Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Ю ь(1) = [[р',(1 — и) — р'(! — и)] Ь(и) г]и. Ю (11. 39а) (11. 396) (! 1.39в) (11.39г) нз системы двух линейных неоднородных интегральных уравне- ний ОО /,(г) = Л ~ ")Вр, (г — и)/т(и) [,(и) див — ) В„р„ /г — и) й (и) /, (и) г(и, (11.41а) откуда В ;. (О). В..., (О) = [В,,(0) — 1/Л)[В.,(О) — 1/Л). Обозначим о1 = В,(0), о', = В,(0), о[г = В„ (0), о~1 = В„ (0) = о~1,. (11,43) Тогда из (11.39а — г) следует Вр, (0) = ( о'+ о'+ 2о' ) /4 Вр, (0) = ( о', + о' — 2о', ) /4, Вр,р, (0) = Вр,р, (0) = ( о', — ог~) /4, 302 (11.44а) (11.446) (11.44в) ьц-х[ !в,, р — 1" Вр,(г — и)й(и)/,(и)г(и . (11.4 16) Если $1(г) =5а(/), то р1(г) =я,(/), рг(/) — = О, уравнение (11.416) исчезает, а (11.41а) совпадает с (11.8), как и должно быть, так как при указанном условии рассматриваемая задача совпадает с определением распределения квадрата стационарного гауссовского случайного процесса, прошедшего через фильтр.
11.3.2. Распределение произведения гауссовских процессов. Решение системы интегральных уравнений (11.4!а, б) связано, в общем, со значительными трудностями. В одном частном случае решение можно достаточно просто получить в замкнутом виде. Как и в 5 1!.2, это будет тогда, когда частотная характеристика фильтра равномерная на всех частотах и, следовательно, импульсная функция фильтра л(и) =б(и). Тогда уравнения (11.41а,б) переходят в систему алгебраических уравнений /, (г)/Л = В„(г) /,(О) — В,,„(.) /,(О), (11.42а) /а (г)/Л = Вр,р, (г) /г (0) — Вр, (г) /а (0).
(11.426) Так как зти уравнения должны удовлетворяться при любом г, то, полагая г=О, получаем Вр р~ (0) /р (0) = [Вр (0) 1/Л[ /1 !О) В,, (0) / (0) = [Вр, (О) — 1/Л[ 7 (О), Подставляя (11.44а — в) в (11.43), получаем квадратное уравнение относительно величины 1/Л (1/Л) г — агм/Л вЂ” ( пг1о~г — о4 м ) /4 = О, корни которого 1/Л, = (а',г+о,ог)/2, 1/Лг= (огм — а1ог)/2. (1!.45) Первый корень, положительный, а второй отрицательный, так как а'1г(аког [см.
(4.73)]. Подставляя (11.45) в (11.41), находим характеристическую функцию произведения двух зависимых стационарных гауссовских случайных процессов: От(о) =([1 — !о(о~1г+о1ог)] [1 — !о(о~1г — огнг)]) ц'. (1!.46) Обратным преобразованием Фурье функции (11.46) получаем одномерную плотность вероятности этого произведения [ср.
(!) в задаче 3.1] (11.47) где Кк(а) — функция Бесселя 2-го рода нулевого порядка от мнимого аргумента. 11аи СРЕДНЯЯ МОЩНОСТЬ ПРИ КОНЕЧНОМ ВРЕМЕНИ УСРЕДНЕНИЯ 11.4.1. Широкополосный гауссовский процесс. Рассмотрим эргодический центрированный гауссовский процесс 5(/) с корреляционной функцией В1(т). Средняя могцность этого процесса, вычисленная как средний квадрат за интервал времени Т, т~г т! т = — )" эг (/) Ж/, (11.48) Т вЂ” т!г где интеграл понимается в среднеквадратнческом смысле. Характеристическую функцию случайной величины т1т можно определить по формуле (11.!3).
Характеристические числа Л,, содержащиеся в этой формуле, следует находить из уравнения (11.8), причем 1/Т, !т) (Т/2, (11.49) О, )т) ) Т/2, а корреляционная функция в указанном уравнении совпадает с В1 (т). Таким образом, в рассматриваемом случае характеристи- ческие числа, определяющие распределения средней мощности за время усреднения Т, можно получить из интегрального уравнения т|г ЛТ/(а)= ) В1(г — т)/(т)с(т. (11.50) — ттг ЗОЗ в,[ г!и /" (г)= ~ ~ ) ехр(а[а — т[)/(т)с(т — 2/(г)/а ХТ вЂ” Т(2 или 2о~! /" (г)+ [ —" — 1 ав/(г) = О.
~, ЛаТ (11.53) 09щее решение уравнения (11.53), как известно, имеет вид /(г) = с1 ехр (1Ьаз) + свекр (--1Ьаз), (1!.54) где Ьв = 2авь /(ЛаТ) — ! . (1 1.55) Подставляя (11.54) в (11.50) убеждаемся, что это решение является собственной функцией интегрального уравнения только в тех случаях, когда Ь')О и, кроме того, величина Ь удовлетворяет одному из трансцендентных уравнений Ь !И(аТЬ) =1, Ь с!н(аТЬ) = — 1.
