Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(4) (12) аз ! а! ао /7о (О) 0 а, ао /то (0) а,, /7,(0) а — аха,)7о(0 0 0 — а,а,/1о(0) а, 2 а,ао Яс(0 а, ао /7о (0) 0 а! ао /7о (0) атя 10.4. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем го огибающей зргодического узкополосного центрированного гауссовского процесса го Л, (г,)= '," ЕХР [ — [ а )/2п 2а' (!4) пгДо)=а'Р'2п/(в.го), го>0, (15) где а' — дисперсия гауссовского процесса ы в.
определяется согласно (10.1256). 10.5. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем Оо фазы эргодического узкополосного центрированного гауссовского процесса Л! =в./(4п), (16) (т. е. не зависит от уровня Оо) т!(1.) 2(п — Оо)/го, ! Ос[~я, где в, определяется согласно (10.1256). 10.6. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем то мгновенной частоты производной от фазы зргодического узкополосного центрированного гауссовского процесса Л!(то) = (в'..+4тзово,)огз/[2пв.,(1+что/вз.Ц (18) (17) (19) (20) (10.1256), а /то(т) — согласно 10о 291 10.3.
На вход устройства, схема которого изображена на ются процессы 5,(/) и $о(/), указанные в задаче 10.2. спектры ыичены полосой 6, а полоса по идеального низкочастотного удовлетворяет неравенству 6(па~во. Замечая что процесс на е(!) = [А!(1)Ао(1)+Сг(1) Со(!))/2, получаем следующее выражение характеристической функции 0 (о) = бей[! — 2юЯ К) -'го, где 1 — единичная матрица, и матрицы Я и К имеют вид 1 1 ю! (ьв) = [1+ 2Л,(то) [ [/1+вз/тз ) где в'.. =4(о "х(0) — вом пРичем величина в.
определяется согласно (10.52). рис. 10,5, пода- процессов огра- фильтра НЧФ выходе фильтра (10) процесса е(1) г (11) Глава 11 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА В НЕЛИНЕЙНЫХ ИНЕРЦИОННЫХ СИСТЕМАХ 11Л. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ Задача определения вероятностных характеристик случайного процесса на выходе нелинейной инерционной системы в общем виде практически неразрешима. При этом возникают трудности двоякого рода.
Во-первых, достаточно сложно записать функционал, представляющий характеристику «вход-выход» системы в замкнутом виде 1см. (6.5)) илн в форме усеченного ряда Вольтерра (см. (6.9)). Во-вторых, если на вход системы действует негауссовский случайный процесс, то не удается получить точного решения задачи об определении распределения на выходе даже линейной инерционной системы (см. п. 7.3.1). Поэтому приходится рассматривать задачи о преобразованиях случайных процессов в нелинейных системах при дополнительных ограничениях. Как отмечалось в п.
6.4.1, характерным для многих этапов работы радиотехнических устройств является преобразование сигналов, представляющих, вообще говоря, случайные процессы в типовом звене, состоящем из трех последовательных элементов: входной линейной системы, нелинейного неинерционного элемента и выходной линейной системы (фильтра). Если на входе типового звена действует гауссовский случайный процесс, то определение спектральной плотности мощности процесса на его выходе не встречает принципиальных затруднений.
После входной линейной системы распределение процесса остается нормальным, а спектр деформируется в соответствии с формой частотной характеристики этой линейной системы. В результате нелинейного преобразования функции распределения процесса перестают быть нормальными, но спектр преобразованного процесса все же можно определить, пользуясь одним из методов, подробно изложенных в гл. 8. После этого достаточно учесть селективное действие выходной линейной системы (см.
п. 7.2.1). Однако во многих случаях знание спектральной плотности мощности процесса на выходе типового звена оказывается недостаточным, необходимы более детальные характеристики случайных процессов, какими являются функции распределения. Определение распределения процесса на выходе типового звена даже при гауссовском входном процессе связано с указанными трудностями: определением плотности вероятности на выходе линейного фильтра при негауссовском входном процессе. В тех случаях, когда процесс на входе типового звена негауссовский, эти затруднения появляются уже на первом этапе исследования.
Они могут помешать решению задачи не только определения распределения, но даже и нахождения корреляционной функции и спектральной плотности 292 мощности процесса после нелинейного элемента, так как для этого должна быть задана двумерная плотность вероятности случайного процесса на выходе предшествующей линейной системы.
Известно лишь небольшое число точных решений задачи об определении распределения процесса на выходе типового звена, полученных при специальных предположениях о характеристиках элементов типового звена и о виде случайного процесса на входе. Рассмотрим методы решения следующих трех типов таких задач: 1. Случайный процесс на входе представляет собой сумму детерминированного сигнала и стационарного гауссовского процесса с равномерным спектром («белый шум»), а характеристика нелинейного элемента квадратичная.
В этом случае рассматриваемая задача допускает следующую радиотехническую интерпретацию. На входе усилителя промежуточной частоты (УПЧ) действуют детерминированный сигнал и аддитивный флуктуационный шум. Сигнал с шумом подвергается квадратичному детектированию и последующей фильтрации. Для большей определенности в изложении сохраняется терминология, связанная с этой специальной задачей. Рассматриваются два УПЧ: широкополосный и узкополосный (ширина полосы частотной характеристики много меньше центральной частоты). В первом случае процесс после нелинейного преобразования принимается равным квадрату случайного процесса на выходе УПЧ, а во втором — квадрату огибающей случайного процесса на выходе УПЧ (отбрасывается высокочастотная составляющая процесса).
