Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 30
Текст из файла (страница 30)
5.9) В(т) =Вд(г)+Вд(г), (! 9) где оз В (т) = — (тз — !т)), !т! <те, Т (20) пз Т вЂ” (тз — 1'с — гТ!), )т — гТ) ~ те, Вн(т) = О, (21) (т — гТ! ) те г = О, +1..+2„. 5.9. Рассмотреть последовательность прямоугольных импульсов с одииако. выпи амплитуда~ми а, длительностью сд, но оо случайным моментом появления внуери заданного тактового интервала длительностью Т (рис.
5.!О). Моменты появления различных импульсов независимы, распределены одинаково, причем известна характеристическая фуниьия 9 (ы) случайного смещения ч середины импульса относительно начала тактового интервала. Вывестн следующее р угг Фгг бгг агиг Рис. 5.7. Импульсный случаЛ- ный процесс (случайные амплитуды импульсов) Рис. 5.8. Спектральная плотность мощности процесса, представленного на рис.5.7 165 Рис.
5.9. Корреляционная функция процесса, Рис. 5.!О. Импульсный случай- представленного на рис. 5.7 ный процесс (случайное время появления импульса) выражение для спектра рассматриваемого импульсного случайного процесса е детерминированным танталовым интервалом ато(2 2тс ( 2п(1 + )О„(в)1з 2, 6 ~а — — ) (22 5.10. Рассмотреть последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды а и случайной длительности, которые появляются в начале каждого тактового интервала Т (рис.
5.11). Длительности импульсов независимы, распределены одинаково, причем известна характеристическая функция О (в) случайкой длительности импульса. Доказать, что непрерывная и дискретная части спектра рассматриваемого имюульсного случайного процесса с детерминированными тактовыми интервалаып 2аз 5 (в) = —,(1 — (О,(аИз) (25) ,1п рз 8л( ) =, (1+ ~О (а)( — О (в) ехр()ато)— 2пг 1 — О ( — а) ехр( — 1озто)) Х 6'( го — — ). т т ) (24) 5.11.
Рассмотреть клиппнрованный сигнал, представляющий апериоднческую последовательность прямоугольных импульсов постоявной амплитуды а и случайной длительности, которые возникают в случайные моменты времени (рис. 5.12). Такой сигнал появляется на выходе идеального ограничителя, когда на его входе действует случайный процесс. Пусть случайные длительности импульсов и пауз между импульсаыи независимы и подчиняются одному и тому же закону распределения, а 9 (в) — характеристическая функция, соответствующая этому закону.
Т Х Ф Рис. 5.11. Импульсный случайный процесс (случайные длительности им. пульсов) 166 Рис. 5.12. Клиппированный загнал Доказать, что спектр такого клиппированного оппнвпа имеет слеаьуюпьийамд: 2аз 1 — От (ы) аз 3(ю) =, йе ' + — 6(в), (25) где тз — среднее значение длительностей импульсов и пауз. Вычислить значение спектральной пложюсти при ю=О непрерывной части спектра (25) и убедиться, что 5 (О) =2агоз /тп (25а) где а' — дисперсия длительностей импульсов и пауз.
Рассмотреть экспоненциальное распределение длительностей импульсои и пауз, ггогда 1 / х Л ш (х)= — ехр( — — ), х~О, О (ю)=(! — юга) ', та~О и убедиться, что в этом случае непрерывная часть спектра (25) совпадает оо опектрои случайного техеграгрнопо скгнала [ом. (14) задачи 5.6 при Х=!/га и а=2Л). 5.12. Рассмотреть импульсный случайный процесс, реализациями которого являются пачки амплитудно-модулированных импульсов на детерминированных тактовых интервалах Т. Длительности импульсов тс и пауз между ними т*з постоянны, а число импульсов в пачке случайно (рис. 5.13). Доказать, что непрерывная часть спектра рассматриваемого импульсного случайного процесса 2Лто оз / з!п ытз/2 )з Т [, огго/2 (26) 4паа то 1 з!и вте/2 Т' ( ыто/2 з!и [тз+ то) ю / ! 2пйх Х Х ргз!п~ [г /!та+то) ы[ ~ Х5 [ ю — — ), а= — ао Рис.
5.18. Импульсный случайный процесс (случайные амплитуды и слччайное число импульсов на тактовом ннтервале1 167 где Л вЂ” среднее число импулноов в пачке и о' — дигпероия амплитуды импульсов. Выражение (26) отличается от непрерывной части элергетичеспого спектра процесса, в котором на каждом детерминированном интервале проявляется только од~пи амплитудно модулированный импульс, лишь множителем Л, равным среднему числу импульсов в пачке, Доказать, что дискретная часть спектра рассматриваемого пмпульоного случайного процесса где а — среднее значение амплитуд нмиульсон и р, — нвроятность того, что и из исе окзжется г импульсов, г».0.
