Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 44
Текст из файла (страница 44)
9.1.2, нетрудно преобразовать (9.58) к выражению, аналогичному (9.15): В" (т) = 2, е„й', соз и в, т + 2; е„В„(т) со в, т + (9.61) 2а ооо ( о — г ) о оо Во.о(т) = Х вЂ” )ол.оо Йо (т). (9.60в) (2а) ! 2оо-! Спектральная плотность мощности процесса на выходе нели- нейной системы получается преобразованием Фурье от В*(т). Дискретная часть этого спектра соответствует первой сумме в (9.59), остальные члены этого выражения описывают непрерывную часть. 9.2.3.
Однополупериодный детектор. Рассмотрим однополупе- риодный детектор, характеристика которого имеет вид (ао(х — хо)~, х~>хо 'о>0, ао Г (ч + !) Соответствующая)(х) функция д(!и) равна ' ехр( — 1хои), (! и)ч+! а контур с совпадает с действительной осью, огибая лишь начало координат по полуокружности в нижней полуплоскости. В этом случае коэффициенты (9.55) выражаются интегралами вида )о„о= ' )(!и)"- — !о„(аи)ехр( — ох и — — )Ни, (9.62) 2я 2 которые можно вычислить, разлагая ехр( — !хои) и У„(аи) в сте- пенные ряды по и и заменяя о=и', после чего задача сводится к !вы- числению контурных интегралов !о* — ' ехр ( — и) г)а, о, совпадающих с известным интегральным представлением гамма- функции. Если сигнал отсутствует (а=О), величины )о„о=О при и) 1, а при п=0 в соответствии с (9.62) а„Г(ч+ !) . ! .
аоио ! Ь = " + ~(1и)о — ' — 'ехр( — 1х и — )г(и 2я с и при /г>ч+! [см. (9,57а)) ", — --( — ")- (-А) (9.63) 9.2.4. Идеальное ограничение стационарного гауссовского шума. Рассмотрим корреляционную функцию и спектральную плотность мощности процесса на выходе идеального ограничителя, характе- ристика которого является частным случаем (9.61) при ч=О, т. е. (9.64) 10, х<х„ при условии, что ограничению подвергается стационарный цент- рированный гауссовский шум. Из (9.63) для ч=О находим при А>1 242 (9.65) Постоянной составляющей соответствует член при А=О, равный !ср.
(13) в задаче (8,4)] Ьоо = по(! — Г (хо/а) ], (9. 66) где Р(х) — интеграл Лапласа. Подставляя (9.65) и (9.66) в (9.56), определяем корреляционную функцию процесса на выходе идеального ограничителя: (9. 67) При хо — — О, учитывая Нги(0) = ( — !)" (2п — 1)!!, Нг р(0) =О, получаем г М В(т) = о ~! -(- — [)т(т)+ У 1 ' ' ' Ягг+! (г) .
(9.68) 4 и г=р (2г+ !)! Просуммировав ряд (9.68), находим' В(т) = — '[1+ — агсз!пЯ(т) (9.69) 4 с и Из (9.69) следует, что нормированная корреляционная функция йс (т) процесса на выходе ограничителя Яс (т) = агсз1п )т (т), (9.69а) 9.2.5. Идеальное ограничение узкополосного гауссовского шума. Пусть на вход идеального ограничителя действует узкополосный стационарный гауссовский шум, спектр которого расположен в узкой полосе вблизи частоты во.
Тогда, используя (9.55) (при а=О), (9.59) и (9.65), находим корреляционную функцию процесса на выходе идеального ограничителя В(,) аг( 1 Г( "о )~ г г о у~го — ! ( ) (' 2А — ! ' Х Нга — г( — ! о у (2й !)! 2га — г соз(2г — 1) вот+ 2й г о'„,( — *') соз 2гв,т (9.70) ' Заметим, что (9.69) получается непосредственным интегрированием (9.2) при о=о, если перейти к полярным координатам, Это один из редких примеров, когда можно обойтн представление в виде ряда корреляционной функции после нелинейного преобразования. 243 Из (9.70) преобразованием Фурье можно определять спектр предельно ограниченных шумов, который имеет характерный для нелинейных преобразований вид (кроме постоянной составляющей), т.
