Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Однако, как будет показано далее, полезность этих соотношений обнаруживается для узкополосных процессов. 10.1.3. Корреляционные функции квадратурных составляющих. Обозначим через Вл(т), Во(т), Влс(т), Вол(т) корреляционные и взаимные корреляционные функции квадратурных составляющих А(1) и С(1).
Тогда из (10.18) и (10.19) находим Вл(т) =Во(т) = т~ (9(1) 9(1+т)) соз вот+ т~ (9(1) т) (1+ +т))з!и юот=Ва(т)сов юот+Вее(т)з!п вот, (10.20) В„,( ) = — В, ( ) =т,(Р.(1)Р(1+ ))з!пюо — т,(й(1)т)(1+ +т) ) соз юот= Ва (т) 51п юот — В ап(т) соз юос. (10.21) Из (10,20) и (10.21) следует В а(т) = Вл(т) соз вот+Вне(т) щп оэот. (10.22) Выражая корреляционную и взаимную корреляционную функции Ва(т) и В „(т) через спектр 51 (ю) процесса $(1), получаем из (10.20) 1 ВА (т) Вс (к) 1 51(ю) соз (ю юе) т дю, (10.23) 2" о Для узкополосного процесса 9(1) из (!0.23) с пренебрежимо малой погрешностью следует приближенное равенство 00 Вл (т) = Вс (т) ж — ~В' (ю) соз гот йо, (10.24) 2п где Ваа(ю) — спектр процесса 9(1), сдвинутый в область нижних частот (см.
п. 4.4.1). Из (10.23) следует, что дисперсии' случайных процессов А(1) и С(1) равны между собой и равны дисперсии процесса $(1): В„(0) = Вс (О) = Вд (О), (10.25) откуда следует также 1см. (10.14)) т1(Е'(1) ) =2В1(0). (10.26) Анализ формулы (10,24) показывает, что для узкополосного процесса 5(1) корреляционные функции квадратурных составлякицих А(1) и С(1) медленно меняются по сравнению с сов юо1, Учитывая связь огибающей Е(1) н фазы ср(1) с квадратурными составляющими А(1) и С(1), заключаем, что корреляционные ' так как средние процесса $(1) и сопряженного ч(1) равны нулю, то, как видно иа (!0.18) и (10.19), средние процессов А(1) и С(1) также равны нулю. 9а 259 (10.276) (10. 29) (10.31) (10.31а) функции огибающей Е(() и фазы ~р(1) также медленно меняются по сравнению с соя вот, а их спектры сосредоточены в низкочастотной области. Таким образом, узкополосный случайный процесс носит характер высокочастотного колебания с несущей частотой во и медленно меняющимися огибающей и фазой [см.
(10.12) и (10.22)). Для взаимных корреляционных функций процессов А (1) и С(1) имеем нз (10.21) 1 Влс(т) = — Всл (т) = — ) Яя (в) я1п (в — во) тпа. (10.27а) 2" о Для узкополосного процесса из (10.27а) с пренебрежимо малой погрешностью следует [см. (10.24)1 Э Влс (т) = — Всл (т) = — ) Я' (в) я(п ат д а.
2п Из (10.276) следует, что при т=0, т е. в совпадающие моменты времени, случайные процессы А(1) и С(Г) всегда некоррелнрованы, Если я(Г) — стационарный гауссовский случайный процесс, то квадратурные составляющие А(г) и С(г) также являются стационарными гауссовскими случайными процессами, независимыми в совпадающие моменты времени.
Заметим, что из (10.24) и (10.2?6) следует, что О 1а р ~о <- в„,~о - [ — ~ в;~ > .н ) ~- ОР йо -1- ~ — ) 5'(в)я(патйо~ . (10.28) [ 2л Корреляционные функции производных А'(1) и С'(1) Вл (т) = Вс,(т) = — В„" (т) = — В, (т) = ОЭ - — ((в-во)~5$(в) соя(в-ао) тра, а дисперсия этих производных ЮР— Вл(0) = — В (О) = — )(а — а )Я52(в)с(а.
