Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Рассмотрим пример, который указывает на возможность вычисления правой части уравнения (9.73) без применения дельта-функций. Найдем корреляционную функцию процесса на выходе сглаженного ограничителя с характеристикой, описываемой функцией Г 2 «((!а! г ио ((х) = )/ — ) ехр( — — ") Йи, (9.82) о когда на входе этого ограничителя действует центрированный стационарный гауссовский процесс с дисперсией а' и нормированной корреляционной функцией Я(ч). В этом случае ~' (х) =- ехр ( — ' ). Тогда из (9.73) находим лв (В) "г 7 'л!+«о ) ехр лй (2а ! а)о )/1 — )!о ' ! 2)о ао «~ — 2В«о «о + «2 ' ) дх,о(х .
2ао (1 — В') В результате вычисления интеграла находим аВ 2 лВ а ')У(! + 0 — Во 248 В силу симметрии 1(х) имеем В ()2) (в= =О. Тогда В (т) = — агсз(п —, 2 . Р (1) 1з (9.83) При ! — 20 формула (9.83) переходит в выражение нормированной корреляционной функции процесса на выходе идеального симметричного ограничителя (см. (9.77б) при ао — — 1). 9.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА ПОСЛЕ ЕГО НЕЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ~2(уззуз т 1)= 1 ехр у, + уз + 22! + 222 — 2Е21 1з Х (сй( Р уу'У' )сь( ) У'('1 Х (С ! оз(1 — оз) )С ! а,(! аз) )С 1- оз(! аз) 1+ + й[ Ру'У вЂ” '1 й) ~'У (" оз (1 — Рз) 1 1- о' (1 — )22) Х з)2 ~~ У,'(', ') ~), у,)0, у,)0.
(9.84) Если детерминированная часть отсутствует (з,=з,=О), то из (9.84) получаем двумерную плотность вероятности квадрата стационарного гауссовского процесса 249 9.4.1. Распределение квадрата гауссовского процесса. Используем общую формулу (8.34) для определения двумерной плотности квадрата суммы детерминированного процесса з(1) и центрированного стационарного гауссовского случайного процесса с дисперсией о' и нормированной корреляционной функцией )с(т). Получим ! Жз(У1 У2 т 1) Х 4лоз ~'у у (1 )22) х ехр 2 Уз+ Уз + 21 + 22 — 2Р2122 ~х 2аз (1 — 2!2) Х ((ЕХр ~ )2"'"' " С)1 ~(' йз ) Ч'У + (' — Езз) '22уз ~ а' (1 — 2!2) -1 1- аз (1 — )22) + ЕХр ~ ~з )' У1У' 1 С)1( Оз )ззз))2уз (22 )221) )/Уз ~~ ехр — ..., ~~с где 4(=)((т), з1 — — з(!), 22 — з(!+т), Раскрывая гиперболические косинусы суммы и разности и группируя члены с косинусами и синусами, находим искомое выражение двумерной плотности вероятности квадрата гауссовского случайного процесса (9.86а) 250 ! %'о (у„у„т) =, Х 2лао ~/уг ао (! — ло) хехр[ — ',, с(! [ о(! д, ~, у,)0, уо)0.
(9.85) уо+ уэ ! ! л Му~уо Одномерную плотность вероятности нетрудно определить из (9.84), если устремить т — ~аа ()г-оО); тогда (ср. (3.12)) ЯУ,(у, 1)= ехр[ — — !сЬ| — о), у- О. (9,86) а ~/2ла ~ 2ао ! ,При а=О из (986) получаем плотность вероятности квадрата случайной величины, распределенной по нормальному закону с нулевым средним [ср. (3.12а)1 йг",(у)= ехр( — ~ ), У)0. Если з»а, в (9.86) гиперболический косинус можно заменить его асимптотическим приближением сЬ~ а' ) 2 ехР( а, ) Тогда формулу (9.86) можно переписать иначе: (Р',(у, 1) ехр ~ — " ' ), у)0, (9,866) 2а )/2лу 2ао 9.4.2. Линейный детектор.
Используем об!цую формулу (8.36) для определения двумерной плотности вероятности процесса на выходе линейного детектора, когда на его вход действует центрированный стационарный гауссовский процесс с дисперсией ао и нормированной корреляционной функцией )т(т).
