Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(10 26Ц Вв(0) =2пг. Дисперсия огибающей !гг(Е(/)) =(2 — и/2)п', где а' — дисперсия исходного узкополосного стационарного гауссовского процесса. Из (10.69) следует, что нормированная корреляционная функция огибающей стационарного гауссовского процесса /7а(т)= (йо(т)+ ~ ' Рю" (т); (10.70) 4(4 — и) ~ „г 2ги-г(ицг Сумма в правой части (10.70) содержит только четные степени Рг н поэтому неотрицательна, т.
е. Ев(т) ~0. Она может обратиться в нуль, если только /7г(л) =О, Так как Ег(т) =0 является необходимым и достаточным условием статистической независимости двух значений огибающей '1см. (10.60) 1, то из некоррелированности двух значений огибающей стационарного узкополосного гауссовского случайного процесса следует их статистическая независимость. 270 Когда присутствует гармонический сигнал с амплитудой ио, корреляционная функция огибающей ио ~ (2аа)1[(2~+ !)!Оа Ва (т) =- 2о' (1 — )ог (т))' ехр ~ —',ь 2аг ~ =о 2гаа (аа!)г гаа 77гаа — л (, ) г Х ~ о ~ о а=о (2аа — а)! (а!)а ( 2аа хгРг и — 2аг — 2, и+1, 1 — Иа (т) ~ Х 1 + Йа (т) 1 Яа ('а) (10.71) 1 + 17а (о) ра+ ра+ а!а+ аг — 2а, а )7а х ехр Х 2аа (! — 77~о) ~ а' (! — й') !аа=[оо(т), а,=а(г), аг=а(1+т).
(10.73) Если детерминированная часть процесса отсутствует, то а!=а,= =0 н 1 4аа (1 )аю~) ( 2аа ( ! )7~~) х1 Р)0 Р)0 о ~аа (1 )7г) ) ' (10.74) 271 10.3. НГЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОГИБА[ОЩЕИ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА 10.3.1. Распределения вероятностей квадрата огибающей. Определим двумерную плотность вероятности квадрата огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса после квадратичного детектирования.
Для этого в (10.62) необходимо перейти от переменных г, и гг к переменным Р! =г! Рг=гг . (10.72) Так как г,)0, гг)0, то каждой точке в плоскости (Р„рг) будет соответствовать только одна точка в плоскости (г!, гг), хотя обратная функция г=-[- к' р двузначна. Якобиан преобразования (10.72) д(1И, р) [2г, 0 ~ 4г г а(~,, ~,) [О 2г, Учитывая, что д(г!, гг)1д(ра, Рг) = (4г,г,) ', находим двумерную плотность вероятности квадрата огибающей 1 [Рг(рг Рг т 7)=, Х 4аа (! — )7о) (10.76) Рис. 10.1.
Плотиость квадрата огибающей процесса 272 При т-ьос, т. е. )то(т)-ьО, из (10.73) находим одномерную плотность вероятности квадрата огибающей [ср. с (3.50)1 рт т) 2пв ехр !г — 2ов а! 1в !ь в ~ р ) О (10 75) При а(1) =0 распределение квадрата огибающей — экспоненциальное йг', (р) = — ехр ( — Р ), ' р)',О, 1 (10.75а) 2ов 2оа а при а/а~1 [см (3.52аи (рис. 10.1) Я!",(р, 1) = ехр — (г Р ()), р)0. 2ор!14 12л а (01!1в [ .2оа (10.756) Из (10.60) и (8.13) нетрудно определить корреляционную функцию квадрата огибающей стационарного узкополосного гауссовского процесса Вв.