(11.56) Таким образом, характеристические числа интегрального уравнения (!1.50) для случайного процесса с экспоненциальной корреляционной функцией (11.51) ' Лд= 2авв / 1аТ(1+ Ьвь) ), (11.57) где Ьл — корни уравнений (!1.56). Используя (1!.29) и (11.57) и заменяя №/Л; на 1/Ль находим кумулянты средней мощности г!г, при помощи которых по указанной в $ 7.3 методике можно получить приближенное распределение случайной величины г!и. На рис. 11.1 построены кривые аппроксимации плотностей вероятности средней мощности для нескольких значений параметра ' Твк как ядро уравнения (!!.50) положительно-определенное, то все его собственные числа положительны.
304 Заметим, что (11.49) представляет импульсную функцию идеального интегратора, ширина полосы частот которого пропорциональна 1/Т. Найдем распределение средней мощности для случая, когда Вт(т) =аввехР( — а[т!), а) О. (11.51) Интегральное уравнение (11.50) нетрудно привести к линейному дифференциальному уравнению второго порядка. ,Представляя (11.50) с учетом (11.51) в виде ЛТ 2 г!и — /(з) ) ехр [ — и(г — т)) /(т) г(т+ )" ехр[ — а(т — г)]/(т) г(т $ — г!и в (11. 52) н дифференцируя обе части этого равенства дважды по г, нахо- дим $=аТ)2 с погрешностями, не превышающими одного процента !341. При 5=0 (т.
е. при Т=О) т!т — — $2(1) и 1(рг(у) представляет одномерное распределение квадрата стационарного гауссовского случайного процесса [см. (3.!2а)). При увеличении р (увеличении времени Т усреднения) выявляется минимум плотности вероятности при у/осе=1, т. е. в районе среднего значения средней мощности пгг(т!Т) =огй. заметим, что дисперсия средней мощности р, (2) т) = о' (4р — 1 + ехр ( — 4р)))(2рг) (11.58) Ууг(У) г,а т,г й4 и йу бу !у у яг Рис. Пд. Плотность вероятности средней мощности гауссовского процесса стремится к нулю при неограниченном возрастании времени усреднения )ь (2)т) ол~ф 2о4 !(иТ), (1!.59) Распределение средней мощности при этом аснмптотически нор- мальное б тнг ( — р(у — пг)21 а ит (у) — — ~ — 1 ехр (11.60) 11.4.2.
Средняя мощность огибающей гауссовского процесса. Пусть й(1) — гауссовский узкополосный эргодический случайный процесс с нулевым средним и симметричным относительно центральной частоты гас энергетическим спектром Зй(га). Корреляционную функцию такого процесса можно представить в виде В 2 (т) =ас(т)соя гает, где ас(т) — корреляционная функция любой из двух квадратурных составляющих процесса А(!) или С(!) (см.
п 10.3.1). Средняя мощность огибающей Е(!) процесса $(!) на интервале времени Т тм ! Тгг — )" Ев(1)с(1= — ) (А'Щ+Сг(ЩЙ. (11.61) Т т)г Т вЂ” Ц2 Характеристическую функцию случайной величины ~т можно определить по общей формуле (11.24). Характеристические числа, содержащиеся в этой формуле, следует находить из интегрального уравнения (11.21), которое в рассматриваемом случае можно представить в виде Т(2 ) ае(г — т)1(т)44т=ХТ)(г). (11.62) — т!г Если ,ас(т) =огг ехр( — а)т!), а)0, (11.63) Зое 11.5. ЗАДАЧИ 11.1. Используя формулу (11.3), доказать, что среднее значение н корреляцнонная функцня процесса ь(т) на выходе системы Упч — квадратичный детектор — фильтр, когда на его вход действует сумма детерминированного снацала н гауссовского белого шума со спектральной плотностью Фз ш, (ь(1И = Кз )г К(и, и) йи+ )г )г з(1 — и) К(и, о) з(1 — о) ЙиЬ, (1) О В (1, 1) =2жез ) ) Кз(х, у) ахЛу+ Ю + 4ЛГ~~ ) ) ) з(1 — и) К(и, х) К(х, о) з(зз — о) йхйийо+ глаз (Ь(Г)).
(2) 11.2. Пусть в системе УПЧ вЂ” квадратичный детектор — фильтр частотные характерновнкн УПЧ н фнльтра описываются гауосовскнмн крпвымн С' ( ) =ехр( — (о оз)з((2()з )), С, (ы) = ехр ( — ма/ (2раз) ) . (3) (4) Соответствующие импульсные функцнн имеют внд Ь~ (1) = пи' )/2и ехр( — аз~за/2) соз ызб аз(1) =уз/ )/2п ехр( — Р'зп72).
(б) Параметры Р, н рз просто выражаются через полосы Л, УПЧ н Л, фильтра (см. и. 7.2.8); Л,= )l тфь Лз= $' пйт/2. Обозначим отношение этих параметров т = рз/Р~ =2Лз/Ль (7) (8) Доказатзь что кумулянты процесоа на выходе рассматриваемой системы, ког- 306 то характеристические числа уравнения (!1.62) находятся из решения трансцендентных уравнений (11.56). Конечно, распределение средней мощности огибающей узкополосного гауссовского процесса отличается от распределения средней мощности широкополосного гауссовского процесса, рассмотренного в п. 11.4.1, так как одни и те же характеристические числа подставляются в различные формулы: (11.24) для огибающей и (11.13) для широкополосного процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