2. На вход фильтра действует произведение двух коррелнрованных стационарных гауссовских процессов. Необходимо определить функцию распределения процесса на выходе фильтра. К решению этой задачи сводится исследование распределения процесса иа выходе коррелятора при конечном времени интегрирования, т. е. величины т(2 Г,т (1) = — ) $, (т) $, (1 — т) д т, 11 1 .1) т тж если 5(1) и 3~(1) — стационарные гауссовские процессы. 3. Средняя мощность эргодического гауссовского процесса $(1) за конечное время усреднения Т т~з — з(1) й.
(11.2) т -т~з Необходимо определить функцию распределения случайной величины т1т. 11ЛЬ УСИЛИТЕЛЬ вЂ” КВАДРАТИЧНЫЙ ДЕТЕКТОР— ФИЛЬТР ! 1.2.1. Прямое описание случайного процесса на выходе фильтра. Пусть линейные системы рассматриваемого типового звена характеризуются импульсными функциями: УПЧ-функцией 293 Ь|(т) ~и фильтр-функцией Ьк(г). Обозначим через а(1) детерминированный сигнал и $(1) — аддитивный гауссовский белый шум, действующие на входе УПЧ. Используя (6.58), процесс на выходе фильтра можно представить в виде суммы (сходящейся в среднеквадратическом) Т(2 Т(Ъ ь (1) = ) ) К (и, о) [з (1 — и) + $ (1 — и)1 [з (1 — о) + — т(2 -т1ъ +~ (1 )1 ( ~ ~~~ [а3 1)+гп(6Р (11.3у Л$ где Ю а,(1)= [ з(г — х)~р,(х)(х, О ти (1) = ) $ (1 — х) ~р, (х) Йх , ОФ (11.4) (11.5г ф;(х) и Л; — собственные функции и собственные числа однородного интегрального уравнения [см.
(6.57), (6.55)] ~р(х) =Л ~ К(х, у)<р(у)Йу, (11.6~ К(и, о) = ~ Ь1(и — т)Ь~(т)Ь~(о — т)с(т. (11.7) у (х) = Л [ Ь, (т) Ь, (х — т) ( Ь, (у' — т) у (у) Ыуот. Умножая обе части последнего равенства на Ь1(х — г) и интегрируя по х, получаем )' (г) = Л ) Ь, (т) 7 (т) ) Ь, (х — т) Ь (х — а) с[хсй, где [(г) = ) ~р(х)Ь1(х — г)йх. Согласно О функция процесса на выходе УПЧ В(т) =Хо 1гЬ1(и)Ь1(и — т)г(и, (7.55) корреляционная где Уа — спектральная плотность белого шума на входе. 294 Заметим, что интегральное уравнение (11.6) может быть приведено к другому уравнению, ядро которого есть произведение корреляционной функции шума на выходе УПЧ и импульсной функции фильтра. Для этого подставим (11.7) в (11.6) и изменим порядок интегрирования Следовательно, ) (г) удовлетворяет интегральному уравнению С (г) = — ) В (т — г) Ь, (т) ( (т) с(т.
(1 1.8) Ус 11.2.2. Анализ слагаемых процесса на выходе фильтра. Из (11.3) следует, что задача анализа вероятностных характеристик случайного процесса ~(1) на выходе рассматриваемого типового звена сводится к определению плотности вероятности суммы квадратов случайных процессов зс(С)+пс(С), где эс(1) детерминированы, а случайные процессы т1с(С), как интегралы от гауссовского белого шума, представляют гауссовские процессы. Покажем, что случайные величины т1с(С) и 11,(1) при ЙФ/ некоррелированы, а следовательно, в силу нормального распределения— независимы. Рассмотрим среднее значение произведения ° О И, (1)Ь (С) ~)С (с)) = т, ) $ (1 — Х) %, (Х) С(Х Х О Х ( $(1 — У) ~РС( У) с(У~ = ( ( сРь(х) сРС(У) Х вЂ” О с — ю — оо х т, ($ (1 — х) $ (1 — у)) с(хс(у.
Имея в виду, что корреляционная функция белого шума со спектральной плотностью Асс равна Ассб(т) и учитывая фильтрукяцее свойство дельта-функции (см. Приложение 1), находим О (т)ь (с) т)с (с)) — Асс ) ) срь (.т) срс (у) х Ю х б (х — у) с(хссу = У ) срь (х) срс (х) сЬ. Но собственные функции срс(х) линейного однородного интегрального уравнения (11.6) ортонормированы, поэтому пс1(т1ь(с)тн(с)) =лсобсь (1 1.9) т. е. гауссовские случайные величины п~ и т1; при ЙФ1 независимы, причем любая нэ этих величин центрирована и дисперсия при любом й ссср(1)) =лтс(Ч ь(1)) =Лсо. (11.9а) Из (11.9) следует, что случайные величины (зь+тр,)'/)ц, и (з;+ +с)с)'/Хс,при йФ1' также независимы. Процесс ~(1) на выходе фильтра непрерывный в среднеквадратическом и |поэтому ссэ(~(1))(со, т. е.
дисперсия бесконечной суммы в (11.3) ограничена. Отсюда следует, что отношение дисперсии любого слагаемого суммы (11.3) к дисперсии всей суммы отлично от нуля, т. е. условие (3.109), при котором может применяться центральная предельная теорема для суммы независи- 295 мых случайных величин, в рассматриваемом случае не выполняется. Следовательно, распределение суммы (11.3) отличается от нормального, т. е. процесс на выходе фильтра негауссовский. 11.2.3. Распределение процесса на выходе фильтра. Определим сначала характеристическую функцию суммы (11.3) при конечном числе слагаемых Ос„(и, !) = ) ) П ) (2пЛ! )-!!Р х -р~! р1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
