Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Наконец, в некоторых задачах импульсной техники, появляются процессы смешанного типа, для которых как параметры, так и число импульсов на заданных тактовых интервалах, вообще говоря, случайны. Подобные импульсные случайные процессы имеют место, например, в многоканальных системах с ИКМ, в системах, использующих статистическое уплотнение каналов, и др. 5.5.3. Общая формула для спектральной плотности мощности импульсного случайного процесса.
Рассмотрим усеченную реализацию (например, й-ю) импульсного случайного процесса, состоящую из импульсов, расположенных по обе стороны от нулевого импульса, связанного с началом отсчета времени. Обозначим через с!юн(со),преобразование Фурье этой последовательности импульсов, пусть расстояние между крайнимн импульсами (2Ж+'1) Т=Тн. Вообще говоря, величина Тн для импульсного случайного процесса является случайной. Пусть азт— дисперсия интервалов между импульсами и за достаточно большой промежуток времеви Тп в какой-то реализации импульсного случайного процесса проявилось (2Л!+1) импульсов. Тогда Тн — — (2М+ 1) Т+ Маг )'2Ж+ 1 =(2М+!)Т 1+ т (/2м+ 1 / я асимптотически Тп сл(2Л!+1)Т, где Т вЂ” среднее значение интервала между импульсами. В соответствии с общим определением спектральной плотности мощности случайного процесса [см.
(4.77)) запишем выражение спектральной плотности мощности импульсного случайного процесса $(г) в виде Яь(со) = 1пп т,(~Хны! (в)~'). (5.108) н бо (2М+ !) Т Обозначим через б'!„случайные моменты возникновения и окончания импульсов, причем четному значению индекса и соответствует начало импульса, а нечетному — конец. Присвоим каждому импульсу реализации импульсного случайного процесса номер — число (положительное или отрицательное), равное половине числа в индексе (з„, соответствующего началу импульса.
Последовательность моментов времени, соответствующих началам импульсов, упорядоченная, т. е. !м„~ц)(,„. В отношении моментов времени с нечетными индексами такое требование, вообще говоря, необязательно, т. е. могут быть случаи, когда гяь!(го+~ 'при 1)г, и это будет означать, что г-й импульс перекрывается со всеми последующими импульсами, номер которых, по крайней мере, меньше, чем 1. Тогда ит Уи'(в)= ( ~н(1)ехр( — 1вйй= — ит З„в ты~к (вт„в) ехР ( — !в1оп ). (5.109а) Для определения спектральной плотности мощности импульсного случайного процесса подставим (5.109а) в общую формулу (5.108): ~1(в) = — з и!" !" а ! !" ) *~ ( — 4!! ! ) т л-~с~ 2М+! ! л и (5.110) Из (5.110) видно, что для определения 5о (в) необходимо най- ти сначала среднее по множеству величины фв (в) !' = 2, '~ $„'в $';м тв! т,'в д (вт~м) гс л= — и г=-и х а (вт) ) ехр ( — 1в [ 1ою — 1о; ) ), (5.111) где черта над д указывает на комплексно-сопряженную величину.
Выделяя в двойной сумме члены, соответствующие и=), и учитывая, что среднее суммы всегда равно сумме средних, находим 155 Обозначим через ~!ю„(1 — Рюо, бво„„,) функцию, описывающую во времени п-й импульс Ьй реализации. Эта функция должна тождественно обращаться в нуль вне интервала (бво„, б'>,„о,). Пусть форма импульсов задается детерминированной функцией времени о(1), которая тогкдественно равна нулю вне интервала 0(1<1.
Импульсы любой реализации рассматриваемого случайного процесса получаются из о(1) умножением на случайное значение амплитуды $~ю„, сдвигом по оси |времени на Во~о„н делением на значение случайной длительности т~ю =б"го ы — бо~,„. Таким образом, й (г — 12л ~2ю-о1) $л о ((1 ~2л )/тй 1. Последовательность 2%+! импульсов й-й реализации процесса можно записать в виде суммы (1) ~, ~м! 2п и т~~м Обозначим через н(в) преобразование Фурьс функции о(!): 1 а(в) = (о(1) ехр( — 1 в 1)й. (5.109) о 2 2к ! Р рн ~- — (х! )+р х ( — )!ь!.)+ь!- !!).
