Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 32
Текст из файла (страница 32)
175 й (!) = — ) й (! ш) ехр (!со !) й от. (6. 306) 2п Обозначая через Х(кв) и У((ю) спектры (преобразования Фурье) входного х(!) и выходного у(!) сигналов, получаем нз (6.28) вследствие известного свойства преобразований Фурье й(!ш) = У(1ю)/Х((ю). (6.31) Модуль и аргумент передаточной ~функции й(1ш) называют амплитудно-частотной (или кратко частотной) С(ш) и фаза-частотной (илн кратко фазоаой) ~р(ю) характеристиками линейной системы Й ((ш) = С (ш) ехр (нр (ез) ), Учитывая, что С(ю) — четная, а оэ(ю) — нечетная функции, легко выразить импульсную характериспику через частотную и фазовую характеристики: !т(!) = — ГС(ю) соз [ю!+ ~р(ю)) йю. (6.33) "о Шириной полосы пропускания частотной характеристики называют ширину основания прямоугольника, высота которого равна максимальной оРдинате Сз(юо), а площадь — площади под кРивой квадрата частотной характеристики ' Лс = ) С' (ш) «ш!С (юо).
(6.34) о 6.3.3. Узкополосные линейные системы. Если частотная характеристика имеет резко выраженную область резонанса в окрестности частоты юо и если шо»Л,, то линейная система с такой характеристикой называется узкополосной. Заменой перемен~ной интегрирования ьз=ш — юо приводим формулу (6.33) к виду Для узкополосной системы нижние пределы интегрирования и интегралах, заключеиных,в фигурные скобки, с малой погреш.ностью можно распространить до — оо. Тогда, обозначая С(а+во) = Со(а), <р(а+во) =<ро(а), Ь,(1)= — ' ]С,(а)61П[а(+ р,(а)]да, Ь, (7) = — ] С (а) соз [а 1 + ~р (а)] а' а, получаем Ь(г) =Ьо(1) соз вог Ьз(1) зйп вог= = Ьо (1) соз [во(+ оро (1) ], (6.35) (6.37) где Ьо(1) = [Ь' (1+Ь' (1)]по (6.35а)' фо(1) =агс[а[Ь.Я/Ь,Я].
(6.35б) Если частотная характеристика симметрична, а фазовая антисимметрична относительно резонансной частоты во, то Ь,(1) = О, фо(1) =†Πи импульсная характеристика узкополосной линейной системы Ь(1) =Ь,(1)сов вог, (6.36) т. е. представляет медленно меняющуюся функцию Ь,(1) с высокочастотным гармоническим заполнением.
Ширина полосы нропускания узкополосной линейной системы в соответствии с определением (6.34) ь,= [с,(а) [а1С,(О). (6,36а) о 6.3.4. Характеристика «вход — выход» в форме дифференциального уравнения. Полезной формой представления характеристики «вход —.выход» некоторых инвариантных, физически реализуемых линейных систем с непрерывным временем являются обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами нор(1) "Ь И'»«) ~ аь =~5, »=о оУ" =о Ю' причем а„=1, аоФО.
Совершая преобразование Фурье над обеими частями уравнения (6.37), получаем при ~нулевом начальном состоянии системы У(1в) ~ (1в)»а„= Х(1в) ~, '(1в)'Ь„. (6.38) о=о »=о Из (6.31) и (6.38) следует, что передаточная функция физически 176 реализуемой линейной системы с постоянными параметрами пред- ставляет дробно-рациональную фу~индию переменной ио: (6.40) (6.416) (6.426) Тогда из (6.42а) и (6.42б) получим (а„=1) аг» !1) — аа го+~ (!) + х (!), а=о (6.44) « — з,~л о (1) 9(1)= Хь„г,+,+Ь„ .-о о1" и — 1 = 2, '(܄— Ь„а,)г,+~+Ь„х(!).
(6.45) =о Линейные дифференциальные уравнения (6.43), (6.44) первого порядка относительно переменных состояния вместе с уравнением (6.45) определяют характеристику «вход — состояние— выход» физически реализуемой, инвариантной линейной системы 177 П3 и й (1 в) = Х (1в)" Ь, ~ (! в)а аа. (6.39) =о а о Соответственно частотная и фазовая характеристики такой линейной системы будут дробно рациональными функциями частоты в (см.
(6.32)~. 6.3.5. Характеристика «вход — состояние — выход». Введем вспомогательный спектр л У (1 в) = Х (1 в) ! ~ (1 в) а аа. а=о Тогда согласно (6.38) запишем два уравнения: » 2'„(! в)а У (1 в) аа — — Х (1 в), (6.41а) а о » 2; (1в)'У(1в) Ь„= У(1в), о которым соответствуют д~ва дифференциальных уравнения ~ аа !1 =х(1), (6.42а) «о о1 ХЬ, ~ 1~) =р(1) — о ~Й' (без ограничения общности выводов полагаем в (6.38) пао и).