(т) = оа 2, 'с„ )тв~" (т), в в где с„= 2 ~ х Ев",(х) ехр ( — х) дх. (10.77) Из (10.77) находим со= — с,=2 и, интегрируя по частям, доказывает, что при п)2 коэффициенты с с„=О. Таким образом, корреляционная функция квадрата огибающей стационарного гауссовского процесса Ввч (т) =4о'[1+Яви(т)1. (10.78) Нормированная корреляционная функция квадрата огибающей )тиа(т) )70 (т). (10.79) Из сравнения (10.78) с (9.48) видно, что (как и следовало ожидать) после квадратичного детектирования стационарного узкопо- лосного гауссовского процесса У! низкочастотная часть его спектр!!М=~ ра совпадает со спектром квадрата огибающей. 10.3.2.
Идеальное ограничение '1 огибающей. Определим кор- 82 реляционную функцию после идеального (предельного) ограничения огибающей узкополосного стационарного гауссов- ~ !7 б Ф ,о!!~г совского процесса. Нелиией- в(роитиостиноепреобразованиевидеальгауссовского ном ограничителе задается функ- цией (9.64). Используя (10.60) и разложение (8.13), получаем следующее выражение корреляционной функции предельно ограниченной оги- бающей Е(т) = 2„с„йз" (т), (10.80) и О где с„= а, ) Ь„(у) ехр ( — у) ду, кз)(зФ > (10.81) хо — уровень ограничения. Для п=0 из (10.81) непосредственно следует с, = азехр1 — хо'7'(2о') 1. При п)1 (10.82) в ~л 1)л ае ) ~ (уле-з) г(у л! И820п ~~У о ип — 1 ) о ну" — ' ~-р " и, вводя полипом Лаггера Ьо> ,(у), получаем окончательно (10.83) (10.86) 273 Для вычисления Ьо~„1(х,'/2оз) можно использовать разложение ц( —,)-х ' ' ( ., )(~ ).
пояз~ 10.3.3. Логарифмический детектор. Рассмотрим логарифмическое преобразование огибающей стационарного гауссовского процесса Е| (1) =1п1Е(7)/о1, (10.84) Среднее значение и второй момент логарифма огибающей стационарного центрированного гауссовского процесса с дисперсией пз равны т,(Е,(1)) = )" [!п( — ')~ — ехр( — — ')Нг=( " ), (10.85) о т, (Е, (1)) = ) [!п(г/о))' — ' ехр ( — — ') Нг = о — — à — +(С вЂ” 1и 2)з~, 4 ь 6 где С=0,5772 — постоянная Эйлера. Из (10.85) и (10.86) следует, что дисперсия огибающей равна 1,,(Е, (1) ) =по724.
(10.87) Из (10.60) и (8.13) определяем корреляционную функцию логарифма огибающей стационарного гауссовского процесса Вя, (т) = ~', с„йо" (т), (10.88) л=о где сл = — ) г 1и (' — ') У.'л" ( — ' ) ехР ( — — ' ) «(7, <'о о (10.89) Для вычисления интеграла (10.89) перейдем к новой переменной и=г'7(2а'). Тогда, используя разложение Ел (л)= ~ ( 1) ( ) (10.90) о=о , а получаем (-)"" ы )' (1п и+ 1и 2) ип ехр ( — и) о(и = а )Г'(й+1)+1п2Г(й+ 1)). (10.91) (10 91) находим со= (Г'(1)+1и 2112=т,(Е ).
л /по сумма У ( — 1)п( ) =О, то остальные коэффи/г= о При п=О из Так как прн и= 1 10.4. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФАЗЫ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА 10.4.1. Одномерная плотность и моменты. Сравнивая (10.48) с (3.49), приходим к выводу, что задача нахождения плотности вероятности фазы узкополосного гауссовского случайного процесса совпадает с решенной в п, 3.2.5 задачей определения плотности вероятности фазы вектора с независимыми гауссовскими компонен- 274 циенты л и сл= — 2; ( )( — 1)' 2; — = — —, и-л1, (10.92) и 2п Подставляя (10.92) в (10.88) и учитывая (10.85), получаем Вл,(т) — то (Е,) = — 2; иО 00 (10.93) 4 л=~ и' При т=О правая часть (10.93) совпадает с (10.87), так как по Х вЂ” = —.
