Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Двумерная плотность вероятности фазы стационарного гауссовского процесса. При а=0,=0 из (!0.55) следует 1 %'г(4)г~ 'Эг~ т)= ... г, ~ ~ггггх 4ягое(! 17о) о о Х ехР (гг+ гг — 2йо гггг сов (бг — бг Оо)! Ь'г г!~г 2ог (1 Я~о) (4)1! ~~я~ ! г! ~~ (10.100) 276 Вычисление интеграла (10.100) приводит к выражению (см., например, ~1)) (г"о(Ом Оо~ т) = 1. ! — ло 4ло „о)ого (10А01) где и=и (О!, Оо~ т) =До (т)соз!02 О! Оо(т) 1 (10.102) Ой ((уо(Од, Оо, т)= 2; А„ехР[1г(Оо — О,Ц, !Ог(~от, !Оо! ~~и, (10.104) где ( о) ол оо 1 оо 2 (! — !7~~) ! — !оо с~ !'о(л+ !+ г/2) г+ол гго (т). 4~~ =о л1(~-(- )! Так как А,=А „, то (10.104) можно переписать в виде лл ((го(О! Ог т)=Ао+2ХА.созг(Оо — О!) г о пРичем Ао=1/(4по). На рис.
10.2 построены функции А„(Яо) для г=1; 7. (10. 104а) (10. 1046) 277 Ро(т)=Ы (т)+Й (т)) ~", О,(т)=агс(и '(1. (10.102а) А'о (т) Сопоставляя произведение функций (10.60) и (10.101) с сов- местной плотностью (10.55) (при а=О,=О) огибающей н фазы узкополосного стационарного гауссовского случайного процесса, убеждаемся, что огибающая н фаза зависимы, При т-!-оо величины )7о-о-0, р-~0 и из (10.101) следует У'о(О!, Оь т)о-Яг!(О!) (Р'о(Оо) =1/(4по). Из (10.100) видно, что двумерная плотность вероятности фа- зы — периодическая функция переменной Оо — О!. Поэтому ее мож- но представить рядом Фурье по этой переменной. Для этого вос- пользуемся известной формулой ехр„(г соз ф) = ° 2; 1„(г) ехр (! н ср) (10.103) л=-сл и тогда из (8.69) после элементарной замены переменной интегри- рования получим 4л А„(лр) 10А.З.
Двумерная плотность вероятности фазы суммы детерминированного и стационарного гауссовского процессов. В общем случае (з (1) И!е01 двумерную плотность вероятности фазы можно также представить кратным рядом Фурье по переменным д, и Оь Для и дг 44 рр пг 42 гр этого в интеграле (10.55) перейдем к переменным Е! =г1/а, 22=12!а И Воспользуемся формулой (10.103). Ограничимся сигналом вида з(1) = г и(1)сов оа! и предположим, что спектр гауссовского шума симметричен относительно частоты вм вследствие чего Я,(т) =О и Я.(т) =Яр(т). Тогда из (1055), полагая О.=да=О, а!=и!=и(1), от= и2 — — и(1+т), получаем 4л' (! — !7а~) ( 2а' (! — 77тр) и "г "г...
ехр '~ 2 ~) 1 77о;~в Меняя порядок суммирования и интегрирования и обозначая коэффициенты разложения ! л! + лэ — 2л0 л1 л~ 2 т А,„(т, !) = ехр Х 4л'( ! — 77~р) ( 2аз ( ! — й~р) (10.105 ) дт1 дам находим искомое разложение двумерной плотности вероятности фазы в кратный ряд Фурье К,(д„д„т, 1) = ,'~ 2„'2, 'А„„(т, 1) х г= — в а=оэ т — о» хехр(1[(г+п)0,+(т — г)бт!), (О,! (л, !Ь,) (л. (10.106) 278 Переменные в двойном интеграле разделяются и вычислить каждый интеграл несложно.
В результате Вр(1, т) = ~„'~ ~ Агл (т, 1) ) " . (10.107) г= — л= г а= — (И + г) (а г) л;л — г а~г Если сигнала нет, то В,р(р) =8по 2, г=1 (10.108) При т-~со из (10.108) следует Во(т)-~0, а при т-рО ряд сходится к рра/3 — дисперсии фазы. Явное выражение Вч(т) в виде степенного ряда по 1(о(т) получается путем подстановки (10.104а) в (10.108) 1 „1'а(и+г/2) )~г+рл( 2,=, л=о и( (и + г)! " )ро (т)+ )ро(т)+ )~~~(т)+ -. 2 4" 12 (10.109) 10.4.5. Распределение разности фаз и его моменты. Одномерную плотность вероятности разности фаз Гор((, т) =рр(1+т) †(1) гауссовского стационарного случайного процесса нетрудно получить непосредственно из (10.101), так как (Рр(бь б„ т) в этом случае зависит только от разности фаз. Поэтому ()Рр,а,(б, ) = ~)Р (б, б+б„)дб, = (10.110) — (1 „а)з1г где у=у(б, г) =гго(с)соз(б — бо(г)).
