Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Совместное распределение огибающей, фазы и их производных. Определим совместное распределение (в совпадающие моменты времени) огибающей, фазы и их первых производных узкополосного, дифференцируемого в среднеквадратическом, гауссовского случайного процесса. Исходным для решения поставленной задачи является совместное четырехмерное нормальное распределение квадратурных составляющих А (1), С(1) стационарного слагаемого гауссовского процесса и их производных в совпадающие моменты времени (см. (10.35)1. В соответствии с результатами п. 10.1.3 корреляционная матрица этого нормального распределения 1 О 0 )х.
(О) 0 1 — )г, (0) 0 О -К(О) -Я,(01 О л,'(о) о о г, (о) Здесь согласно (10.31) и (10.29) (см. также (10.50), (10.51)) — Л, (0) =- ) (4о — соа) Я (4о) 4(4о )( ) В (со) 4( а4 = гоар — Фа = о4а, (10.125а) о ( о оо ,/ о )1с (0) = ~ (4о ыа) В (а4) 4(4о ~ ~З (го) 4(Ф = о = Ф4' — 24оар 4ао+ 4о, '= оо.' (10.125б) 283 где 5(в) — спектральная плотность мощности стационарной части узкополосного гауссовского случайного процесса.
Детерминант указанной корреляционной матрицы В=(вр.— „)р=( .—; ) . (10.126) Теперь можно записать совместную четырехмерную плотность вероятности квадратурных составляющих и их производных в совпадающие моменты времени то,(х, х, у, у')= х Р 1 4ая ( в~ — в*Р) оз х ехр — [в' (х'+ у') + 2аР ( вр — в~Р) + х'Р + у' — 2оР (ху' — ух')) (10,127) Заменой переменных в (10.127) х+и=тсояб, у+о=т я1пб, х'=т'созе — тб'я!пб — и', у' = т' я! п О+ тб' соя 6 — о', (10.
128) и=и(1), о=о(1), а(1) =(и'(1)+о'(1цыр, д. (1) = агс1 у,(о (1) /и (1) ~1, с учетом того, что якобиан преобразования (8.128) равен т', по- лучаем искомую четырехмерную плотность огибающей, фазы и их производных в фиксированный момент времени Я7,(т, т', Ъ, 0', 1)= Ф х 14оР оз ( в~ — в~о) х ехр — (оР (г' — 2га соя(6 — д,) + а') + 2о' ( в~ — в") + аз + та + т' бы — 2т' а' соя (Π— 0;) + + 2тб' а' я[п (д — 0;) — 2в* а (т' я1п (д — 6,) + г д' соя'(Π— 6,)! + + 2в' (ио' — ои'+ та'я[п (Π— 0;))) ~, где а'= (и" +о'р)и', 6'.=агс[д(о'/и').
(10.129) 10.6.2. Совместное распределение огибающей и ее производной. Для определения совместной плотности вероятности огибающей и ее производной в совпадающие моменты времени необходимо про- интегрировать (10.129) по 0 и 6'. Это интегрирование выполня- ется просто тогда, когда нет фазовой модуляции детерминирован- ного колебания (о(1) =О), а спектр Я(в) симметричный, причем несущая вр совпадает со средней частотой в,в При этом в*=0 и из (10.129) следует 284 й7 (г, г')= ехр ] — — [г'+и~+ 4пэ оз в2 ! 2о~ Г «т «д'21 иг х ) г' ехр ~ — — ] 1+ — ~ + — соз 0 дг. о 2ой ] вз] Ф (10.
133) 286 +(и" +гв))в~)) ) ) ехр ~ («~0"— — 2«' и' соз О+ 2«0' и' з)п О) — —" соз 0 ~ НЫО' = оа *р ( — —, [ '-; ' + ~" ~,' ' ]] х х ) ехр — ( , ,) х 1 [«Р6'~ и'а + («' о + ве «и)2[па о' в~ (10.130) Если и'(1) =0 (гармоническое колебание постоянной амплитуды), то функция Бесселя под знаком интеграла не зависит от переменной интегрирования и тогда г 1 йг, (г, г') = ехр — — ] «'+ и'+ оз в )/2п [ 2о' (10.131) Сравнивая (10.131) с (10.56), находим 'н«, (г, «') = К, (г) ехр ов„~/2л [ 2о2 в2 г ) 0; — со ( г' ( оо, (10.132) т. е. совместная плотность вероятности огибающей и ее производной равна произведению плотности вероятности огибающей (обобщенная функция Рэлея) и плотности вероятности производной, которая оказывается нормальной с нулевым средним и дисперсией о'в'..