Получим о(У! Уо ) 2лао.~/(! — ао) ХР ) 2 о(! ао) (Уо+ о) 2ь!(уо+ хо)(уг+ хо) + (уо+ хо) 1~+ ~Ь~) ( !!'(хо+ко) 1р( ло(! — А) — 1~Уо 1+ 2ла 1- 2ао (! — !1о) .1 1- а )/! — !!о аа(оо) Е л (хо+ у1) Р «о( — л) лу~ 2ла Р ~2ао(! !!о) ~ ~ а~/! — !!о +б(уг)б(у) ГК ( ' — ')+2Р( — "):1], у,)0, у,)0, (9.87) где г"(х) — функция Лапласа и К(л, й) — табулированный интеграл от двумерной нормальной плотности (см. (2.73б)). В соответствии с (8.36а) одномерная плотность вероятности процесса на выходе линейного детектора Ф', (у) = ехр ~ — ~ ' ~ + 8(у) Р(хо/а), у >» О. (9.88) 9.5. КВАНТОВАНИЕ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА 9.5.1.
Корреляционная фукиция шумов квантования. Используем общую формулу (8.42) для определения корреляционной функции шумов квантования, если квантуемый сигнал $(1) представляет центрированный стационарный гауссовский процесс с дисперсией а' и нормированной корреляционной функцией )11(т). Получим бг ао ( !)л+г+! ! 2лг ог Вс (т)= — г ' 2, ' ехр ~ — (кг+2пйгт1(т)+ аг)~. 4лг лл 1 б л= — го г= — ао Обозначив (1=(б/о)г, запишем корреляционную функцию шумов квантования гауссовского случайного процесса в виде бог р г 1 / 4лглг т 4лглггт1(т) Вс(т)= ~ ~', —,ехр(1 — — 1!й + В + Х Х ехр [— ' ( !)л+г г .
2лг(лг 1 гг) -! 4лглЬР1(т) ) зЬ ~ (9.89) =! г=! лГг лмг Предположим, что разность б между дискретными уровнями много меньше среднеквадратического значения о сигнала. Это предположение практически всегда осуществляется. Тогда 9«1. Учитывая это неравенство, можно в (9.89) пренебречь двойными суммами по сравнению с первой суммой и, заменив гиперболический синус его асимптотическнм разложением (э)!.т-е"/2, х»1), получить следующее приближенное выражение для корреляционной функции шумов квантования, достаточное для большинства практически интересных задач: 9,~ - ! ( 4вглг[1 — Д1(т)1 Вс(т) ж — '~ — ехр,— (9.90) 2лг л=! лг Полная мощность шумов квантования (дисперсия ошибки квантования) (9.91) 2лг „ л' 2лг 6 12 Нетрудно заметить, что в рассматриваемом случае дисперсия ошибки совпадает с дисперсией случайной величины, распределенной равномерно на интервале от нуля до б, Это объясняется тем, что при малой разности между дискретными уровнями погрешность квантования достаточно точно аппроксимируется отрезками прямых линий за исключением тех случаев, когда сигнал между дискретными уровнями проходит через экстремум.
9.5.2. Спектральная плотность мощности шумов квантования. Предположим, что спектр исходного гауссовского процесса ~(!) г!и тЬ равномерный в полосе 2Л, Так как при этом Я1(т)= —, из тА 25! (9.90), используя теорему Хинчина — Винера, находим, Яс (а!) = — ~, '— ) ехр [ — —" ( 1 — — ) ] соз а!т дт. (9.92) 5!и та Разлагая функцию — в ряд и ограничиваясь первыми двута мя членами (что допустимо, так как подынтегральная функция в (9.92) быстро убывает при возрастании тЛ), получаем 25а! ! I 2л! л! т! Ь! ! Вс (а) = — Х вЂ” ) ехр ( — ) соз о!т Йт, л! „ , и! а 35 Интегралы такого же типа, что под знаком суммы, уже встре- чались [см.