Если т-а-оо, то Ло-+0, у — ~0 и ((Уор(б) =1/2рр, )б/(рт. На рис. 10.3 построены зависимости Вор(б) для нескольких значений гао Можно доказать, что т,(Лрр(Г, т))=бо(ч) и рпрИЬгр(1, т)— — бо (т) ) ) = агссоз аа (т) . 279 Если сигнал отсутствует, то А,л, =0 при всех значениях и и т, кроме и=т=О, и тогда из (10.106) получаем (10.104), причем А,.=А,ао. 10.4.4. Корреляционная функция фазы. Из '(10,106) находим корреляционную функцию фазы узкополосного гауссовского процесса Во((, т)= 2,' Х ~ Аг„(т, Ох г= — \О л= — а=— х ) ) б, б, ехр (1 1(г+ п) б, + (т — г) б,)) Ю, р(бр, Рис.
НЬЗ. Плотность вероятности разности фаз гауссовского нро- несса Используя (10.106), нетрудно определить плотность вероятности разности фаз гауссовского процесса, когда з(1) =и(1)созва1, Я,(т) =О, Рс(т) =Во(т): иран(6э т' С) ))1'з(6+Ос Оз т 1)с10а — н »Э =2л ~ ~, 'Ал,-л,л(т, 1)+2 ~ ~ Аа.!.л,л,-л(т, 1 л= — ю а !» — т () й0. (10.111) Моменты распределения разности фаз ,! 2+ал лл псгч(т 1) = Х Ал,— л, л(т~ 1)+ 24+ ! ю и »О + 4л ~ ~даасозйбс(0 ~, 'Аз+» „л(т, 1).
ь=! — л л= — л тзде! (т, 1) =О, д=О, 1, 2, ... (10.112а) Дисперсия разности фаз равна сс,'„(т, 1) = — ' Х 4л, -л, л (т, 1) + 8 »= — » л 1 !)а +16л' ~~ —, Х Аач-»,л,— (т 1). а=! л= — » Прн з(!) =0 получаем выражение, аналогичное (10.99): оз (с) = — + 16лз ~ 1 ) А,(с), (10.114) г=! в котором а„заменено на 4лА,(т).
(10.1 ! 2) (10.113) 10.5. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОСИНУСА ФАЗЫ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА 10.5.1. Одномерная плотность вероятности и моменты. В некоторых случаях необходимо иметь вероятностные характеристики не фазы ср(1), а созср(1). Используя результаты, приведенные в $10.4, нетрудно определить плотность вероятности созср(1)! достаточно воспользоваться соотношениями для распределения функции от случайной величины (см. п. 3.1.4).
2280 ',(10.116) (10.1 186) Из (10.95), заменяя переменную г=созб, находим одномер- ную плотность вероятности сов!р(!) (при 16~(рт функция 6(г) = =агссозг двузначна), когда детерминированное слагаемое гаус- совского процесса з (!) = ирсоз ерр!! 1(7~(г) = ехр ~ — — *) [1+ зг3/2пХ х Е (зг) ехр ~ — !! ~, (г( ~ (1, з = — '.
(10.115) При 8=0 плотность вероятности косинуса фазы стационарного гауссовского процесса !ср. с (11а) в задаче 3.8) йГ (г) , )г~ ~ 1. ! Воспользовавшись разложением функции (10.115) в ряд Фурье на интервале 1г1(1 и имея в виду, что соз(гагссозг)=Та(г), где Тд(г) — полипом Чебышева первого рода Ьго порядка, полу- чаем %7!(г)= ~ — +2~ адТ„(г), 1г~(1, к! — рр в д ! где коэффициенты ад определены формулой (3.63). Первые два момента распределения сов ~р и, =па, т)г —" — '[1, ( — )+ 1,( — )~ ехр( — — '), (10.118а) 1 1 рт -У !рт ! лрр = — (1 + пар) = — + —,Р ~ 1, 3, — — ).
Используя (10.111), нетрудно записать для одномерной плот- ности вероятности косинуса разности фаз !р(!+т) — !р(1) 4л Г ирдовдч(г, т, !)= ~ ~ А„„, „(т,1!)+ р1 — гР р — оо ОЭ Ф +2~ Х Тд(г) Ад+и,п, „(т, !), ~г~ (1, (10.119) д=! л=-сю которое для стационарного гауссовского процесса переходит в Г ОЭ (рррр де (г, т) = ~ — + 16п ~~ Ад (т) Тд(г), ~г~ ( 1. р! — 2Р а д ! (10.120) Коэффициенты А,„и Адопределены согласно (10.105) н (10.104а), Первые два момента сов Лу для стационарного процесса: лР~ =4яРАь (10.121а) Рпр = 1/2+4п'А р. (10.1216) 281 где Таким образом [см.
(10.104а)1, Всаз ч ('2) = 2паА1('2) = 22+ 22 2 [1 022(т)) (10.123а) 282 10.5.2. Двумерная плотность вероятности и корреляционная функция. Для определения двумерной плотности вероятности косинуса фазы стационарного гауссовского процесса воспользуемся формулой (10.104).
Заменяя переменные г!=созд„г2=созд2, находим 1122 (21 22 т) = 4 Х [(! — 2!) (! — 2~)) ~ СО Х ~ —,+ 2 2, А„(т)соз(гагссозг,)Х [ (2п)2 х сов (Гагссоз22), [21[ ( 1, 122[ ( 1 и, вводя полиномы Чебышева Т„(я) =сов(гагссозг), получаем ! 11 2(211 22 ) Х п2 [(1 — г,) (! — 2,) [ ! х 1+8п' ~„'А„(т)Т„(21)Т,(22), [г
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
