Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 39
Текст из файла (страница 39)
прн Я(1/2 (апериодический режим) Р(т) = ехр( — ЩтО(айшат+ — зЛма )т! ), юаэма 5а- юо~>0, (4) (5) Са(ы) =Сто((лз — Лз — 1)а +4хз) где (ба) х = (аз/2В) (1 — юза/ыз) 5=Р/(2Ь), юзо=1/(! С), (5б) Л вЂ” отношение коэффициента связи между контурами к затуханию, найти нормированную корреляционную функцию процесса на выходе связанных контуров, когда на входе действует белый шум ! Р(т) = ехр( — (!(т() (соз()Лт+ — з(п 5Л (т() сов мат. Л (5) 7.4.
Нормированную корреляционную функцию белого шума, прошедшего линейную систему с сосредоточенными параметрами, передаточная функция которой — дробно-рациональиая функция (7) й(пе) = О(!оэ)/У(1ы), где 0(р) н У(р) — многочлены степени т и л соответственно (т(л), пред- ставить в виде: Р(г) = ,'Е ехр ( — 57 (т!) (Аг/сов югт+ Авуз1п ю/!т!); /=! (8) если все корни многочлена У(р) простые, ч Р(т)= ~, '~, 'ехр( — (1„(т()(Агсгсозюгт+Ааг!з(па„(т)) (т! ' ', (в) г=!/=1 если многочлен У(р) имеет й различных норней, причем корень ю, имеет кратность ч,.
7.5. На вход колебательного контура большой добротности Я»1) с импульсной характеристикой й(!) =созехр( — ()!)з!п ю,!, Г)0, (!О) Я, ю, и () определены в п. 7.2.3) действует адднтцвная смесь детерминированного сигнала з(!) =.а,з!п со,/ и белого ш! ма с интенсивностью 2/Ус. Доказать, 212 где ()=Р/(2Е.) =-юо/(2!с) Убедиться, что формулы (2) — (4) сохраняют внд также и для контура, образованного параллельным соединением конденсатора, катушки индуктивности и резистора. 7.3. Используя выражение для квадрата частотной характеристики двух связанных одинаковых узкополосных контуров что отношение квадрата амплитуды сигнала к мощности шума на выходе контура через интервал времени Т после включения (при условии юзт» !) С ое (1 — ехр ( — 5 ТН (11) Ш ()зрз(1+ехр( — ()Т)) 7.6.
Пусть на входе интегрирующей )7С-цепи действует стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Вй(с) = оьехр( — () )'г!), 5) О. Вывести следующее выражение нормированной корреляционной функции процесса и(!) на выходе интегрирующей цепочки: 1 1 )7 (г)= ((аехр( — ()(т!) — бекр( — а!т!)), а= —. а — й ' )7С' Показать, что дисперсия процесса на выходе (1 2) (13) 7.7. Используя выражение четырехмерной характеристической функции гауссовского центрированного стационарного процесса, показать, что четвертый смешанный момент процесса и з Д (!) $ (! -Ь т~ ) $ (! -~- сз) $ (г+ тз) ) = В (т ~ ) В (тз — тз) + В (тз) В (тз— — с,)В(тз) В(тз — тз), где В(т) — корреляционная функция процесса.
Убедиться, что из (14) следует очевидная формула для та гауссовского процесса на выходе линейной системы с ристикой С(се) четвертого момен- частотной характе- 1 12 лз = 3 ~ — ) В(ы) Сз (ы) з(ьз), 'з 2" а где 5(со) — спектральная плотность мощности гауссовского процесса на входе линейной системы. Глава 8 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СТАТИЧЕСКИХ (БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ) СИСТЕМАХ ал, ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 8.1.1. Общие соотношения. В линейных системах корреляционная функция и спектральная плотность мощности выходного процесса однозначно определяются характеристикой системы и корреляционной функцией (или спектром) процесса иа ее 2!3 входе (см. 3 7.1, 7.2).
