Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Используя (5.8), можно определить четырехмерную совместную плотность вероятности квадратурных составляющих А(/) и С(/) в моменты времени 1 и 1+ о! 1 игз (х„х„у„у„т) = Х (2~!зз)' (1 — Роз) х ехр [хг + у', + хо+ уг— — 1 2аз (! — Ро) 2Рс (хз'хз + уз уз) — 2Р, (х, у, — х, у,)) ~, (10.53) Заменяя в соответствии с (10.39) при и=2 х! = г,соз О! — и!, х,= ггсоз Ог — им у!=Г!ззпд! — и!, уг=!'гз!пзбг — пг, (1О 54) где и! — — и(/), из=и(/+т), и!=и(/), пге о(/+т), местную плотность вероятности огибающей Е(/) два момента времени / и /+т рассматриваемого гауссовского процесса 264 получаем сони фазы <р(/) в узкополосного где,Р,(т) и Р,(т) — соответственно нормированная корреляционная функция квадратурных составляющих А(/) и С(/) и их нормированная взаимная корреляционная функция.
Связь величин Р.(т) и Р.(т) со спектральной плотностью мощности исходного гауссовского процесса описывается формулами (см. (10.23) и (10.27) ) Р, (т) = Вл (т)/оз = Вс (т)/оз = 00 / ао = ) Вз(а)соз(а-ао)то[а/ ~Яа(а)о[а, о о Р, (т) = Вас (т)/оз = =731( ) '( — .) ~-// Я~( )- о / а )[г~(гм д,, г„д„(, т)= ' * х (2яог)г (! !> ) хехр — [(ггсовд,— и,) +(г, в!пд — о,)'+ 2ог (1 — ига) + (г, сов д, — и,)'+ (г, в[п д, — и,)'— — 2)со [(г, сов д, — и,) (г, сов д, — и,) + + (г 61п д, — ог) (гг в[п дг — и,)— — 2гс, [(г, сов д, — и,) (г, в1п д, — п,)— — (г, сов д, — и,) (г, в1п д, — о,)) или после элементарных преобразований [см.
(10.34) и (10.52)1 )[2г(гг дг гг дг 1~ т) = х (2авг) г (1 — >гго) х ехр — [г', +го — 2й>о г, г, сов(д,-д, — до)) х ! 2о (! йо) ! х ехр —. [а', + а, '— 2)со а, а, сов (д,, — д„+ до) ого — 2г, а,сов(д,— д,,) — 2г,а,сов(дг-д,,)+ + 2)тог,а,сов(д,+ д,, + д,)+ 2йогга,сов(д,+ до, + д,)[~, ,)О, г,)0, [д,[(п, [д,[(н, (10.55) где а, =а(!), аг=а(1+т), д., =д.(1), дг, =д,(!+т), до =до(т) = агс1д[)г.(т)>гт,(т)).
Заметим, что выражение (10.55) записано в форме произведения двух экспонент, причем параметры детерминированной части процесса содержатся только во второй экспоненте, которая обращается в единицу, если в(!) =О, т. е, если гауссовский процесс — - стационарный. Из (10.55) двукратным интегрированием по д>, дг находим двумерную плотность вероятности огибающей, а двукратным интегрированием по гь г,— двумерную плотность фазы. 10.2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОГИБАЮЩЕИ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА 10.2.1. Одномерная плотность вероятности и моменты.
Сравнивая (10.48) с (3.49), приходим к выводу, что задача нахождения плотности вероятности огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса [см. (10.36)) полностью совпадает с рещенной в п, 3.2.3 задачей нахождения плотности вероятности 266 длины вектора, компоненты которого независимы и распределены нормально с параметрами и(1), а' и а(1), а', где а' — дисперсия стационарной составляющей процесса (10.36). Используя (3.50), определим одномерную плотность вероятности огиба- кяцей (10.56а) где,Е~(х, у, г) — гипергеометрическая функция. Если детерминированное слагаемое отсутствует, то ть = (2аг) и'Г (1+/г/2) (10.59) Явные выражения первых трех моментов даются формулами (3.54а — в) . Заметим 1см. (10.56)], что распределение огибающей суммы детерминированного и узкополосного гауссовского стационарно- го случайного процессов не зависит от фазы д,. Отсюда следу- ет, что это распределение относится также и к огибающей сум- мы указанного случайного процесса и квазндетермннированного, отличающегося от рассмотренного случайной фазой <ра.