е. состоит из полосы в области нижних частот и полос, расположенных около частоты «вз и гармоник этой частоты (см. рис. 8.[). Исследуем подробнее ситуацию, когда среднеквадратнческое значение шумов много больше высоты уровня ограничения о»ха Так как полином Н„(х,/о) при четном й содержит только четные, а при нечетном — только нечетные степени х«/о, то, пренебрегая степенями х««о выше первой, для рассматриваемого случая полу- чаем аа ( 2х~ -~ Г 2 ) + ~2л — 1 [(2л — 3)ИР ~ ~«о (т) + Е (," ,' ) лг-'«.~ ~ л=з (2л — 1)1 2~" соз ОЪО т + соз(2г — [)ылт~ + ') (2л — 1 [(2л — 3)ИР ( — („) (2л — 1)! 2~ Ы / 2лт Ц2л — 1)И)«[ 2"«' (л=! (2л)! 2~" [(2л — 1)ИР 2л (9.7[) «=! л=«(2л) ! 2зл ')' «' 2л — 1 [(2л — 3)1!Р [ а2 2л соз «л4 т.
(9.72) 244 Из (9.7[) следует, что при хо=О спектр ограниченных шумов сосредоточен только в окрестности несущей частоты «лл и ее нечетных гармоник (см. члены, заключенные в первую фигурную скобку). При х«ФО, но х««о появляются комбинационные спектральные составляющие в видеополосе и в полосах, расположенных около четных гармоник, но энергия, соответствующая этим частям спектра, много меньше, чем в полосах около нечетных гармоникыа Спектр в окрестности несущей частоты «лл определяется преобразованием Фурье выражения 9.3.
АнАлиз энеРГетических хАРАктеРистик МЕТОДОМ ПРОИЗВОДНЫХ 9.3.1. Общие соотношения. Рассмотрим вновь нелинейное преобразование в системе с характеристикой у=7(х) суммы детерминированного процесса и стационарного центрированного гауссовского процесса с дисперсией а' и нормированной корреляционной функцией й(т). Для определения корреляционной функции процесса на выходе системы используем метод производных (см. п. 8.15). В этом случае имеет значение зависимость корреляционной функции процесса на выходе системы от Я=Я(т), которую обозначим В(Я).
Для рассматриваемой задачи из (8.29) находим ( ()"'(х,) ~'"(х.) х 1 х ехр ( — ((х, — а,)' — 2)4 (х, — а,) (х, — аз)+ 2в~ (1 — Я2) +(х,— а,)')) дх,4(х„а=1, 2,..., (9.73) где С и„,.= ) 71О(х)ехр( — ~~ ш) 14(х, 1=1; 2. (9.74а) У2ЛО2 2о2 л Если 7(х) = Х 4(ьхь, то 19О(х) =4( и! и из (9.73) следует а" В(В) (( и!1 о ° ~И" (9.746) В этом случае корреляционная функция процесса, возникающего после нелинейного преобразования гауссовского процесса, пред- ставляет полипом а-й степени от В (т).
Так, используя (9.74б), 245 г де а,=з(14), а,=з(1з), )с=)с(т), т=(з — (ь Таким образом, вычисление корреляционной функции процесса, возникающего после нелинейного безынерционного преобразования гауссовского случайного процесса, сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения я-го порядка вида а' в (в) = Ф(В), где Ф()г) представляют правую часть (9.73). а" Для того чтобы проинтегрировать это уравнение, необходимо задать й граничных условий. Такими условиями являются значения функции В(Я) и ее производных по Я до (й — 1)-го порядка при Я=О (т.
е, при т — со) или при )с=! (т. е. при т 0). Из (9.73) непосредственно получим 41' В (11) м гз И' Р=В нетрудно получить формулу (9.43) для двухполупериодного квад- ратического детектора (а=2, а>а=1) при граничных условиях 1нпВ (1т) = аз = о' и 1ип В (Я) = т> ($а (1)) = Зо', л о и > Пусть функция 1(х) составлена из кусков полиномов, образу- ющих в местах стыка угловые точки.
Тогда при достаточно боль- шом )е производная ~<а>(х) будет равна сумме дельта-функций и вычисление интеграла (9.73) становится элементарным, если вос- пользоваться фильтрую>цим свойством дельта-функции н ее про- изводных (см. Приложение 1)'. 9.3.2. Взаимная корреляционная функция. Формулу типа (9,73) можно использовать также для вычисления взаимной корреляци- онной функции на выходах двух нелинейных систем, если иа их входах действуют гауссовские процессы, Для этого под знаком интеграла нужно место 1>а>(х>)1>а>(хз) подставить 1,~а>(х>)1а>а>(хз), где 1>(х) и )з(х) — характеристики систем, В частном случае 1,(х) =х находим взаимную корреляционную функцию процессов на входе и выходе нелинейной системы, когда на ее вход дейст- вует стационарный гауссовский процесс 5(1) '1см.