Из (10.132) следует, что огибающая узкополосного нормального процесса и ее производная в совпадающие моменты времени независимы [ср. (4.150)1. 10.6.3. Распределение мгновенной частоты. Определим теперь совместную плотность вероятности фазы и ее производной. Сохраняя предположение о симметрии спектра 5(в), а также полагая во=в,г и и'=О, проинтегрируем (10.129) по г и г', в результате чего получаем 1 «. и~~ 112( ~ ) ехр [ — — ) х 12 по~)зм в 2 о~ Интегрируя (10.133) по 6, находим плотность вероятности мгновенной частоты производной от фазы суммы гармонического колебания постоянной амплитуды и стационарного гауссовского процесса 1 иа 12г, (6') =, ехр ( — — ) х 12 нга)аи и ( 2 оа л о' Г га ! Еа! иг х! !е р[ — — [1+ — 'е)+ — а~г -') -л о '1 I иа к г(гс(0= ехр !1 — — ) х оа аг Рг2л 1 2 от / или, обозначив з=и/и, о=1+6'9гоа„ 1 Я!г (б')= Р ~ —, 1, — )ехр ~ — — !, — оо(0'(оо, т 2 а/в''~2' '2 ) 2)' (10.!34) где,Р, (х, у, г) — гипергеометрическая функция.
Величина з равна отношению амплитуды сигнала к средне- квадратическому значению шума, а величина ат. пропорциональна ширине полосы спектра шума. Функция Я7г(д') четная (рис. 10.4). -гр -йю -йп -дк а дх йд -, !и гЬ, Рис. 10.4, Плотность вероятвостн мгновенной частоты гауссовского процесса 286 За числовую характеристику распределения мгновенной частоты производной от фазы можно принять среднее ее абсолютных значений, т.
е. т ((р'~) = [ 10'())а (0') а(0'=3 [ 0'й' (0') Р(0'. (10.137) а Подставляя (10.134) в (10.137) и меняя порядок интегрирова- ния, получаем 2 аа т, () р'О - ехр ~ — — ) х оааа ~2н ~ 2РРР ) хР Р ( —,) Р( — )РР Р~ —,— Р)х Г 1 . аа х (О (г- Р,( —,1,— — 1 2 2ча/ или, выражая гипергеометрнческую функцию через функцию Бес- селя, тР ( ~ Рр'1) = е 1а [и'/(4па) ] ехр [ — и'/(4о') ]. (10.138) Если детерминированная часть процесса отсутствует (и=0), то тР((<р'~) =ы.. (10.139) 10.6.5. Корреляционная функция и спектр мгновенной частоты. Рассмотрим стационарный узкополосный гауссовский процесс с симметричным относительно центральной частоты еаа спектром.
В соответствии с (10.15) производная (1(() от фазы (мгновенная частота) этого случайного процесса С (0 А (0 С' (0 — С (0 А' (0 (10.140) РРР А (0 А'(0+ С'(0 Корреляционная функция случайного процесса ()(() Вв (т) = т, [ Р С(0) А' (0 — А(0 С' (0 Х АР (0 + СР (0 Х С((+ т) А' 0+ а) — А()+ т) С' ((+ т) ) (! О. 141) АР(Р'+т)+ СР0+ Р) Для определения Вр (т), как видно из (10.141), необходимо знать совместную нормальную плотность вероятности восьмого порядка гауссовских случайных величин А(/), А'(/), А (1+т), А'(1+т), С(1), С'((), С(1+т), С'(1+т). В силу сделанного предположения о симметрии спектра исходно- го гауссовского процесса случайные функция А(1) и С(() незави- симы.