Действи- тельно, ) (г г (г(%е) (Р~ (<Р0) г(Фо = (г т (г) ) (г т (Ча) ~РРо = 1" ~ (')~ 266 Таким образом, распределение вероятностей огибающей узкополосного гауссовского процесса в общем случае совпадает с обобщенным законом распределения Рэлея. Функция (10.56) при различных фиксированных значениях а/а изображена на рис. 3.6. По мере увеличения отношения а/а закон распределения огибающей приближается к нормальному 1см. (3.52)1. Соответствующая (10.56) функция распределения в элементарных функциях не выражается, но может быть представлена в виде ряда Р,(г, 1)=Р(Е(1)х:.г)=ехр ~ —, ) х хХ( ', 71„~",()1, г)0. Когда детерминированное слагаемое отсутствует (а=О), (10.56) соответствует обычному рэлеевскому закону распределения (на рис.
3.6 кривая 1), т. е. (Р',(г) =- — ехр( — ), г)0, (10.57) а~ ~ 2а~ /' Е,(г) =1 — ехр( — г ), г) О. (10.57а) 2аа /' В соответствии с (3.54) моменты огибающей тд=т~(Е'(1)) = (2сР) маГ(1+й/2) ~Е,[ — й/2, 1, — а'(1)/(2а') ), (10.58) так как условная плотность вероятности К,(г~ я~о), как это следует нз (10.56), равна Уг~(г). 10.2.2. Двумерная плотность вероятности огибающей стационарного гауссовского процесса. Переходя к определению двумерной функции распределения огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса, ограничимся подробными вычислениями для случая, когда детерминированное слагаемое отсутствует, т. с.
когда гауссовский процесс стационарный. Тогда из (10,55) прн а~г пг=б,, =0„=0 находим гв гв г!+ г (2лав) в (1 — Ф) ~ 2а' (1 И~2) о о ( а ! гоо Интеграл по дг ав (1 — Р~) ав (1 — Ро) не зависит от бь Интегрирование по 0~ дает постоянную, равную 2л. Таким образом, получаем двумерную плотность вероятности огибающей стационарного узкополосного гауссовского случайного процесса г г Гв Гв 1+ г а4 (! — .Ч') (2ав (! — Ф) ~ (10.60) / а' (! — !аког) ~ Если т-в.оа, го )хо-~0, и из (10.60) следует ав В, 2ав/ ав !, 2ав ! т. е. при тв-оа, как и следовало ожидать, двумерная плотность равна произведению одномерных плотностей вероятности огибающей стационарного гауссовского процесса.
Соответствующая (10.60) двумерная функция распределения через элементарные функции не выражается, однако ее можно представить в виде ряда, если использовать разложение в степенной ряд функций Бесселя. Тогда 1 го (! До) ( 2,(! До) 1 г г а!о г ~ 2в(! Рг) 267 Заменяя переменные интегрирования и=го![2оз(1 — )соо)] и учитывая, что получающиеся при этом интегралы представляют неполную гамма-функцию [см. (1.31)], получаем ' ~з(г1» гз» т) [1 '»0(т)) Х а» г' Х ,'з )[~~(т) Г ~п+1, ' 1 ! Г(л+1)Х л о 2с'[1 — !!о(т)]] / я ХГ и+1, ' 1! Г(п+ 1), г,) О, го>0.