(9.73), й=1]: Н ВЕЕ ()7Е) Н)7 ]7 (х„) н>а (х„х„т) с(х> г(х„ Š— СО СО где гс,(х„х„т) — двумерная плотность нормального распределения. Интегрируя по переменной х„получаем >4В (Р) оа ~~, г (ха — а>а> ] 1' (х,) ехр [ —,Е) ~ г(ха = с. (9.75) ай (ггйп 2оЕ Правая часть (9.75) не зависит от )те, Поэтому, учитывая, что Ипт Вес(йе)=аеас, находим Веефе) =с)ге+аеас. Если ае=О, то лЕ 0 1см. (6) в задаче (8.2)] ВЕЕ(т) = с)гЕ(т), (9.76) 9.3.3. Идеальный ограничитель. Проиллюстрируем метод производных несколькими примерами определения корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы, когда на входе действует стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым средним, дисперсией о' и нормированной корреляционной функцией Я(т).
' Фильтрующее свойство пельта-функций можно столь же аффективно применить и лля вычисления козффнциентов разложения (9.6) прямым методом. В самом деле, заменяя полнномы Эрмита производными от зкспопенциальной функции (см. (2.83)] и интегрируя по частям й раз, получаем о (х — з)з ч с„= ] )а>(ох) Н ь(х — з>ехр ( — ] г>х. ~/2я— Здесь так же, как и в (9,73), вычисления значительно упрощаются, если (аи(х) представляет сумму лельта-функций. 246 Для идеального ограничителя с характеристикой (9.64) при ха=О 1'(х) =ааб(х) и по формуле (9.73) находим аа '!В(Р) — а ~ )' б(ха) б(х )Х ао! 2л ~/! — пав 1 аО Х ехР( — ( х', — 2Рха ха + х') а(ха а(ха = 2оа (1 !аа) ! а а а а а 2л-У'! !аа ' а Так как при Р-эО (т.
е. при т -оо) 11шВ(Р) = — а, то н-аа 4 В(Р) = — + а ) = — ~ [1+ — агсзапР(т)(. (9,77а) 4 2л о 1 — Ра 4 л (9.78а) Из граничных условий определяем константы с, и са. '- 1- ( — "!'*)'- —" оа оа — 1)+ — =с + —, 2л 4 !ппВ(Р) = с,= аз= л- о 11ШВ(Р)=таК(!)) = л-+! оа оа (' л =с + — 1 2 2л а2 откуда следует, что с,=оа/4. Учитывая полученные значения кон- стант с, и с„находим из (9.78а) В(т) = — ~ —" Р(т)+ Р(т) агсейп Р(т)+ !а 1 — Ра(т)~, 2л 12 что совпадает с (9.24). Легко доказать, что для двуполупериодного линейного детектора с характеристикой !(х) = !х) можно использовать формулу (9.79), 247 При симметричном ограничителе с характеристикой )'(х) =ааХ Хздпх !'(х) =2ааб(х), и так как постоянная составляющая процесса на выходе симметричного ограничителя равна нулю, то корреляционная функция на выходе 2лоа В (т) = агсз(п Р (т), что совпадает с (9.69).
9.3.4. Линейный детектор. Для линейного детектора с характеристикой (9,!9) !л(х) =б(х) по формуле (9.73) находим ЛаВЯ) оа 1 (9.78) а! и а 2л (/1 — Яа Общее решение уравнения (9.78) В(Р)= ~ (Рагсз1пР+) 1 — Ра — 1)+с Р+с,. 2л если увеличить в четыре раза множитель перед квадратной скобкой (см, задачу 9.5).
9.3.5. Однополупернодный квадратичный детектор. Рассмотрим далее однополупериодный квадратичный детектор, характеристика которого ~()=~,';-,' В этом случае )о>(х) «25(х) и при условии, что гауссовский процесс на входе детектора стационарный с нулевым средним, по формуле (9.73) получим оаВ(В) 2 ао (9.80) Лаз а )/! )о« Начальные условия имеют вид В я))а=о= — — ~ = 2а«/и, ~ = по. ао аВ ! а'оВ ~ 4 сИ )л=о лВ' )а=о Интегрирование уравнения (9.80) выполняется в элементарных функциях 2а ~ и+ п)со 3 ) )со(( + и 1 8 4 4 + — агсз1п )с (т) + — )7о (т) агсз1п Д (т) ]. ! ! (9.81) 4 2 9.3.6. Сглаженный ограничитель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