Достаточно громоздкие вычисления (см. [1]) приводят к сле- дующему выражению корреляционной функции мгновенной часто- ты стационарного гауссовского процесса: 288 (10.144) (!0.146а) ЛР(т) - К (т) )(о(т) Во (т) =— 1П [1 — йо о(т)[, (10.142) 2Лоо (т) где /7о(т) — нормированная корреляционная функция квадратурных составляющих А(!), С(Г), определяемая спектром гауссовского процесса по формуле (10.50). Из (10.142) следует, что 1пп Ва,(т) = со. Это соответствует т. о указанной неограниченности дисперсии производной от фазы стационарного гауссовского процесса. Поэтому требуется известная осторожность при исследовании вероятностных характеристик производной от фазы.
Например, если воспользоваться равенством Вп (т) = — В"ч (т), справедливым лишь при условии ограниченности В"е (0), то придем к ошибочному результату. Пусть корреляционная функция гауссовского процесса [см. '(7.72) ] Ве (т) =о',ехр ( — ротс/4) соз в,т. Тогда !с'о (т) = — ((!о с/2) ехр ( — р'т'/4), /с "о (с) = — ([3'/2) (1 — 8'т'/2) ехр ( — [)от'/4) и из (10.!42) получаем В„(т) = — (р'/4) 1п ['! — ехр (' — рот/2) ].
(10.143) Параметр р=Д/)/ сс, где Д вЂ” ширина полосы спектра Ве(в) гауссовского процесса. Спектр мгновенной частоты находим по теореме Хинчина-Винера Яп (в) = — ро ] 1и ~ 1 — ехр (Г Р ' ) ) сов втс(т. о 2 Разлагая логарифм в ряд и интегрируя почленно, получаем Яо (в) = р ~,Г л ч', и-з1о ехр !с — о! ) . (10.145) Г л ! '!2 л йо Прн в=0 спектральная плотность мощности о.!о!-о !/ —; х .— ~-о )Я ! Я . где ~(х) — римановская дзета-функция. Имея в виду, что ~ [-)= 181 [, 2) =2,612, находим Вп (0) =1,866)/ Я=1,86Д.
Прн в»!р ро/ до/ /10. ! 47) 10 — 87 289 10 7. ЗАДАЧИ 1О.1. пусть а!(г, т] =е'(!)+е'(1+т) — сумма квадратов двух значений огибающей узкополосного стационарного нормального случайного процесса, Используя (10.60) и заменяя переменные га = ]/и Ып О, та= ]Г и соз О, показать, что одномерная плотность вероятности а](/, т) 1 — и йг (и, т) = ехр! Х 2оа/(а(т) [ 2оа(! рт(г)) Х5Л ( ), иоэО.
2о' (1 — /7,'( )) При т-ьса, /!а-ьО распределение (1) переходит в и / — и ' Ог (и)= — ехр~ ), и)~0, 4оа [, 2о' (2) Показать, что совместная плотность вероятности и взаимная корреляционная фунасция огибающих этих процессов гг га ]уга(гт, га, т) = 2 Х от т[! — ]70(т)[ Хехр — — + — Х гг га /га (т) Х1а, гг)~ О, га~)0, ° "[1-Ф()[ Ве е (т) = о, о, (2Е [/ра (т)] — [! ]7о (т)] ]ч [/7а (тИ) где оаь о'а — дисперсии процессов ф,(!) и $а(!) (предполагается, что значения этих процессов равны нулю), /(аа(т) =]7з,(т] +/Ра,(т), /т.
(г) =та(Аа(1)Аа(/+г))/(о о ) =гпа(С,(!)Са(!+т))/(о~от), Я,(т) =та(А,(!)Са(1+т))/(о~от) =та(Аа(1)Са(1+т))/(овса). (6) (6) средние (7] (8) (9) Прн $~(1) =на(Г) формулы (5) и (6) переходят в (10,60) и (10.69). м~ ет(г/ (г] Рис. !0.5, Схема устройств перемно- житель-фильтр 290 т. е. ]!а — распределение с четырьмя степенями свободы, как и должно быть для суммы двух независимых экспоненциальных случайных величин. 10.2. Пусть $,(Г) и Са(1) — стационарные и стационарно связанные узкополосные гауссовские процессы, которые можно представить в виде $, (1) = А а (/) соз ва!+Сг (/) з!и ваг= Ег(/) соз [ва! — ЧЧ (!) 1, (3) ьа(1) =Аа(1)савва!+Са(1)з!и ваг=Ег(1)соз[ва/ — (ра(!)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