Ззметим, что н отличие от (26) дискретный спектр ззиноит от закона рзопредсления случайного числа импульсов з пачке, но не зависит от дисперсии амплитуд (т.е. от амплитудной модуляции импульсной последовательности). Глава 6 ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ вд. КЛАССИФИКАЦИЯ Й ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ 6.1.1. Определение модели системы. Для решения многих задач, возникающих при разработке н исследовании радиотехнических систем, систем связи и управления и других информационных технических систем используют математические модели систем. Такие модели представляют формализованное количественное описание системы без детализации ее физических особенностей. В этом смысле математические модели обладают универсальностью, так как одну модель можно использовать для многих технических систем различного назначения.
Математическая модель системы определяется оператором Ь отображения множества Х значений сигналов на входе системы на множество У значений сигналов на,выходе системы (у(1)) =5(х(1)), х(1) АХ, у(1) еу, 1еиТ. (6.1) Сигналы х(1) на входе системы и у(1) на ее выходе являются функциями времени, т. е.
отображениями множества моментов времени Т на множества Х и У соответственно. В дальнейшем функции х(с) н у(1) будем называть входным и выходным сигналами илн кратко: «вход» и «выход». Отметим, что приведенное определение (6.1) математической модели системы можно отнести к любому техническому объекту. 6.1.2. Системы с дискретным и непрерывным временем.
Различают два класса систем: с дискретным временем, когда область Т определения входных и выходных сигналов представляет конечное или счетное множество времени, и с непрерьсвным временем, когда указанная область — континуум. Системы с непрерывным временем называют аналого-дискретными, если множества Х н У значений сигналов — конечные или счетные, Их называют аналоговыми, если указанные множества — контннуумы. Системы с дискретным временем называют цифровыми, если множества Х и У вЂ” конечные или счетные. Их называют дискретно-аналоговыми, если указанные множества — континуум. 168 6.1.3. Характеристики системы.
Отображение (6.1) можно записать в виде функционала у(1) =Р~(х'--), (6.2) представляющего зависимость выходного сигнала в произвольный момент г от всех предыдущих значений входного сигнала на интервале от — оо до й В такой форме характеристика (6.2) учитывает условие физической реализуемости системы, согласно которому реакция системы, обусловленная предыдущими значениями входного воздействия, не зависит от последующих (причина не может опережать следствие). Обозначение Р~ указывает на зависимость;вида функционала или его параметров от времени.
Если такая зависимость отсутствует, т. е. если выходной сигнал зависит от времени 1 только через входной сигнал, то систему называют инвариантной во времени (или системой с постоянными во времени параметрами). Соотношение (6.2) назовем характеристикой «вход — выход» системы. Предположим теперь, что значения выходного сигнала известны лишь на конечном интервале времени [г„г). В этом случае значение выходного сигнала у(1) зависит не только от заданного отрезка х',, входного сигнала, но и от состояния г(Г,) системы в начальный момент Го.
у(1) О~[в(1о) х[1 (6.3) Состояние системы также изменяется во времени согласно уравнению перехода г (1) = О~ [г (1,), х, '[. (6.4) Для инвариантной во времени системы индекс г у функционалов Р, О н Р должен быть опущен. Соотношения (6.3) и (6.4) назовем характеристикой «вход— состояние — выход» системы. Система, у которой выходной сигнал у(1) зависит от значений входного сигнала в моменты времени, предшествовавшие моменту 1 наблюдения выходного сигнала, называется физически реализуемой динамической (инерционной или системой «с памятью»).
Характеристика такой системы представляется функционалом (6.2) или двумя функционалами (6.3) и (6.4), Если значение выходного сигнала у(1) .в момент наблюдения определяется значением х(1) входного сигнала только в тот же самый момент времени г, то система называется статической (неинерционной или системой «без памяти»). В этом случае характеристика «вход — выход» системы представляется уже не функционалом, а функцией (в общем нелинейной) у(1) =Щх(1)), 1«пТ, (6.5) где Т вЂ” счетное множество или континуум. 169 (6.8) 6.1.4.
Аппроксимация характеристики «вход — выход» статической системы. Нелинейную функцию 1(х), представляющую характеристику статической системы, часто аппроксимируют элементарными функциями, например степенными. Всоответствии с теоремой Вейерштрасса [231 любая функция, непрерывная на ограниченном замкнутом интервале, может быть аппроксимирована с любой заданной точностью полиномом, степень которого определяет точность аппроксимации. Таким образом, характеристика (6.5) статической (инвариантной во времени) системы записывается в виде полинома л у(1)= ~Ьдхд(1) (6.6) д» при подолнительном начальном условии х(0) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
