Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пусть на вход балансного модулятора (рис. 9.3) поступают два гауссовских стационарных и стационарно связанных случайных процесса с нулевыми средними, дисперсиями а', нормированными хорреляционными и взаимной корреляционной функциями /7(т) и /71з(т). Показать, что корреляционная функция процесса на выходе оо 24а — тра(, ( !) Т(2«+ П! (! — «+,/2) (/'( '+ "()( ы) Рис. 9.3.
Функциональная схема балансного моду- лятора 264 где Ьз,=и,з/(2аз) — отношение сигнал-шум на выходе детектора. 9.2. Используя результаты п. 9.2.1, показать, что усредненная корреляционная функция пропесса на выходе нелинейной системы, когда на вход ее действует сумма сигнала 9.4. Двумерное распределение логарифмически нормального стационарного случайного процесса э(г) )О имеет вид 1 шэ(хт, хэ, т) = 2п хг ха ]/! — Кэ (т) оз Х 1 Хехр (— [(!п х, — а)'— 2оэ [1 — )Гэ (т)] — 2)! (т) (1п х, — а) ()п хз — а) + (1п х, — а)') ~ . (12) Логарифм этого процесса !п$(Г) гауссовский со средним а, дисперсией пт н нормированной корреляционной функцией Я(т).
Доказать, что корреля. ционная функция э(1) В1(т) =ехр(2а+пэ[1+Я(т)]). (13) Получить из (13) выражения для среднего и дисперсии процесса (см. задачу 3.12) ш,($(1)) =ехр(а+пэг2), (14а) рт($(1)) =ехр(2а+и') (ехр а' — 1). (!46) 9.5. Показать, что корреляционная функция процесса на выходе двухполупериодного линейного детектора (рис. 9.4), когда на его входе действует стационарный гауссовский шум с нулевым средним, дисперсией оз н нормированной корреляционной функций )3(т), имеет вид [ср.
(9.24) и подстрочное примечание там же] 2пз В (т) = — [В (т) агсз!п )Г(т) + )/1 — )Гз (т)]. 9.6. На вход идеального ограничителя с характеристикой (9.64) пря хо=О действует сумма гармонического сигнала э(Г) =аз!п ыэГ и гауссовского стационарного шума. Доказать, что в этом случае коэффициенты йчь в общей формуле (9.58) корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы равны [см. (9.62)] йлв=) + — ) п уп (аи) ехр ~ — ) би = .л а — ! Пе Г а ! от из 2п г 2 (16) где гр~(х, у, г) — гипергеометрическая функция. 9.7.
Доказать, что корреляционная функция процесса на выходе ограничителя с линейным участком, характеристика которого Г(х) [ — я, х( — пе, Г(х) = ( х, ]х] (ае, х)п„ Рис. Улй Характеристика авухполупериодного ла. иейиого детектора 255 В(т) = о' ( 2Г ( — е) — ! ) )7(т)+ о ) н ( оа /„~ (2н+О! ал — ~( (!7) где о', )7(т) — диснерсия и нормированная корреляционная функция гауссовского процесса.
Глава 10 ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗА УЗКОПОЛОСНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА 10.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОГИВАЮЩЕИ И ФАЗЫ 10.1.1. Определение огибающей и Фазы. При некоторых весьма общих предположениями' можно по заданному случаи:ому стационарному процессу с(1) с помощью преобразования Гильбзрта образовать новый, сопряженный й(!), стационарный случайный процесс (см, Г!риложение 11) т т) (1) = — 11гп ( с( т, ахгт — т Сходимость интеграла (10.1) понимается в среднеквадратнческом смысле. Тогда случайный процесс й(!) и ему сопряженный можно представить в виде 1см. (5) и (6) в Приложении П)з: с (1) = Е (1) сов Ф ( 1), (10.2) 0(!) =ЕЯып Ф(!), (10.3) откуда следует Е (!) = [я'(1) + ч'(!) ) ", (10.4) Ф(1) =агс1д ~ (10.5) $0) Определенные таким образом случайные процессы Е(!) и Ф(1) называются соответственно огибающей и фазой случайного процесса с(!).
' Достаточным условием существования процесса, сопряженного процессу В(т), является равенство нулю постоянной составляющей. Для зргодических процессов достаточно предположить, что лн($(!))=О. ' Если среднее отлично от нуля, то понятия огибающей и фазы относятся к отклонению $(т) от среднего. 266 когда на его вход действует стационарный центрированный гауссовский про- цесс, имеет вид Заметим, что из (10.4)следует Е(1)) ~$(1) (, т. е.