Определим переменные состояния следующим образом: (6.43) с непрерывным временем. Она может быть ~представлена,в следующей матричной форме '[ср. с (6.21)1: Ф = Ах (1) + В х (1) . у(1) =С'х(г)+ РхЯ, (6.46) (6.47) где О 1 О ... О О О О 11 1 ... О О О О О О ... 1 Π— ап — а,...— апв — а 1 — аэ (6.48а) С'=(Ьо — ппЬп, Ь,— й1Ьп, „,, Ьп-ь — ап ~Ьп), Р=Ьп, (6.486) За~метим, что в том 'случае, когда правая часть (6.37) не содержит производных от входного сигнала (Ь,=О, г)1, Ь,=1), то переменные состояния совпадают с выходным сигналом у(1) и его производными ~см. (6.42б), (6.43)]. Уравнение (6.46) представляет так называемое, каноническое уравнение состояния линейной системы с непрерывным временем.
Общее решение этого уравнения х(1) =Ф(1 — 10) х(70)+ ~Ф(1 — т) Вх(т) (т (6.49) где Ф(1) =ехр(А1). Отметим также, что приведенные здесь результаты легко обобщаются на линейные системы с переменными во времени параметрами, когда коэффициенты уравнения (6.37) зависят от времени. Коэффициенты уравнений (6.46) и (6.47) становятся функциями времени, но вычисляются ~по формулам (6.48а и б) с заменой ап и Ь„на ад(1), Ь,(1). ань ТИПОВОЕ ЗВЕНО РЛДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ 6.4.1.
Определение типового звена. Преобразование сигналов во многих аналоговых радиотехнических устройствах состоит из трех последовательных этапов: л~инейного инерционного преобразования входного сигнала, нелинейного неннерционного и последующего линейного ~инерционного преобразований. Назовем систему, выполняющую указанные преобразования, типовым звеном радиотехнических устройспв. Эта система состоит из последовательно соединенных входной линейной динамической системы, нелинейной статической системы и выходной линейной динамической системы (рис. 6.1).
6.4.2. Характеристика «вход — выходю. Обозначим через й~(и) импульсную характеристику вход~ной линейной системы 1(г) характеристику нелинейной системы и Ьт(и) — импульсную ха- 178 йинеинан У! ) система Линейнан система Нееинейнан система Рис. б.!. Типовое звено радиотехнических устройств рактер|истику выходной линейной системы. Тогда связь сигнала у(1) ~на выходе типового звена с сигналом х(1)на входе определя- ется следующим соотношением: у(1) = )1 ~ ))т (и — о)х(о)с(о ат(1 — и)с(и. (6.50) Если аппроксимировать характеристику нелинейной системы полиномом п-й степени, то (6.50) можно преобразовать к виду у(1) = 2; а„),,)ат(и — о!)...)тт(и — о„)х А=! — е х у!в (1 — и) х (о,)... х (од) с!о!...!1о„ !1и, (6.51) где ад — коэффициенты аппроксимирующего .полинома н ) (0) =О.
Заменив переменные, нетрудно записать эту формулу иначе". Гп ! ое у(1)= 2„аи ) )Кв(и„..., ив)х(1 — и!)...х(г — ид)!(и!...с(и„, (6.52) а=! — е где К (и„..., и ) = )7!т(и! — г)...)тт(и — г) й,(г)!тг, от =1, и. (6.53) ОР Ю у(1) = ) )К(и,*о)х(1 — и)х(1 — о)Лис(о, (6.54) !79 Формула (6.52) является частным случаем ряда Вольтерра (6.9), в котором весовые функции полностью определяются импульсными характеристиками Й!(и), )тз(и) элементов типового звена и коэффициентами аи, 1=1, и, полинома, аппроксимирующего нелинейную характеристику 1(г). 6.4.3. Усилитель — квадратичный детектор — фильтр. В качестве примера типового звена радиотехнических устройств рассмотрим укрупненную структурную схему приемника (см. рис. 6.1), в которой усилитель промежуточной частоты (УПЧ) представляет входную линейную систему, квадратичный детектор— нелинейную статическую систему и фильтр — выходную линейную систему.
Записывая характеристику квадратичного детектора в нормированной форме у=х' получаем из (6.52) следуюзцее соотношение вход — выход для рассматриваемого типового звена: где К (и,в) = )" йт (и — х) Ь~ (о — в) йз (г) с(г. Ю Выражение (6.54) можно преобразовать к сумме однократных интегралов. Для этого заметим, что ядро К(и, о) двукратного интеграла — непрерывно и симметрично, т. е. К(и, о) =К(о, и).
Известно, что такое ядро (функцию двух переменных) можно разложить в ряд по ортогональным функциям (одной переменной) 7((по) ) чч()т (1 (6.56) х$ где «р;(х), )ч — собственные функции и собственные числа одиородного интегрального уравнения ~р (х) = ), (К (х, у)<р (у) йу, Ф (6.57) причем Х;)О. Заметим, что разложение (6.56) аналогично разложению (4.57) корреляционной функции В(и, в) случайного процесса, которая также непрерывна и симметрична. После подстановки (6.56),в (6.54) переменные интегрирования и и о разделяются, и сигнал на выходе представляется в виде суммы ю 1з у(() = Х вЂ” ~ ) вь (и) х(1= и) Йи) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