(?.?2)1. Подставляя их в (9.92), находим спектраль- ную плотность мощности шумов, квантования ЯС(а!) = — ) — 2; — ехр(— ра! т Г 35 ! / 31!и' ) (9.93) лва 2л, и' (, зл'л'У Интервал корреляции шумов квантования можно найти из со- отношения 1ср, (4.88)) 8с(о) з ! 35 !и ОЭ и так как У.1?п'=1,202, то л=! - ~Т О=а !2 (9.94) т. е. интервал корреляции шумов квантования приблизительно в 12/3/Д раз меньше, чем у квантуемого процесса. При 5«1 корреляция между ошибками квантования в после- довательных отборах значений сигнала практически отсутствует.
Соответственно спектр шумов квантования при уменьшении раз- ности между дискретными уровнями становится равномерным в более широком диапазоне частот с одновременным уменьшением максимума спектральной плотности, 9.5.3. Взаимная корреляционная функция шумов квантования и квантуемого процесса. Если квантуемый процесс — центриро- ванный стационарный гауссовский процесс с дисперсией а' и нор- мированной корреляционной функцией )?; (т), то д В ( 2лл )~ и из (8.45) находим В!с(т)=2а'Ра(т) ~( — 1)' 'ехр( — " '), е=! 252 (9.951 т. е, взаимная корреляционная функция пропорциональна корреляционной функции квантуемого процесса [ср (9.76)~.
Заметим, что при р«1, как это следует из (9.95), абсолютное значение взаимной корреляционной функции Вйг (т) порядка 10-з значений корреляционной функции квантуемого процесса. 9.6. ЗАДАЧИ 9,1. Используя результаты п. 9,1.7, вычислить усредненную корреляционную функцию и спектр случайного процесса на выходе двухполупериодного квадратичного детектора, если на входе его действует сумма амплитудно-модулированного сигнала 5 (Г) = из (1+в сов йт) соз взГ (1) 1 ( глз ~ з иош 4 Вз (т) = — 2о'+из 1+ — + созйт+ ио гл 4 ио ( шз '[ 4 + соз 2йт + — ( 1 + — соз 2вз т + 32 8 т 2 / 4 о ц4 глз о + 4 соз йт соз 2вот+ соз 2 йт соз 2вз т+ 64 шз + цзазА4(т) (1+ сох йт) +о4 Яц(т) + Г глз + ихо оз Йз (т) ~ 1 + — соз йт ) соз 2вз т + от Ро (т) соз 2во г, Мп (тЛ/2) де Рз(т)= тЛ/2 Дискретная часть спектра 1 — Я (в) = — ( 2аз+ цз \ 1 + — ) ( 6 (оз)+ 2п —, о[, 2 )~ из глз о и тз + — б (в — й)+ 6(в — 2й) + о 2 32 ио ( шз 4 + — (1+ — ) 6(в — 2в)+ 8 т 2 4 + — [6 (в — 2вз — й) + б (в — 2во + й) [ + о 8 ц4 гл4 + [б (в — 2вз — 2й) + 6 (в — 2во+ 2й)[.
128 (2) (3) 253 я узкополосного гауссовского шума, спектр которого равномерный в полосе вз — Л/2, ва+Л/2, причем Л)2й. Показать, что в рассматриваемом случае усредненная корреляционная функция процесса ва выходе детектора Непрерывная низкочастотная часть спектра 5„(ы) =5г(ы)+5з(ы)+5з(ы), (4) где 4лаз и~~/Л, О(ы(»Л/2.
5х(ы) = О, ы) Ь/2 5а (ы) = (т'/4) (53 (ы + ()) + 5! (ы — ())1, /4лай (4 — ы)/Лз, О » (оэ (» Ь, (6) (6) (7) Доказать, что непрерывная высокочастотная часть 5вз(ы) спектра получа. ется переносом 5зв(ы) в высокочастотную область на 2гоз и умножением на 1/2. Показать, что в полосе видеочастот отношение Ь,, мощности сигнала к мощности шумов на выходе квадратичного детектора при ш К1 Ьвых=б,б«звх/(1+2«вх), з(/) =а~сов(2л//Т,)+ассов(2лг/Тз) (8) н гауссовского стационарного шума с корреляционной функцией азЛ(т) равна В*(т) = ~, 'Х 2,' ег„вв /т~(т) «т„асов ~ ) соз ( — ). (9) где 1~+"+а / а из т «тля = !гя (! и) и Ут (ат и) з"в (аа и) ехр ( — — ) би, (10) 8(1и) — преобразование Фурье характеристики /(х) системы. 9.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