случайная функция $(1) нигде не пересекает случайную функцию Е(1). )~роме того, ЕЕ'=Ц'+ЧП', и поэтому в точках, где 5(1) =Е(1), т. е. п(1) =О, имеет место равенство Е'(1) =$'(1). Таким образом, случайная функция 5(1) не пересекает Е(1), а в точках соприкосновения имеет общие касательные. Указанные свойства объясняют смысл принятого для случайной функции Е(1) названия огнбакяцей 5(1). При представлении случайного процесса 5(1) в виде (10.2) он может рассматриваться как гармоническое колебание, модулированное по амплитуде и фазе случайными функциями Е(1) и ср (г) .
Используя свойство преобразования Гильберга, выраженное формулой (3) Приложения П, находим, что спектральная плотность мощности, а следовательно, и корреляционная функция случайного процесса 71(1), сопряженного с $(1), совпадает со спектральной плотностью мощности 51(м) 1корреляционной функцией Вь(т)1 случайного процесса ~(1). Взаимная корреляционная функция двух сопряженных процессов В1ч(т)=тг(ьь(1)Ч(Ф+т))=т, — 1 " Ни~. п Г+т — и Допуская возможность изменения порядка интегрирования и усреднения, получаем В1 (о) В1ч(т) = — ( — й~.
(10.6) я т — а Таким образом, взаимная корреляционная функция В1ч (т) и корреляционная функция В1(т) являются парой преобразований Гильберта. Снова используя (3) Приложения П, находим, что взаимная спектральная плотность двух сопряженных процессов В1„(ы) = — 1Ва(о>) здпг». (10.7) Из (10.6) и (10.7) находим связь между взаимной корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности процесса 1(1): 1 В1ч(т) = — Вч1(т) = (51(е) з)петтдв. (10,8) 2п о Из (10.8) следует, что взаимная корреляционная функция сопряженных случайных процессов нечетна, а при т=О, т. е. в совпадающие моменты времени, эти случайные процессы некоррелированы.
Если ~(1) — стационарный гауссовский случайный процесс, то и п(1) — стационарный гауссовский случайный процесс и совместное распределение ~(г) и П(Г) нормальное, причем в совпадающие моменты времени эти процессы независимы. 10.1.2. Представление узкополосного процесса. Возможность представления случайного процесса в виде (10.2) не налагает ка- Э вЂ” 87 257 ких-либо существенных ограничений на спектр процесса. Однако практически особый интерес и наглядность рассматриваемое представление приобретает для узкополосных процессов.
П|усть ше — некоторая частота в полосе, где в основном сосредоточен узкополосный спектр случайного процесса $((). Положим' Ф.(У) = швУ-чр(1) (10.9) Подставляя (10.9) в (10.2), получаем следующее представление узкополосного случайного процесса: $(1) =Е(()соз[ьзе( — тр(()~ =ЕЯсоз гр(()созыв(+ +Е(() з1п гр (() з1п ювй (10.10) Вводя квадратурные составляющие А(() =ЕЯсоз <р((), С(() =Е(()з(п~р((), (10.11) где Я(() =ЕЯехр(щ(()1 (10.17) — комплексная огибающая узкополосного случайного процесса $((). ' Иногда под фазой узкополосного процесса подразумевают велзчину Ф(Г) ю,г — ф(0.
Во избежание ошибок следует иметь в виду, что здесь фаза — только случайная функцяя аз(Г). Так как на практике измеряется не абсолютное значение Ф(0, а разность, то представляет интерес изучение статистических характеристик величины ф(0). 288 находим еь (() =А (() соз юс(+ С (() з(п шв(. (10. 12) Аналогично для сопряженного процесса из (10.3) получаем т)(() =А(()з(п Фс( — СЯсозшог.
(10.13) Из (10.10) следует Е(() = [Аз(() + Сз(()1из, (10.14) ф(() = агс1й с (г) (10. 15) А (г) Здесь огибающая Е(М) и фаза ф(() узкополосного случайного процесса определены как нелинейные безынерционные преобразования квадратурных составляющих А((), С(() в отличие от соотношений (10А), (10.5), которые определяют огибающую и фазу как нелинейные инерционц)яе преобразования исходного процесса 5(г), так как сопряженный процесс т)(() представляет реакцию линейного (физически нереализуемого) фильтра на входной процесс $((). Иногда удобно бывает записать выражение (10.10) как действительную часть некоторой комплексной величины Ц() =Бе Я(()ехр(!юо(), (10. 16) Из (10.12) и (10.13) следует А(1) =$(1) соз юо(+т) (1) з!и юо(, (10.18) С (1) = 9 (1) з)п юо( — т) (1) соз юог. (10.19) В принципе приведенные здесь соотношения верны не только для узкополосных процессов, так как при их выводе предпологкение об узкополосности не использовалось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