Для определения энергетического спектра случайного процесса н его корреляционной функции на .выходе нелинейной системы необходимо знать, по крайней мере, двумерное .распределение входного случайного процесса. Как отмечалось в п. б.!.3, значение процесса на выходе статической нелинейной системы в произвольный момент времени 1 определяется значением процесса на входе системы только в тот же самый момент времени й Поэтому нет необходимости анализировать преобразование случайных процессов в статических нелинейных системах раздельно для случайных процессов и,непрерывных случайных последовательностей. Приводимые далее результаты применимы и для непрерывного, и для дискретного времени, Пусть известны характеристика вход-выход нелинейной статистической системы [см.
(6.5)1 У=1(х) (8.1) и двумерная плотность вероятности вз(хь хм 1ь 1г) случайного процесса 5(1) на входе системы. Тогда, используя приведенные в гл. 3 правила нахождения средних значений функции случайных величин, для корреляционной функции случайного процесса ~(1) иа выходе нелинейной системы получаем В~(1~ 1,) =~ Уй(1)[1[3(1,))) = ) ) (х,) ) (х,) и~, (х„х„г„гх) дх, Йх,. (8.2) Если 5(1) — стационарный случайный процесс, то стационарен также и процесс Ь(1) =Ц$(1)] на выходе нелинейной статической системы, а его корреляционная функция Вт (т) = гпт (1 $ (1)] 1 [$ (1 + т)) ) = О ) 1(х,) 1 (хз) гаа (х„хм т) Нх, Йх,. (8.3) (8.4) т, () [в(1)) = ))т (х) в, (х) Йх.
Аналогично, если существует я-й момент процесса Ь(1), то тд () [$ (1)) = ) ~" (х) э, (х) дх. Р (8.5) (8.5а) 214 Если в интеграле (83) заменить из(хь хм т) =щ1(х~)в1(хз), т-~ -+со, и жз(хь хм т) =со~(х1)б(х~ — хз), т=О, то получим соответственно выражения для среднего значения и второго момента стационарного процесса на выходе [см. также (3.14)): а1 = т, (1 [ч (1)) ) = ) 1 (х) в, (х) Лх, Найдя корреляционную функцию стационарного случайного процесса на выходе нелинейной системы, можно, используя теорему Хинчина — Винера, т, е, совершая преобразование Фурье, получить спектральную плотность мощности этого процесса.
Однако непосредственно вычислить интеграл (8.2) или (8.3), как правило, очень сложно. Поэтому целесообразно предварительно преобразовать его так, чтобы разделить переменные интегрирования в двойном интеграле. Далее рассматриваются некоторые общие методы вычисления интегралов вида (8.2). Отметим, что эти методы пригодны также для вычисления взаимной корреляционной функции процессов и на выходе двух нелинейных систем, если известны совместная двумерная плотность вероятности процессов на входах этих систем и их характеристики. Выражение для указанной взаимной корреляционной функции имеет вид Вг, 1.
(1, 1,) = и У Б,,'(1,)) 1 Б, (Ц)И = О )~,(хг)~,(х,)в1 1 (х» х„(» 1,)г(х,дх,. (8.6) — /В Формула (8.2) является частным случаем (8.6), когда ~~=~э и ~~=~э. Если ~з(хз) =хм то (8.6) дает выражение взаимной корреляционной функции процессов на входе и на выходе нелинейной системы (при Ь=Ь=ь) 8.1.2. Прямой метод вычисления корреляционной функции. Этот метод основан на разложении двумерной плотности вероятности процесса на входе нелинейной системы в ряд, т. е, на использовании результатов п.
2.5.5. Пусть в~(х, 1) — одномерная плотность вероятности, соответствующая двумерной плотности вероятности гак(хь ха, 1» 1,) процесса на входе нелинейной системы. Примем щ~(х, 1) за весовую функцию и построим совокупность нормированных ортогональных полиномов Я (х, 1), которые должны удовлетворять условию ортогональности ~гп,(х, 1)Я„(х, г)1',1 (х, 1)Их=6„ Ю где б, — символ Кронекера. Двумерную плотность вероятности и,(хь хм 1» 1з) можно разложить в двойной ряд по этим ортогональным полнномам (см.