и' 6 таци, средние значения которых отличны от нуля. Используя (3.57), запйшем одномерную плотность вероятности фазы случайного про- цесса (10.35) %',(д, 1) = — ехр ~ — — )+ 2ц, 2оа ! + '"а(д:д) р~ — ".0.(0-0,)1х х ехр ( — — з! пв (д — О,) ), (д — д, / ( и, (10. 94) 2аа где а=а Я = (из(1)+оз(1))ы' и да=да(1) =агс(~[о(1)/и(()]. Заметим, что функция (10.94) зависит как от огибающей а(г), так и от фазы д,(1) детерминированного слагаемого процесса, в то время как плотность вероятности огибающей содержит в каче- стве параметра только огибающую а(1), но не фазу 0,(1). Если детерминированное слагаемое (сигнал) представляет гармоничес- кое колебание частоты юо и амплитуды ис, то из (10.94) следует йу, (О) = — ехр ( — — ' ) + ""' Р(з соз О) и хехр( — ), ~д((ц, 2 где через з=ио/о обозначено отношение амплитуды колебания к среднеквадратическому значению стационарного гауссовского процесса (шума).
Очевидно, что в фиксированный момент времени функция (10.94) имеет такой же внд, что н (10.95), если только начало координат перенести в точку Π— д, н обозначить а=а/а. Семейство кривых )а'з (О) для нескольких фиксированных значений з показано на рис. 3.7. Сопоставляя произведение функций (10.56) и (10.94) с совместной плотностью вероятности огибающей и фазы в совпадающие моменты времени, убеждаемся, что огибающая и фаза зависимы. Они не зависимы только при отсутствии детерминированной части . процесса '. Когда сигнал отсутствует (з=0), 1(У1(0) =1/(2п), (0~ (зг, что соответствует равномерному распределению фазы узкополосного стационарного гауссовского процесса.
' Заметим также, что узкополосный стационарный гауссовский процесс $(0 с нулевым средним и его огибающая Ебй в совпадающие моменты времени нгкоррелнрованы. Совместная плотность вероятности ЕЯ, в(0 и сопряженного ч(Е) юз(у, хо хз)=ю(хз, хг)6(')/х"-~+х'з — у], откуда в силу симметрии двумер. ной плотности вероятности юз(хь хз) процессов в(г) н ч(г) следует т~(е(г) в(г)1=- 0 цхзюз(ц, хь хз)ох~дхзф= 1 1 х! )/ х з+х з м/а(хь хз)Лх~лха=о.
о- 276 (10.97) При з«1, т. е. при амплитуде сигнала, много меньшей среднеквадратического значения шума (слабый сигнал), в соответствии с (3.58) (10.96) Из (10.96) следует, что при слабом сигнале плотность вероятности фазы представляет косинусоиду, смещенную вдоль оси ординат на !/(2я), с амплитудой з/(21' 2я). Если з соз0)3, т.
е. амплитуда сигнала много большей средне- квадратического значения шума (сильный сигнал), в соответствии с (3.59) $2я 1 2 При 0)п/2, з)З можно считать, что В'~(д) =О, а для небольших значений д 5 1 ггог цу,(п) = ехр( — — ), ((1О. 98) Р 2гг г. е. фаза в этом случае подчиняется нормальному закону распределения с дисперсией 1/з'=оЧигг, равной отношению шум-сигнал. Центральные моменты фазы нечетного порядка равны нулю, а четного порядка определяются по формуле (3.64). Дисперсия фазы огч совпадает со вторым центральным моментом [см.
(3.65)] ог = — +4п ~, '( — 1)» — ", (10.99) з,, ь где аг определяются согласно (3.63). При слабом сигнале можно ограничиться первым членом ряда (10.99) и тогда 1см. (3.63)] огч=яг/3 — 4иа,=пг/3 — з $/ 2к~Р> (1/2, 2, — з'/2) или ог,р ггг/3 — з]7 2л, з«1. (10.99а) Для сильного сигнала дисперсия фазы убывает с ростом амплитуды сигнала, причем ог ь1/зг з)) 1 (10.99б) 10.4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
