соз( — ), (9.53) с=о где ео= 1, е„= — 2 при и- '1. Если теперь подставить (9.53) в (9.51) и использовать, кроме того, разложение сомножителя ехр! — п%(т)асио) в ряд ехр ( — оо )7 (т) и ио) = У ( — 1) В" (т) и, и„ о=о сс! то в двойном интеграле (9.51) окажется возможным разделить переменные интегрирования и представить усредненную по времени корреляционную функцию в виде оо В*(т)= ~', ~' е„— Ь„'о)то(т)соз( — "'), (9.54) о=ох=о к=а д=в 1 + — 2; 2; е„(Ве„! „(т) (соз(и+ 2г — 1)в,т+соз(и — 2г+1) в,т)+ =е ~=,! + В„„(т) (соз (и+ 2г) в, т + соз (и — 2г) в„т]), (9.59) где -,.
("), В. (т) = 2; — й', ед Ре'(т), ! (2д)! 2ед (9.60а) 121 — 1) 4Д вЂ” Е В2г — 1, д (т) Х йл, ы — ! Ае ('г), ~ (2д — 1)! 224 — е (9.606) 241 Замостим, что если в (9.57) заменить д(1и) его интегральным преобрайованием (8.24), а также воспользоваться соотношением !"! д Г . езде 1 —,(и ехр( — !хи — — )ди= 2д '" ) ид г дада т = ( — 1) ( — ) ехр ( — 1 хи — — ) 4(и) = Идд 2д с 2 ( — 1) д, Г де 1 1 г х~х — — ехр( — — ) = „, Нд(хго)ехр( (2лае)~Ге д,т" 2Ф ) д~+~ )/2д 2Ф ) (9.57а) то можно убедиться, что величина адйед в разложении (9.56) совпадает с коэффициентом с„разложения (9.7), полученным прямым методом. Из (9.54) видно, что определение спектральной плотности мо!цности суммы периодического сигнала и стационарного гауссовского процесса после нелинейного преобразования сводится к вычислению преобразований Фурье от степеней нормированной корреляционной функции гауссовского процесса и интегралов (9.55), которые зависят только от характеристики д(1и) нелинейной системы.
9.2.2. Узкополосный гауссовский процесс. Предположим, что спектр стационарной части гауссовского процесса сосредоточен в узкой полосе около частоты ве=2иТ гармонического сигнала. Тогда )т(т) =!7ю(т)сов вет н из (954) получаем е„Р г В" (т) = 2, 2„—" й~д Де (т) соз ве т соз и в~ т. =од-о Заменяя степени косинусов суммой косинусов кратных дуг по формулам (9.11а,б) и совершая те же преобразования, что и в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
