Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(9.11б) «=о « Тогда выражение (9.10) корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы примет вид Обозначив г=л — л и изменив порядок суммирования в двойных суммах, находим 2л' юл с В(т) = ~, 'К~~" (т)+ л=ю (2л)1 2 2л — 1 «юл — !( ) с + ~ Х," ' Кю" '(т)соз(2г — 1)в,т+ «! л «(2л — !)12~ 2л л — г с + Х 2', гю!ю!" (с) сов 2гв,т. (9.
13) (2л)12юл «=!л=« Обозначая (2л! Вю (т) = ~ «со (т) л ю (2,!)1 22л 2п — 1 с, лс с (2п — 11! 2Юл л «(2п)12юл перепишем (9.13) в виде (ср. (8.21)) «« В (т) = Вю (т) + В, (т) соз вю т+ ~ В„! (т) соз (2г — 1) вю т + (9, 14а) (9.146) (9.14в) «О + ~', В,„(т) соз2гвю с. (9.15) где 1' 2л'! юл *!2л/ юл 5,(в)л«4~ " ~ Вюю" (т)созвтс(т, л ю (2л)12юл ю 230 (9.1?а) 9.1.3. Спектральная плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы, когда процесс на входе узкополосный.
По теореме Хинчнна — Винера из (9.15) находим спектральную плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы, когда процесс на входе узкополосный гауссовский случайный '«(в) =«ю.(в)+ «! (в)+ Х «ю« — ! (в)+ Х '«ю«(в) (9,16) оы — !(л 1) 5,(со) =4 ~ ~Яо~" '(т)созга тсозсотс(т, (9.17б) л=~ (2л — 1)1 2ы о о /2л — 1~ с 5„~(оо)=4 2, " ) )7о„" '(т)соз(2г — 1)соотсозоггс(тг (2л — 1)! 2ол о о (9.
17в) 2л л — г с 5ог(со) = 4Х ~ В~о" (т)сов 2гсоотсозсотс(т, (9,17г) л=г (2л)! 2ол ' о Первый член в (9.16) представляет низкочастотную часть спектра (так называемого видеоспектра) случайного процесса на выходе нелинейной системы. Второй член соответствует части спектра выходного процесса, расположенной около частоты соо, где сосредоточен спектр и выходного процесса. Остальные члены в (9.16) соответствуют высокочастотным частям спектра процесса на выходе нелинейной системы, расположенным около гармоник частоты соо Рассмотрим более подробно низкочастотную часть спектра. Из (9.17а) следует, что для ее вычисления необходимо определять обратные преобразования Фурье от )то'л(т). Чем больше и, тем меньше спектральные плотности, соответствующие )7о'л(т), но тем шире становится полоса частот, занимаемая спектром.
Для больших и вычислить составляющую спектра, соответствующую )гоол(т), сложно. Однако фУнкциЯ 1(о'"(т) Убывает так быстРо, что можно применить подходящую аппроксимацию. Заменив переменную интегрирования т на х/)г 2п и ограничившись в разложении )со(х1')г 2л) двумя первыми членами, получим 4 ~)7',"(~)~м~~с(г 4 ~ ~1+д",(О) — "х 1~~м ( — "'" ) с(хж где го'* —— — Я "о (О) . Для процесса с равномерным в полосе Ь спектром о(п тЛ/2 о Л 17о (т) = со' = —. та(2 ' * 12 Следовательно, при 4) ( ) ж — 1' „ехР( — о ). (9.18) На рис.
9.1 показаны составляющие низкочастотного спектра. При л)1 использовалась приближенная формула (9.18). 231 -г -т с г г. з гул Рис. 9.1. Составляющие низкочастотного снектра (9.20а) (9.20б) нли с„= =Н„а(0), л) 2. У2л 232 (9,20в) 9.1.4. Линейный детектор. В качестве первого примера, иллюстрирующего изложенный метод, рассмотрим, как преобразуются корреляционная функция и спектр стационарного гауссовского случайного процесса линейным детектором, характеристика которого у = 1(х) ! (9.19) 10, х<0 (постоянный множитель при х принят равным единице, что несущественно, так как он играет роль масштаба и всегда может быть учтен в окончательных результатах).
