Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 53
Текст из файла (страница 53)
х ехр ! — (з; — 2з;у!+ у!) — — ддп (!о р ' р У! 2!Ур (11.10~ так как в силу независимости совместная плотность вероятности случайных величин р!!, ..., т! о ур йг(у„..., у„)= П (2п)У,)-!!'ехр ~ — — ' (11.11) ! 1 2!р'р / Дополняя показатель экспоненты под знаком интеграла (11.10) до,полного квадрата и интегрируя, после несложных алгебраических преобразований имеем у! Х/ ЬЛ'р (Хт — 2 ! о!УрЦ Переходя к пределу при п-эоо, находим одномерную характеристическую функцию процесса на выходе фильтра О 1р г ! 2 р (.~!- и 1|=" "~~-'и,( '- ) р=! / Ар' — 2 ! о !ор Если сигнал отсутствует, то з;=0 и из (11.12) следует йс(о)= П (1- — '" ') (11.13) 3ц Одномерная плотность вероятности случайного процесса ~(!) на выходе фильтра получается из (11.13) обратным преобразованием Фурье Вычислить обратное преобразование Фурье от бесконечного произведения очень трудно.
Приближение, быстро приводящее к требуемому результату, состоит в ограничении числа сомножителей в указанном произведении, т. е. в аппроксимации процесса на выходе типового звена конечным числом членов ряда (11.3). При этом (если все характеристические числа различны) интегрирование при преобразовании от характеристической функции к плотности вероятности выполняется достаточно просто методами теории вычетов.
Однако достижение приемлемой точности потребует все же учета большого числа членов ряда (11.3). 11.2.4. Распределение процесса на выходе квадратичного детектора. Заметим также, что в формуле (11.12) содержатся явно характеристические числа А! и неявно (в величинах з;) соб- 296 — — ) С1 (е) с( в = о, Ую Уе з з Х 2я представляет дисперсию шумов на выходе УПЧ [см. (7.55а)]. Из (11.12) находим в рассматриваемом случае характеристическую функцию ( ! озх! (!) 6,(о, 1)=(1 — 21оа',) — нэ ехр( 1, 1 — 2! ооэ! / (11.15) где з;(!) — сигнал на выходе УПЧ.
Так как выходной фильтр имеет неограниченную полосу, то формула (11.15) — характеристическая функция процесса на выходе квадратичного детектора (квадрата гауссовского процесса с дисперсией оз1). Обратное преобразование Фурье от характеристической функции (11.15) совпадает с (9.86) (конечно, при соответствующей замене о на о~). 11.2.5. Узкополосный усилитель. В этом случае после детектора отфильтровывается высокочастотная часть процесса и на фильтр подается квадрат огибакяцей Представим узкополосный гауссовский случайный процесс на выходе УПЧ в виде суммы [см. (10.35)] 5~ (Е) +з1(!) = [А~(!)+и1 (Е)]созгаэЕ+ [С~ (1) о, (1) ]з)паем(, (11.16) где и1(Е) и о1(!) — квадратурные составляющие сигнала з,(!), а А1(1) н С1(1) — независимые (в совпадающие моменты времени), нормально распределенные квадратурные составляющие гауссовского шума $1(!).
В этом случае процесс на выходе фильтра можно представить в виде суммы двух независимых в совпадающие моменты времени слагаемых 1(1) =1.(1)+1 (!) (11.1?) 2э? ственные функции у,(х), для определения которых необходимо еще решить интегральное уравнение (11.6). Решение этого интегрального уравнения получается чрезвычайно простым, если частотная характеристика фильтра равномерная на всех частотах. В этом случае Ьз(т) =6(т) и из (11.7), учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, находим К(и, о) = й, (и) 51 (о) . (11.14) Ядро (11.14) вырожденное: ему соответствует лишь одно собственное значение Х и одна собственная функция р(и) = =* У ),л,(и), причем Х находится из условия, что ~р(и) — нормированная функция, т, е.
