Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Условие факторизации (5.60) многомерной плотности — характерная особенность марковских процессов (ср. с аналогичным более простым условием факторизации (5.4) для процессов с независимыми значениями). Одномерная плотность и плотность вероятности перехода связаны соотношением и21(х; 1) (за(х; 1~у; з)зез(у; з)ду, ('- з. (5.61) и22(хз Хз 1» (з) — и21(хз' 12) )зе(хз' (з~хз, 11) зе(хз (з(хз, 12) дхз и так как =п2(хз; (з!Хз; 11), 221(хз' Ц) то Ю п2 (хз' 12 ) х1, 11) = ~ и2 (хз, .12 ~ хз' 12) ц2 (хз' 12 ) х1, 11) дхз. (5.62) 144 Плотность вероятности перехода марковского процесса не является произвольной условной функцией распределения, удовлетворяющей только обычным условиям неотрицательности инормировки, т.
е. ю(х; 1(у; з))0, ) ю(х; (~у; з)дх=1. Она должна еще удовлетворять некоторому интегральному уравнению. Действительно, из (5.60) при п=3 имеем юз (хь хз, хз~ 21 12, 12) = и~ (хц 12) ы (х2, 12 ) хц11) ю (хз~ гз(Х2 12) 11 =12 <Лз. Интегрируя обе части этого равенства по хз, получаем (5.66) ! л р„(хм..., х„; г) =р[ П в!(() ~х, 1=! (5.68) и условное распределение л Л Р(хз1 гз1х!' 1!) — Р П с!(1з) ~ (хз; П $! (Гз) = «з; (5.69) 145 Интегральное уравнение (5.62) называют уравнением Колмогоро- ва — Чепмена, 5.4.2. Однородные марковские процессы.
Если распределение вероятностей марковского процесса инвариантно временному сдвигу, то его называют однородным (стационарным). В этом случае плотность вероятности перехода (5.59) зависит лишь от одного временного параметра !е(«1у, т), т= ( — з>0. Условие факторизации многомерной плотности однородного марковского процесса записывается в виде !(см.
(5.60)) з зв„(х",; з!) =за!(х,) Па!(х,1х! !, 1,— 1,,), (з>1, „(5.63) а уравнение Колмогорова — Чепмена !в (хз1«з1 (з (!) = 1!а! (хз1«з' 1з (з) !в (хз(хз! 1з — (!) з(хз. (5.64) Отметим, что класс однородных марковских процессов совпа- дает с рассмотренным классом однородных случайных процессов с независимыми приращениями. 5.4.3. Многосвязный марковский процесс. Назовем марковский процесс Й-связным, если плотность вероятности перехода зависит от й предыдущих значений процесса (см.
(5.58)): ю(х; г„1«!, ..., х„!; (з, ..., ( !) =аа(х„; 1„)х з, ..., х„!; ( м ... 1-!), п>й>1, 13>1!, 1>! (5.65) Условие факторизации многомерной плотности й-связного марковского процесса записывается в виде и!(х з+!, '1 з+!) = !в ( х з+!,' ( з+!) х Х Цц! (хб (з!х! .з', 1! — з), 1=! а уравнение Колмогорова — Чепмена о, а ц!(х,; (з)х зч б 1 з+!) = 1!а! (х; ( !!х — з+з) !е (х; ( (хз з+!1 1!! з+!) дх, (5.67) М 5,4.4. Векторный марковский процесс. Совокупность случай- ных процессов в!(1), !'=1, и образует векторный марковский про- з(есс, если для полного вероятностного описания этой совокупно- сти необходимо и достаточно знать совместное распределение (5.72) или соответствующая спектральная плотность мощности процесса (рис.
5.5) 51 (ы) = (5.75) 1+ (в1Л)~ Из (5.74) и, соответственно, из (5.75) следует, что однородный гауссовский марковский процесс непрерывен в среднеквадратическом, но не днфференцируем в среднеквадратическом (ср. также задачу 5.6). 146 или соответствующую плотность вероятности перехода (5.70) дхм.,.деза Заменяя в (5.60) — (5.62) скалярные величины векторными, получаем соответствующие соотношения для векторного марковского процесса.
Каждый из случайных процессов 5,(1), принадлежащий совокупности, образующей векторный марковский процесс, называют компонентой векторного марковского процесса, которая, однако, не является скалярным марковским процессом, вообще говоря. Отметим связь векторного и многосвязного марковских процессов: и-связную марковскую последовательность можно интерпретировать и как векторную (размера й) марковскую последовательность '[18]. 5.4.5. Гауссовский марковский процесс. Марковский процесс называют гауссовским, если его распределение подчиняется нормальному закону распределения вероятностей (см. п. 5.2.1).
Как для любого гауссовского процесса, корреляционная функция гауссовского марковского процесса обеспечивает его полное вероятностное описание. Можно доказать, что случайный процесс 5(4) является цеитрированным гауссовским марковским процессом тогда и только тогда, когда при в(1(т его корреляционная функция удовлетворяет уравнению ~[19] В1(в, т) = В1(з, 1) В1(1, т), (5.71) Для однородного гауссовского марковского процесса условие (5.7!) записывается при помощи нормированной корреляционной функции, зависящей, естественно, от одного аргумента Яз (1+ т) = )с1 (1) И1(т), 1) О, т) О.