Коэффициент с, в ряде (9.7) в рассматриваемом случае представляется интегралом с„= — ) хН„(х) е-хна с(х. (9,20) У2л о При л=0 и п=1 получаем непосредственно из (9.20) о " l ха 1, о с,= — )хехр ( — — )'с(х= У2л а 2 У2л с, = — ( х' ехр ( — — ~ с(х = —. Угла ~ 2~ При п)2 интегрированием по частям имеем )гг2л а Дха а+~ о о" з ехр ( — хаг2) = ( — 1) У2л ох" з а Подставляя (9.20а — в) в (9.6), находим В(т) = — 1+ — )т (т)+ 2„Н„, аа ! я оп (, ) 2п ~ 2 (9.21) Имея в виду, что Наа(0) = ( — 1)" (2/г — 1)!!, Нсл ! (0) =О, (9.22) Заметим", что ряд (9.23), кроме первой степени нормированной корреляционной функции входного гауссовского процесса, содер- жит только четные степени )с(т).
Он может быть просуммирован, и тогда в конечном виде а<!- "' [[ — '; «н и! ~)а(!гает:"и'!.!!. 2п 2 )' (9.24) Из (9.24) находим среднюю мо!цность процесса на выходе линейного детектора В(0) =па/2, т"ак как квадрат постоянной составляющей согласно (7.20а) сто=па/(2п), то дисперсия процесса на выходе линейного детектора )ха= ~ а'=0,341о'. 2л (9.25) Заметим, что если в разложении (9.23) ограничиться только пер- выми тремя членами для подсчета средней мощности, то В(0) ж оа~ — + — + — ), ! ! ! 2п 4 4п откуда р, оа + 0,329 о' я+! 4я (9.25а) что отличается от точного значения (9.25) только на Зо)о. 9.1.5.
Линейное детектирование узкополосного процесса. Если спектр стационарного гауссовского процесса сосредоточен в отно- ' То, что корреляцяоиная функция рассматриваемого процесса на выходе линейного детектора не содержит других нечетных степеней Й, кроме первой, не является неожиданным. Действительно, (9.(9) можно представить в виде суммы двух функций нечетной и четной составляющих [(х) =х/2+ [х/2).
Тогда 1(хО) Х Х~ха) =(лихач-)х~[[ка[+х1)ла)+ха[а~()(4 и при подстановке в (92) при а~= = аз=О первый член соответствует первой степени Р, второй член — всем остальным четным степеням )г, а последние два прн интегрировании равны нул1а Обобщения указанного свойства даны в [32]. 233 получаем следующее выражение для корреляционной функции стационарного гауссовского случайного процесса, прошедшего через линейный детектор: В(т) = — (1+ — Р(т)+ — Р(т) + ~ " й'"(т)1, (9,23) 2н 1 2 2 л (2п)! сительно узкой полосе около высокой частоты гоо, то в соответствии с (9.15) и (9.23) ао В (т) = В, (т) + — )7о (т) соз ооо т + Х В„(т) соз 2г гоо т, 4 л=1 (9.26) где ['2лл .~[.) — („) , л=о (2л)! 2ол ао Во (т) 2п (9.27) 2л [(2л — ))П]о ( ) 2з л=л (2л)[ 2ол Ряд (9.27) может быть просуммирован: Во (т) = — [2Е Жо) — [1 — )['о) К ЖоЦ (9.28) (9.29) где К()7о) и Е()7о) — полные эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода.
После преобразования Фурье функции Во(т) получим низкочастотную часть спектра процесса на выходе линейного детектора. Первый член в разложении (9.27) даст дискретную линию при го=О, соответствующую постоянной составляющей, а сумма преобразований Фурье четных степеней нормированной корреляционной функции Ло(т) — непрерывный спектр. На рис. 9.2 показан непрерывный низкочастотный спектр процесса на выходе линейного детектора, когда спектр гауссовского стационарного процесса на входе равномерный в полосе, ширина который равна Л. Ряд по степеням Ло в (8.27) сходится так быстро, что для вычисления спектра можно практически ограничиться только членом Л'о.
