Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Среднее значение случайной величины ~т равно 2озй, а ее диспеРсиЯ совпадзет с диспеРсией слУчайной величины Чт [см. (11.58) ]. Распределение средней мощности огибающей эргодического гауссовского процесса асимптотически нормальное с параметрами (2аз1, 2озйф), ()= аТ)2. да на вход действует сумма гармонического сигнала з(!) =а,сов аз/ и гаус- совского белого шума со спектральной плотностью М, гйтп~)ч (н х Х (.~',з ( 2 + ,)о (.~/тэ.( 2 ,)л Х 1+ лсэ ( (-)/тз+ 2 ) т)» (-) гт~з з! 2 т)ч Х ( ~гтз ( 2 ( т)ч ! (-)Гтз ! 2 т)ч Х ~/ + ~ ), п=1,2,3,„,, (9) где из~=Моби с'=аэз(/2А), А~<<ее, ба<аз.
11.3. Доказать, что коэффициенты асимметрии и эксцесса процесса на выходе системы высокодобротный колебательный контур — квадратичный детектор — /гС-фильтр, когда на вход действует гауссовский белый шум, определяется по формулам )с=4 ~гг2 )Г 1)-зг/(2+и), у=!2(6+59)/((2+9) (3+9)), (1О) (/ сг /(2и + ! б (10гх/р+ 1) Г 1) / 1, 11 ) ' (а/))-)-!)(2а/))-)-1) где 6=1/(ЛС). 11.6. Типовое звено состоит из высокодобротного контура тапа ЫС, квад. ратичного детектора, выделяющего квадрат огибающей, и ЖС-интегратора, причем отношение полос цепей до и после детектора 9=3/2. Показать, что плотность вероятности процесса на выходе указанного типового звена, когда на входе действует гауссовский белый шум 2пз Г ггзьэу) ш (у) = — ~, '( — !)"+! й' ехр Зо', ~ Зоз (12) где и' — мощность шума на единицу полосы частот.
11.6. В условиях предыдущей задачи при произвольном отношении полос (з и конечном времени Т последетекторного интегрирования показать, что распределение процесса на выходе типового звена определяется из общей формулы 'х11.13) подстановкой собственных значений )л=(4)готт)-', где дт — положительные корни уравнения У + (ехр( — аТ/2)4/)М (4/)=з' (67)М +д(ехр( — ссТ/2)4/), (13 где /„и М вЂ” функции Бесселя первого и второго рода, а=1/(/гС). !1.7. Процесс й(/) представляет результат прохождения гауссовского белого шума через колебательный контур, образованный последовательным соедине- 307 гДе П=/Г,/Ьз — отношение полос пРопУсканиЯ колебательного контУРа и фильтра.
11.4. Доказать, что коэффициенты асимметрии и эксцесса процесса на выходе системы перемножитель — /тС-фильтр, когда на вход перемножителя действуют гауссовский белый шум со спектральной плотностью Мз и стационарный гауссовский процесс с корреляционной функцией В(т) =(аМз/2))( Хехр( — а(т!), определяется по формулам нием резистора 27, катушки индуктивности /. и конденсатора С (см. п.
7.2.7, величина Я по-прежнему обозначает добротность контура, а аз=!/!/(,С резонансную частоту). Доказать, что среднее значение и дисперсия средней мощности т!т етого процесса за время усреднения Т: т,(цг)=ой, 4 Иа(ЧТ)= а 2р !+ехр( 2р)+ + з(пз(р~4Цз — 1) ~, 4Яз — 1 (14) где р=ызТ/(2й). Доказать, что прн р-~.со (т .е. при неограниченном увеличении времени усреднения Т) распределение случайной величины т!т асимптотически нормальное с параметрами (озй, о44/р). 11.8.
В условии задачи 11.7 процесс к(!) — узкополосный (добротиость !е.п1). Вывести следующее выражение плотности вероятности средней мощности процесса я(!) за конечное время усреднения у'чг (р) ехр ( + у 1 2 охов ~ 4 оз ! где ( + з(пызТ ) ос (! япыаТ) (16) Доказать, что формула (15) представляет плотность вероятности суммы квадратов двух независимых центрнрованных гауссовских случайных величин с дисперсиями оз~ и ось Часть вторая СИНТЕЗ Глава 12 ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА 12.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 12.1.1.
Проблема априорной неопределенности. Основой излагаемой в этой книге теории и ее приложений являются математические модели реальных явлений — распределения вероятностей случайных событий, случайных величин и случайных процессов. Полнота модели определяется априорными данными, на~копленными предыдущим опытом и дополненные интуицией ученых и инженеров.
Рассмотренные ранее задачи решались методами теории вероятностей и теории случайных процессов в предположении, что математическая вероятностная модель исследуемых процессов полностью определена, т. е. известны точно все необходимые по условию задачи распределения вероятностей.