(10.30) с о Нетрудно также получить выражение для взаимных корреляционных функций А(г) и С'((), А'(() и С(Г) Влс (О) — Вл с(0) пюя(А(г) С'(2)) = — тт(А'(~)С(~)) =Влс(0) = 30 - — 4((а — а„) Вя (в) ив = (а„— в,) Вя (0). ВФ / ао где вор ~ абая(а)йо/ ~Вя(в)йо. а 260 (10.37) (10.38) Если спектр 31(оо) симметричный и ооо совпадает с централь- ной частотой спектра, то из (10.24) и (10.27) находим (см. и 4.4.1): 1 Вл (т) = Вс (т) = — )' Я' (оо) соз оот о(оо = ао (т), (10.32) в о Влс(т) = — Всл(т) =О. (10.33) Из (10.22) и (10.32) следует, что корреляционная функция уз- кополосного случайного процесса я(Г) с симметричным относи- тельно центральной частоты спектром Ве(т) =ао(т) соз ооо т, что совпадает с (4.103) При этом, однако, выясняется физический смысл функции ао(т) в (4.103), которая является корреляционной функцией для каждого из медленно меняющихся процессов А(1) и С(1), связанных с узкополосным процессом С(1) соотношения- ми (10.18) и (10.19).
10.1.4. Огибающая и фаза суммы узкополосных случайного и детерминированного процессов. В соответствии с (10.12) стацио- нарный узкополосный случайный процесс можно представить в виде $(() =А (1) соз гоо(+ С(1) з(п ооо1, где А(1) и С(П вЂ” стационарные и стационарно связанные слу- чайные процессы, корреляционные функции которых медленно меняются за один период 2п!ооо. Пусть детерминированный процесс з(() представляет высоко- частотное колебание частоты ооо, модулированное по амплитуде и по фазе, т. е. з(1) =и(1)сов во(+п(1)з(пооо(=а(1)соз[ооо( — 6.(()), (1034) где а(г) = [по(г)+по(())'4 и д,(г) =агс(8[о(()/и(1)) — огибающая и фаза узкополосного детерминированного процесса.
Сумму слу- чайного $(() и детерминированного з(1) процессов ~ (() = [А (1) + и(() ) соз ооо(+ [С(() + и (1) ) з(п ооо( (10.35) можно представить в виде ь(1) =Е(1)соз[ьо( — ор(() ), (10.36) где Е(() и ор(1) — огибающая и фаза случайного процесса (,((), определяемые по формулам Е(1) = [[А(1)+и(1)1'+ [С(()+о(()1')'", ф(1) = агс1д () + А (О+ и(0 10.1.5.
Распределение вероятности огибающей и фазы. Для определения многомерной плотности вероятности огибающей Е(() н фазы р(1) узкополосного процесса (10.35), воспользуемся общим методом, указанным в п. 3.2.2. Пусть юо„(хь .. х„, уь ..., у„, (ь ..., 1 ) — совместная плот- ность вероятности значений А(1) и С(1) в и моментах времени. 261 Для того чтобы найти многомерные плотности вероятности огибающей и фазы, перейдем в соответствии с (10.37) и (10,38) в указанном совместном распределении к полярным координатам хд=гдсозОд — ид, уд=гдзг«Од — вд, й=!,«, (10.39) где ид=и((д), пдг о((д). После такой замены вместо совместной плотности, зависящей от переменных х!, ..., х, у„..., у, получаем 2«-мерную совместную плотность вероятности огибающей и фазы, зависящую от переменных г„..., г„, О1, ..., О: )Ро (г„..., г„, 01,'..., О„, 1!, ..., 1„) = ~уп(и!оп(г!созО! — иь ...