Тогда для рассматриваемого случая низкочастотная часть непрерывного спектра будет иметь вид прямоугольника с основанием Л. Этот приближенный спектр обозначен на рис. 9.2 штриховой линией (ср. рис, 9.1). Сравнение с точным спектром показывает вполне удовлетворительное приближение. Отношение площадей непрерывных спектров, т. е. мощности, сосредоточенной в низкочастотной области — точного и приближенного — равно 1,1, а спектральная плотность при го=О (интервал корреляции) для точного спектра на 6о)о больше, чем для приближенного. В отличие от приближенного, точный низкочастотный спектр содержит частоты выше Л, но интенсивность их пренебрежимо мала. ао Второй член — )7о(т)сов гоот в выражении (9.26) соответствует 4 неискаженному (с точностью до постоянного множителя) воспроизведению на выходе линейного детектора спектра стационарного гауссовского случайного процесса.
234 (9.30) сч Дп / 1 Оо / хэ ° и= н, ' — ( — 1ь+ и й( — — )ы)= =о" НР ~,У2п — м т, 2 ) ч нл а =У Х лат( )р Последующие члены Вэ,(т) соз 2»юот в выражении (9.26) соответствуют высокочастотным частям спектра процесса на выходе линейного детектора, расположенным около четных гармоник частоты юа, Интервал корреляции и соответственно спектральные плотности при в=2» юо резко убывают с возрастанием номера 2» гармоники, так как в вы- 42 и хг бэ ражен1п1 Ваг(т) (см (й 28)) рис. 92, Низкочастотный спектр пронаименьшая степень )те(т) рав- цесса на выходе линейного детектора на 2».
Площади непрерывных спектров (т. е. мощности), расположенных около гармоник юо, убывают обратно пропорционально величине Га(2»+3/2). 9.13. Аппроксимация нелинейной характеристики степенным рядом. Пусть ф)нкцию 1(х), дающую аналитическое представление характеристики нелиней. ного элемента, непрерывную вместе со своими производными, можно разложить в ряд Маклорена ха Пх) = Х вЂ” )1а1 (0). й! Тогда часто (например, при двухполупериодном детектировании) нелинейная характеристика ) (х) аппроксимируется многочленом 1 (х) = Х аь х (9.31) ь о коэффициенты которого должны быть равны соотаетствующим коэффициентам ряда (9.30). При такой аппроксимации нетрудно определить коэффициенты с„ в ряде (9.4). Эти коэффициенты получаются из интеграла (9.5), который в рассматриваемом случае имеет вид' аа о е г (х — з)'т з (1) си(1) = ~, '— ) х Н„(х — з) ехр( — — 1, з= .
(9.32) а=о )/2п -ю 1 2 )' а Интеграл в (9.32) легко вычисляется, если представить подыитегральную функцию как производную по параметру з. Тогда т ' Практически сумма по )с будет содержать лишь небольшое число членов. Это будет означать, что коэффициенты аь начиная с некоторого й=т+ 1, обращаются в нуль. Для общности суммируем по всем положительным л.
э Заметим, что с~=ига/оз, са=г(с~)оз, ..., с~=Не~ пг(з, т. е. каждый последующий коэффицяент получается дифференцированием по з предыдущего. 235 где р з — момент (т — А)-го порядка нормального распределения с единичной дисперсией и нулевым средним. Выполняя дифференцирование по з и используя (3.76), находим , (А+ 2г) И (2г — 1)!! кли после замены индекса суммирования ' «+ьгзг ( л+ 1+ 2г ) (л + 1)! (2г — 1) И с„(1) = г, „а„++ о" з . (9.33) =о )=о л+1 ( Л Необходимо иметь в виду, что при г=О принято (2г — 1) 5=1. Далее следует усреднять произведения с (1)с„(1+т) по времени. Обозначая т12 Ь1 1 (т) = 1!ш (о!'+!' Т) ! ) з~'(1)з~) (1+с))(1, (9.34) т-ь -тгя находим из (9.4) и (9.33) усредненную корреляционную функцию процесса на выходе нелинейной системы В* (т) = ~,~~~ ~ 2„' ~', а а от"+ '+О+ !"+"1х «+1,+тг, «+1,+зг, л=а г,=О г,=в 1,=О О=О Х ( Р л-(- 1,+ 2гз ') 1л+ 1, +2гз') ]х л+1, 1(, .+Ц ) Х ' Ь1 ! (т) й)" (т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