(2.96) 1 щ,(х» х„1» Ц) = щ, (х» 1,) ю, (х» 1,) х х 2; 2, а„„(1» 1,)Я„(х» 1,)9 (х„г,,)г(х,дх,. (8.7) л=а м=а Коэффициенты а„могут быть определены умножением обеих частей (8.7) на Яь(х» Г,)1~©(х,, Гз) и интегрированием с использованием условия ортогональности. Тогда Р В пню(1»(з)= 1г ~ща (х» хм 1» (а) Я„(х„1,) Я (х„(,) Нх,(Ь;. (8,8) 2! Ь Во многих практически важных случаях а„(1ь 1,) =а„(1ь 1т)б„. (8.8а) Для этого класса распределений формулы (8.7) и (8.8) упрощаются ~ср. (2.98), (2.99)1: в, (х„х„(„1Д = ют (х„(,) ю, (х„Ц) х Х У а„((„(,)1~„(х„(,) Я„(х„(,), (8.9) «=0 «60 а» ((1 (г) = ~ ~ю»(хо х„(м 1»)0» (хм (1) 0п (хм (,)дх,аахм (8.10) Подставляя (8.9) в (8.2) и разделяя переменные интегрирования, получаем В«((„(,) = ~„'с„(1,) с„(1«) а„((„1,), »=0 (8.1 1) с„(М) ~~ (х) Я„(х, () ю~ (х, () Нх, 1« (8.12) В~(т) = 2; сза (т), «=О (8,13) где 00 М а«(Т) ) ) н«(Х1 К2 т) Я» (Хт) ()» (Х2) ах1 Нхт 00 с„= ) 1(х) 11„(х) в, (х) Зх.
(8,14) (8.15) 2.1.3. Спектральная плотность мощности процесса после нелинейного преобразования. Из (8.13), используя теорему Хинчина— 216 Формула (8.11) описывает корреляционную функцию случайного процесса на выходе нелинейной системы в виде ряда функций а (ть (з), которые определяются только корреляционными характеристиками процесса на входе, но не зависят от вида нелинейности. Рассмотренный метод вычисления корреляционной функции на выходе нелинейной системы назовем лрямыл. Если случайный процесс на входе нелинейной системы стационарный, то в1(х, 1) не зависит от времени (, а вз(хь хм (ь 12) обусловлено только т=(т — (ь и тогда (8.11) может быть записано в виде Винера, находим спектральную плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы (8.16) Яс(в) = 2, сод„(в), л=е где (8.17) п„(в) = 2 (а„(т) ехр ( — ! вт) г(т.
лг Из (8.16) и (8.17) непосредственно следует, что широкополосный стационарный случайный процесс после нелинейного неинерционного преобразования также стационарный и широкополосный. Рассмотрим теперь нелинейное неинерционное преобразование узкополосного случайного процесса. В этом случае в соответствии с (4.111) корреляционная функция процесса на входе нелинейной системы Ва (с) = В, (т) соз в, т + В, (т) з1п в, т = В (т) соз (в, т — Фо (т)], (8.18) где Во(т) и фо(т) — функции, медленно меняющиеся по сравнению с соз вот.
Предположим, что в (8.17) а„(т) = Ф„(Во (т))1 = гр, (Во (т) соз (в, т — тро (т)]). (8.19) Разлагая (8.19) по косинусам кратных дуг, получаем а„(т)= Ао(т)+ ХА„(с)соз(гво'г — тР,(т)1. (8.20) г=! Подставляя (8,20) в (8.17) и собирая все члены при одинаковых гармониках частоты во, можно корреляционную функцию узкополосного процесса после нелинейного преобразования представить в виде (8.2 1) Вс(т) = В,(т) + 2; В„(т) сов(гв,гт — тр„(т)], г=! а соответствующую спектральную плотность мощности — в виде Вс(в) =Во(в)+Вх(в)+ 2;В„(в).
(8.22) г=о Характерной особенностью выражения (8.21) является то, что функции В„(т) и тр,(т) — медленно меняющиеся по сравнению с соз вот. Это соответствует тому, что спектр узкополосного стационарного случайного процесса после нелинейного неинерционного преобразования представляет 'последовательность разделенных друг от друга спектральных полос (рис. 8.1), которые расположены в области низких частот' 1'спектр Во(в)], около несущей чаа- ' В ату область входит и дельта-функция при в-о, соответствующая постоянной составляющей. Штриховой линию на рис. 8.1 изображен спектр случайного процесса на входе нелинейной пистоны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