2с [! — Дз,(т)[ [! (10.61) 10.2.3. Двумерная плотность вероятности огибающей суммы детерминированного и гауссовского процессов. Случай, когда присутствует детерминированный процесс, исследуется аналогично, хотя вычисления более громоздки. Приведем лишь окончательное выражение двумерной плотности вероятности огибающей гз г, [»!+ гз+ а', + ао — 2аз со До] [3"з(г„г„т, !)= ' ' ехр Х со (! !!2) 2сз (! !!~с) ХХе.1 '""*, 1„' "; гзХ -,сз(! А') о) где во=1, е =2, пг)1. Если детерминированный процесс представляет гармоническое колебание частоты юо и амплитуды ио, то аз=аз=по, и из (10.62) следует гд го г1+ гя 2 'игя(Гю г„т)= ' ' ехР ! — 1Х сз (! — !1~~) [, 2сз (! — л»~~) ] < 2 Когда т-и со, то !со — 0 и из (10.62) находим ",+',1 [[ув (гз гя !) ехр ~ ~ Х с <, 2сз х»,(~) —" р[ — ' 4]».( — ч)» ' В [33) функция Рв(г», гз, с) выражена через тзбулировзнную функцию рвснрелеления Рзлея — Рааса (см.
[4)). 268 Разложим двумерную рэлеевскую плотность вероятности (10.60) в ряд по этим полиномам: гг юг ~о+ ! ~ ~ Рюнтю а" (! !оо) [ 2аг(! аюг) ) ( а'(! —.тою) ! ехр —, Х (10. 64) Используя (10.64), представим корреляционную функцию огибающей рядом а=ю аю ю ю 2аг 2а' 2а' и так как переменные в двойном интеграле разделяются, то Ва (т) = оо 2'; сг /тою" ('т), ю=ю (!0.65) где с„= ) г' /.,'," ( — ') ехр ( — вЂ”Ч ю(г. (10.66) Е интеграле (10.66) заменим переменную интегрирования у= =г'/2. Тогда получаем [см.
(2.90)1 299 т, е, двумерная плотность вероятности при т-ю-аа, как и следовало ожидать, равна произведению одномерных плотностей (10.56). Огибающую узкополосного гауссовского случайного процесса можно назвать рэлеевоким случайным процессом, а функции (10.60) и (10.62) — двумерными рэлеевскими плотностями вероятностей стационарного и нестационарного рэлеевских случайных процессов. 10.2.4.
Корреляционная функция огибающей. Зная двумерную плотность вероятности огибающей, можно найти ее корреляционную функцию, так как последняя — второй смешанный момент распределения. Связанное с этим вычисление двойного интеграла целесообразно проводить, используя изложенный в и. 2.5.5. метод разложения двумерной плотности вероятности в ряд по соответствующим ортогональным полииомам. Рассмотрим подробно последовательность вычнслсния корреляционной функции огибающей стационарного гауссовского случайного процесса, Двумерная плотность вероятности огибающей при этом определяется формулой (10.60), а соответствующая ей одномерная — формулой (!0.57). Если на интервале (О, аа) функцию (и/а)'ехр[ — го/(2ао)] принять за весовую, то ей соответствует совокупность ортогональных полиномов Лаггера [см. (2.90)) Я (г) /, !юг(гг/2ао) п=О 1 2 с„=)'2 ))/у/.',"!(у)е "г(у=- о ~2 — и'" ( 1У Г ~/у (диŠ— У)4(у л! г Лу" Интегрируя (10.67) по частям а раз, находим при п)2 (/2(2л — 3)!! 1 ( 3 ! 2ил! 1 2 / и так как Г (3/2) = ) лп/2, то (2л — 3)П ) ГХ си 2" и! (10.67) (10.68) Для и=О и и= 1 из (10.67) непосредственно следует с = '1/и/2, 1 с,= — У и/2.
(10.68а) (10. 686) Подставляя (10.68) — (10.68б) в (10.65), получаем выражение корреляционной функции огибающей узкополосного стационарного гауссовского случайного процесса Ва(т)- — о' ~1+ ' + Х,„ /(г (т) = л г ( й~(т) 1(2и — 3)ПР гп 2 ~ 4 .=г 2ги (ицг оа (2Е Жо(т)) + (1 — Ео(т)) К Жо (т))) (10.69) которое совпадает (с точностью до постоянного множителя 1/пг) с (9.29). Первый член пег/2 ряда (10.69) равен квадрату среднего значения огибающей [квадрату среднего значения для рэлеевского распределения (10.57)1. Из (10.69) при т — 0 находим (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