..., г сов ΄— ип, г1з(пО! — и1, ..., г„з(пбп — вп, 1о - 1 ). (10.40) где д(11,..., х„, Од,.„, Вп) и= д(г1,..., гп, О„... Оп) — якобиан преобразования (10.39). Подставим (10.39) в (10.41), проведем дифференцирование и вычислим детерминант (и= Цго, г!)О, 1= 1, «. (10А2) 1=1 Многомерная плотность вероятности огибающей получается «-кратным интегрированием (10.40) по переменным О1,...,0„: ~'п(Г1 - ° Гп, 11~- ~ )п)= ) ...) РУоп(г1,;,гав Оду- ~ Опэ 1„.. ~ Юп) О(О1.;.!(Оп 1;) О.
(1043) о о Интегрируя (10.40) по переменным г!,...,гп, находим многомерную плотность вероятности фазы (Рп(01~- э Опю 11-, (п) = =) ...) 1рдп(г1,-, г., О,-, О„(„-, (п)х о о Хс(гд.;.Йвю )О!! ~(«э 1=1, «. (10.44) В некоторых задачах нелинейного преобразования огибающей решение может быть получено иногда быстрее при помощи характеристической функции. Характеристическая функция процесса 11Е(!)1 ~п(п1 -' е ппв ~1~"' з ~п) и — ! .. !~ ( х ! ( *. +!!! ] .(*.,- 00 д=! , хп, ут,;, у, 11,..., 1„)г(х1:..г(хпг(уд,—,г(у„. (10.45) Заметим, что из-за сложности нелинейной функциональной зависимости огибающей Е(!) и фазы ~р(!) от Ц!) невозможно использовать результаты 3 8.1 для определения корреляционных функций и спектральной плотности мощности огибающей и фазы.
Поэтому для определения энергетических характеристик огибающей и фазы следует предварительно по формулам (10.43) и (10.44) найти их двумерные плотности вероятности, а затем вычислить корреляционные функции и по теореме Хннчина — Винера спектральные плотности мощности. 10.1.6.Совместные плотности вероятности огибающей и фазы узкополосного гауссовского процесса.
Покажем, как используется общий подход, указанный в и. 10.1.5, к нахождению совместных плотностей вероятности огибающей и фазы на примере гауссовского случайного процесса, состоящего из детерминированной и стационарной частей !см. (10.35)1, Как было показано в п. !0.1.3, квадратурные составляющие А(!) и С(!) гауссовского стационарного процесса также гауссовские процессы, независимые в совпадающие моменты времени, причем их дисперсии совпадают с дисперсией о' исходного процесса.
Поэтому совместное распределение А(!) и С(!) в момент времени ! равно произведению одномерных плотностей вероятности этих случайных функ- ций (10,46) Заменяя в соответствии с (10.39) при и=1 х=гсозд — и, у=гз1пд — э, (10.47) получаем совместную плотность вероятности огибающей Е(!) и фазы гр(!) в момент времени й Руз(г, д, !) = — ' 2впз х ехр( — — ((г соз д — и)'+ (г з!п д — и)'~]. 1 (10.48) Интегрируя (10.48) по д, находим одномерную плотность вероятности огибающей, а интегрируя по г, — одномерную плотность вероятности фазы.
Для определения двумерных распределений необходимо предварительно определить совместную плотность вероятности случайных функций А(!) и С(!) в два момента времени Г и !+т, которая представляет четырехмерную плотность нормального распределения с нулевыми средними и дисперсией а'.
Соответствующая этому распределению нормированная корреляционная матрица (см. п. 5.2.1) имеет вид 1 0 Р,(т) Р„(т) 0 1 — Я,(т) Р,(т) Л,(т) — Я,(т) 1 0 )х. (т) Я,(т) 0 1 (10.49) 26З (10.50) (10.51) Обозначая Р'о(т) !Рг (т) 1 Рг (т) (10.52) находим из (10.49) детерминант и алгебраические дополнения матрицы К: 0=(1 — Р о(т)1', О!!=0гг=0зз=044=1 — Р о(т), 0т=0м=0з4=0зз=О, О!з=0з!= — Рс(т) (1 — Р о(т)1, 0м=0м= — !Рз(т) [1 — Р'о(т)), 0гз=0зг=Р.(т) (1 — Р'о(т)), 0г4=0зг= — Рз(т) (1 — Р о(т) ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