За исключением тривиального решения Рз(1).=0, уравнение (5.72) имеет единственное решение Рз(т) =ехр( — Лт), т) О, Л) О. (5.73) Таким образом, стационарный центрированный гауссовский процесс с дисперсией о' — марковский тогда и только тогда, когда его корреляционная функция (рис. 5.'4) В1(т) = о*ехр( — Л(т!), Л) 0 (5.74) Рис.
5аи Нормированная корреляци- Рис. 5.5. Спектральная плотность мощонная функция однородного гауссов- ности однородного гауссовского марковского марковского процесса ского процесса 5.4.6. Гауссовская марковская последовательность. Пусть 5ь ...,5„— последовательность центрированных гауссовских случайных величин с дисперсиями гп,дял) =а'л и коэффициентами корреляции пт,(5Д1)/огп,=ггь Для того чтобы эта последовательность была марковской, необходимо и достаточно, чтобы г;л=гнгдо 7'<г<)т<п. (5.76) Для стационарной гауссовской марковской из(5.76) следует гул =Р ', 1Р) < ), последовательности (5.77) !47 где р — коэффициент корреляции между двумя соседними членами последовательности. Каждая подпоследовательность гауссовской марковской последовательности также гауссовская, марковская.
5.4.7. Дифференциальное уравнение для плотности вероятности перехода непрерывного марковского процесса. Решение интегрального уравнения (5.62) Колмогорова — Чепмена предста~вляет трудную задачу. Определение плотности вероятности перехода марковского процесса можно свести к решению дифференциального уравнения, если ограничиться непрерывными процессами. Марковский процесс называют непрерывным, если за малые промежутки времени лишь с малой вероятностью |возможны заметные перемещения. Точнее говоря, это означает, что каково бы ни было б)0 (1ш — ~ пг(г; г1х; 1 — Лу)с(г=0. 1 (5.78) дг о Ы 1т — 1ие Реализации непрерывного марковского процесса с вероятностью единица непрерывны.
Из уравнения (5.62), полагая 5,=1 — Лг, (т=(, (а=Т и изменяя обозначения переменных, получаем ш(рб Т~х; г — Л()ма )гп(у; Т(а; 1)гп(г; (1т; 1 — Лг)г(г. Кроме того, очевидно, что О в(у; Т[х; д)= )в(у; Т[х; г)в(г; 1]х; ! — Д1)![г. Ю Из последних двух равенств следует !в(у; Т[х; ! — Д() — в(д; Т]х; 1) = ) [в(у; Т[г; !) — в (д; Т]х; 1)] в(г; 1[х; 1 — Д 1) д[г.
(5.79). Предположим, что плотность вероятности перехода можно разложить в ряд Тейлора в(у; Т[г; 1) — в(у; Т[х; !)= 2„' "1 — в(у; Т[х, 1). (5.80) дх Подставив (5.80) в (5.79), поделив обе части на Д! и перейдя к пределу при,Д(-~-О, получим д 1 д — — в(у; Т[х; 1) = ~ — Аь(х; 1) — в(у; Т]х; Г), (5.81) д! ! (5.84) где где ОО Аь(х; 1)=1пп — ](г — х)'в(г; 1]х; 1 — Д1)д[г. (5.82) ы-а йд 5.4.8. Диффузионные процессы. Если функции А,(х; !) и А,(х; !) конечны (Ад(х; 4) отлично от нуля) и Ад(х; !) =0 при й)З, то непрерывный марковский процесс называется диффузионным.
Из (5.81),следует, что плотность вероятности перехода диффузионного процесса удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных — в(у; Т[х; 1)+Ад(х; [) — в(у; Т[х; 1)+ д! ' дх + — А,(х; 1) — в(у; Т]х; г) =О, (5.83) 2 дхд называемому обратньдм уравнением Колмогорова. Аналогично можно доказать, что плотность вероятности перехода диффузионного процесса удовлетворяет и прямому уравнению Колмогорова: — в(у; Т [ х; 1)+ — [А,(у; 7)в(у; Т[х; Г)]— д д дг ду 1 дд — — — [А,(у; Т) в(у; Т[х; 1)] =О, 2 дух (5.85) 148 О Ад (у[ 7) = 1!П1 )г(г у) в (г[ 7]у' 7 Д !) д[г ы-о Л! коэффициент сноса, а Ю А,(у, Т)=1[т — ](г — у)'и(г; Т[у; Т вЂ” дг)с[г (5.86) ы-о Л1 — коэффициент диффузии.
Прямое уравнение Колмогорова (5.84) известно так же, как уравнение Фоккера — Пло та, Уравнения (5.83) и (5.84) принадлежат к классу параб.лических дифференциальных в частных производных. В (5.83) переменными являются х и 1(Т, а переменные у и Т входят только в условие ю(у; Т]х; Т) =б(у — х). В (5.84) переменными являются у и Т)1, а х и 1 входят только через начальное условие ю(у; 1]х; 1) =б(у — х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