ОР Х Х )" йз(и) Йи = — [С[(в) Йэ=-1. 2л Отношение где ~с(1) = ) (иг(à — «)+А~(1 — т))гЬг(т)дт, (11.18» ~в(1) = г ~01(1 «) + С1(1 «) г Ьг(«) д«. М (11.19) Так жак составляющие А~(1) и С~(1) распределены нормально, их корреляционные функции одинаковы и равны огибающей корреляционной функции процесса $~ (1), то соответствующее рассматриваемому случаю ядро интегрального уравнения (11.6) запишется в виде К(и, о) = 1Ь\о(и — т)Ьг(«)Ьг(о — т)~1«, (11.20) где Ььг(1) — огибающая импульсной переходной функции узкополосного УПЧ [см.
(6.35а)). Интегральному уравнению (11.8) в рассматриваемом случае соответствует 1(а) =Х/аг ) Ва,(х — т) Ьг(т)) (т) Нт. (1!.21» Ю Представляя каждое из слагаемых (11.17) суммой вида (11.3» и обозначая и;(1) = )и(1 — х)~р;(х)с(х, ОО ьч(1) = )о(1 — х)~рг(х)дх, (11.22б» 1где и(1) и о(г) — квадратурные составляющие сигнала з(г)) по аналогии с (11.10) (при замене в этой формуле один раз з; на ио а другой раз на о;) получаем следующее выражение для характеристической функции отфильтрованного квадрата огибающей: 9,(.. Е) — П (1 — — "' ) (11.23) (11.24) Так же, как и в предыдутцем случае, для получения плотности вероятности необходимо решить интегральное уравнение (11.21) для того, чтобы определить в (11.23) величины Х, и «р,(х). Только тогда, когда частотная характеристика фильтра равномерна 298 Обратным преобразованием Фурье из (11.23) находим одномерную функцию распределения процесса на выходе фильтра. Если сигнал отсутствует, то и,=о;=0 и нз (11.23) следует (11,27) (11.30) 299 яа всех частотах,,произведение в правой части (11.23) содержит только один сомножитель Вс (о, 1) = (1 — 2!о о',) ехр ! (11.25) 1 — 21 аоз! где а(1) =1и'(1)+о'(1)!и' — огибающая сигнала.
Формула (11.25) определяет характеристическую функцию квадрата огибающей гауссовского процесса. Обратное преобразование Фурье функции (11.25) совпадает с (10.75). 11.2.6. Приближенный метод определения плотности вероятности процесса на выходе фильтра. Решение интегрального уравнения (1!.6) и преобразование Фурье от бесконечных произведений в общем случае связаны с большими математическими трудностями, которые преодолеваются путем некоторых приближений. Поэтому заслуживает внимания приближенный метод непосредственного определения плотности вероятности процесса на выходе фильтра, минуя этапы решения интегрального уравнения (11.6) и обращения характеристической функции.
Этот метод основан на вычислении кумулянтов случайного процесса на выходе фильтра и аппроксимации искомой плотности вероятности при помощи этих кумулянтов (см. $7.3). Из (11.12) находим 1и!Эс(в, 1) = — — Х 1п(! — 'а ' 1+ Х ',, (11.26) 2 !'=! ~ 1Л! / 1=! Л! — 2!Ы!!о откуда последовательным дифференцированием определяем кумулянтную функцию и-го порядка случайного процесса на выходе фильтра 1см. (4.13а)! Г,„- - ~1(0 ) х„(1) =(251,)" 'и! —" 2; Л вЂ”."+ ~ — ' !=! ' /=! Л1 Аналогично можно найти кумулянтную функцию квадрата огибающей, прошедшей через фильтр (см.
(11.23)1: 1=! /=! Л/ Если сигнал отсутствует з1=и,=о,=0, то н„= — ""' = (2М,)" ')Ч,(п — 1)! ~ Л1". (11.29) 2 !'=! Входящие в (11.27) и (11.28) ряды можно выразить через итерации К1~!(и, о) ядра К(и, о) (см. (4.61), (4.62) 1: О О* л — 2 К!"'(и, п) = ) )"К(и, х,) П К(хо х!+!) х Р 60 1-! х К (х„1, о) !(х! ... !(х„!, и ) 2, К!'>(и, о) =К(и, о). (11. 32) ',(11. 35) Подставляя в интеграл (11.30) вместо ядра К(хь х(+() его разложение и учитывая, что совокупность функций (р;(хс) ортогональна и нормирована, получаем 00 00 ) К("' (и, и) с(и = Х )(,~ ".