Это были типовые задачи вероятностного анализа процесса на выходе системы, когда на входе действует случайный процесс прн условии, что заданы как характеристики системы, так и требуемые вероятностные характеристики входного, процесса. Однако более сложной н чаще возникающей ситуацией, с которой встречается исследователь физических явлений или разработчик технической системы, является априорная неопределенность, когда вероятностная математическая модель изучаемого явления или процессов, протекающих в системе, неизвестна или определена не полностью. Преодоление априорной неопределенности — существо многих задач, решаемых в естествознании и технике.
Прием сигналов на фоне случайных помех представляет типичный пример задач подобного рода в системах связи, радиолокации, управления, При постановке задач, решаемых в таких системах, ситуация неопределенности характеризуется отсутствием сведений о сообщении, которое закодировано в переданном сигнале. Методы преодоления априорной неопределенности — предмет математической статистики. кСырьем» для формирования статис- 309 тических выводов о неизвестных характеристиках вероятностной математической модели всегда служат результаты эксперимента, наблюдений, испытаний. Задача статистического синтеза — построение алгоритмов обработки наблюдаемых экспериментальных данных для получения указанных статистических выводов.
Таким образом, решение задачи анализа обусловлено полностью определенной (априори) вероятностной моделью исследуемого случайного процесса, а решение задачи статистического синтеза — наличием хотя бы одной реализации этого процесса, которая дополняет эту модель, когда не все ее характеристики известны. 12.1.2. Основные виды задач математической статистики. Исследуется физическое явление или технический объект, математическую модель которых представляет случайный процесс Х(1) с неполностью известными характеристиками. Относительно неизвестных характеристик модели выдвигаются взаимно несовместимые гипотезы Ны Нь .
Н . Задача проверки статистических гипотез состоит в принятии одной из них,по результатам наблюдения реализации х(1), 0(1(Т случайного процесса Х(1). Другим видом задач математической статистики является ог(ениванив неизвестных параметров распределения вероятностей случайного процесса Х(1) с помощью реализации х(1) этого процесса, наблюдаемой на конечном интервале времени (О, Т). На практике указанные два вида задач математической статистики — проверка гипотез и оценивание — рассматриваются раздельно.
В общей теории статистических решений в таком разделении нет необходимости. Но на практике иногда необходимо учитывать взаимосвязь обоих видов задач и формулировать эту взаимосвязь как совместную проверку гипотез и оценивание параметров. Приведенные определения задач математической статистики нельзя считать их полной постановкой, хотя они и используют некоторые априорные сведения и включают простейшие элементы понимания смысла задач. Для такой постановки и формулировки необходимых ограничений требуется подробно рассмотреть априорные данные. 12.2.
АПРИОРНЫЕ ДАННЫЕ 12.2.1. Пространство наблюдений. Совокупность всех мыслимых реализаций х(1) наблюдаемого случайного процесса Х(1) образует пространство наблюдений. При аналоговой форме регистрации (отображения) наблюдений множество Т моментов времени наблюдения (область опре.деления случайного процесса Х(1)) — континуальное. Пространство наблюдений в этом случае — функциональное пространство непрерывных (или кусочно-непрерывных) функций. При дискретной форме регистрации непрерывная реализация х(1) подвергается временной дискретизации и тогда множество 310 Т вЂ” конечное или счетное.
В этом случае при ограниченных длительности наблюдения и интервале дискретизации наблюдение представляется конечно-мерным вектором х=х",=(хь, х„), хг=х((г), х~Х'*, 1гепТ, 1=1, и, (12.1) где Х" — подмножество и-мериого евклидового пространства. Вектор х называют выборкой размером и, а подмножество Х" — выборочным пространством. Если элементы дискретной выборки — выборочные значения хь ..., х — представляют совокупность независимых случайных величин, то выборку х называют независимой (или случайной), а если выборочные значения зависимы, то выборку х называют зависимой.
Если все элементы независимой выборки подчиняются одному и тому же распределению г(х), то выборка х называется однородной. В этом случае часто говорят, что выборка х получена из распределения г" (х) или что она принадлежит распределению г (х). Элементы дискретной выборки могут подвергаться квантованию по уровням (см. и.
8.3.1). В этом случае из наблюдаемой выборки х=(хь ...,х„) получаем выборку й=(/гь ...,й„) того же размера, элементы яз которой могут принимать значение из конечного множества уровней квантования. Множество К квантованных выборок представляет решетчатое пространство наблюдений. 12.2.2. Вероятностная мера на пространстве наблюдений. При дискретной форме регистрации наблюдений вероятностная мера на пространстве наблюдений представляет совместное конечно- мерное распределение выборочных значений случайного процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