00 /=! Аналогично О 00 О 52 (С) )з(1 — и)и(1 — о) К( ~(и, п)(1и()о=- ~, '— ' Π— О (=! ((! Подставляя (11.31) и (11.32) в (11.27), находим 0 и„(!) =(202)" 'п)~ — ' )К("((и, и) с(и+ и 00 00 00 + ) )з(8 — и)з(1 — о)К("((и, и)с(ис(о . О 00 По формуле (11.33) можно определить кумулянты произвольного порядка случайного процесса на выходе фильтра без решения интегрального уравнения (! 1.6). Нетрудно записать выражение, аналогичное (11.33), и для кумулянтов профильтрованного квадрата огибакяцей ~,(((-(20(' ' ([ — ' (С'"'(, (Ю 0 л ОЭ +2 ) )а(1 — х)К'"'(х, у)а(1 — у)с(хс(у (11.34~ 00 0 Если сигнал отсутствует, то двойные интегралы в (11.33) и (11.34) исчезают. В этом случае относительно просто вычисляются в общем виде кумулянты первых двух порядков: среднее и дисперсия.
Например, из (11.33) находим ссс = и! Я(1)) = У, ) К (и, и) ((и = 0 Ф 00 =А(с )Ьс(т) ) Ь',(и — т)((ис(т=о! )Ьс(т)((т, Ю 00 — 00 ЮО мс = )ст (ь (1)) = 2№ ) К(2! (и, и) с(и = — 00 2А(с~ ) ) Кс (и, х) с(иИх ОО 2(с'с о) ) Ис (т)(Х вЂ” 00 00 00 О хЬ2(1) ) ') Ьс(и — т) Ь,(х — т) Ь,(и — 1) Ь,(х — 1) х 00 00 х с(х((и((тй = 2 ~ ~ В~~, (1 — с) Ь (т) Ьс (() с(т Й. зоо Конечно, формулы (11.35) и (11.36) получаются и непосредственно, если воспользоваться выражениями корреляционных функций квадрата гауссовского процесса или квадрата огибающей гауссовского процесса [см. (9.85) и (10.78)] и правилом преобразований корреляционной функции в линейной системе. 11.3.
ПЕРЕМНОЖИТЕЛЬ-ФИЛЬТР 10.3.1. Характеристическая функция процесса на выходе фильтра. Рассмотрим два стационарных и стационарно связанных центрированных гауссовских случайных процесса $,(Г) и $р(!), корреляционные и взаимные корреляционные функции которых равны соответственно В~(т), Вр(т), В„(г), Вм(т). Произведение этих процессов $,(!)$з(!) проходит через линейную систему — фильтр с импульсной функцией Й(г). Случайный процесс ~(!) на выходе фильтра можно представить в виде интеграла (в среднеквадратическом) Ь(!) = ] ~~ (! — и) $з (! — и) Ци) йи. (11.37) Введем полусумму и полуразность перемножаемых процессов: р~ (!) = [$, (!) + $р (!) ] /2, рр(!) = [Ь(!) — Ы!)]/2. (11.38а) (11.386) Случайные процессы р,(Г) и р,(!) также распределены нормально с нулевыми средними, а их корреляционные и взаимные корреляционные функции Выражая в (1!.37) Ц,(!) и К,(!) через р~(!) и рз(!), получаем (11.40) Характеристическая функция процесса с(!) на выходе фильтра имеет такой же вид, что и (1!.!3): (11.41) Отличие состоит лишь в том, что собственные числа Х; находятся 301 Вр, (т) = [В, (т) + В„(т) + В„(т) + В, (т)]/4, Вр р, (т) =[В,(г) — В„(т)+Вы(г) — Вз(т)]/4, Вр,р, (т) = [В, (т) + Вм (т) — В„( г) — В, (т)]/4, Вр,(т) = [В, (т) — В„(т) — Вм (т) + В, (т)]/4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