Т ~ к-~е ! 2М+ ! (5,117) Ю Если ~йр (в) сходится, го р=! 2 00 56(в) = — ~К(в)+ 2; (йр(в)+йр( — в)1 Т ~ или (5.118) 2 Г 00 86(а) = — ~К(в)+2 у'. Ке Ьр (в) Т р=! (5.118а) Предел в (5.117) может существовать также и в некоторых 00 случаях, когда сумма ~ Ьр (в) расходится. р=! !66 л! (~2к!'!(аН') = Х и! ИВ!"! "Т!а ( '")Г)+ л=-к л= — к Г!в — к лм! ха' (ат/ ) ехр [ — ! а [ (2~ — !2! )!.
(5. 112) Ограничимся такими импульсными случайными процессами, у которых вероятностные характеристики импульсов не зависят от того, какой из импульсов последовательности принят за нулевой. При указанном ограничении величина К(а) =л!,([~!в а')'~а ( т!в%') (5. 113) не зависит от номера импульса п, а величина ха (ат';в) ехр( — ! в [ Г!„'! — !!р!!)) (5.114) зависит только от разности п — 1' номеров двух импульсов.
Тогда [[ $~"~ ~~"~)~! (~~а~)!~) = (2йГ+ 1) К( ) (5.115) л — к а двойную сумму в (5.112) можно представить в виде и к як Ь„!(в)= ~ (2йГ+1 — р)()гр(а)+Ьр( — в)). (5.116) р — и! — и р 1 лв/ Подставляя (5.115) и (5.116) в (5.112) и учитывая (5.110), получаем общую формулу для спектральной плотности мощности импульсного случайного процесса К,(в)= )хо )у(вх)!оп)„(х)дх, о (5.119а) л из (5.114) находим й (в) = (аЧ„+а') К ( )Н„( ), (5.
120) где К„(в) = ( (худ(вх)д(ву)п)...(х, у; р)дхду, о о Ня(в) гит (ехр ( !в ( (о~ (о) )Я р и 1 (5.120а) (5.1206) Используя полученные соотношения, находим теперь нз общей формулы (5.117) спектр импульсного случайного процесса с незави симыми параметрами Й (в) = (а + о') Ко (в) + Т гл, )-)) 2 з (1 — ))уя )-~)о [к ) )и ) ))). ))42!) о)-кю р ) 2Л) + 1 Здесь функция Но(в) определяется только совместным распределением моментов появления импульсов, а функция К„(в)— только двумерным распределением длительностей импульсов.
Из формулы (5.121) видно также, что спектр импульсного случайного процесса зависит от среднего, дисперсии и коэффициента коррреляции случайных амплитуд и не зависит от вида функции распределения этих амплитуд. 137 Формула (5.117) дает наиболее общее выражение спектральной плотности мощности импульсного, случайного процесса с уче.том взаимной корреляции его случайных параметров: амплитуд, длительностей и моментов возникновения импульсов. 5.5.4. Импульсные случайные процессы с независимыми параметрами. Предположим, что случайные параметры импульсного случайного процесса независимы, но при этом будем учитывать корреляцию между однородными параметрами различных импульсов.
Введем теперь вероятностные характеристики параметров импульсного случайного процесса. Обозначим через а, а' среднее значение и дисперсию случайных амплитуд, Рр — коэффициент корреляции амплитуд и-го и 1-го импульсов (р=и — 1), п)),(х), ш„ (х, у; р) — одномерную и двумерную функции распределения длительности импульсов, то, о', — среднюю длительность и дисперсию длительности импульса и )го, — коэффициент кор-реляции длительностей и-го и 1-го импульса~в.
Из (5.113) следует К(в) = (аз+по) Ко(в), (5. 119) где Формула (5.121) несколько упрошается, если длительности импульсов неограничены. В этом случае 51 (а) = — ! д (в) !' ~ во + о'+ 2М +1нп 2 2, ( ! р )(ао)ср+по)йеН,(в)1 х р ! 2Л~+1 (5. 122) где д(а) = )о(!)ехр( — !в!)й. о (5.
122а) В дальнейшем предполагается, что разнородные параметры импульсных случайных процессов (амплитуда, длительность, момент появления) независимы. 5.5.5. Импульсные случайные процессы с детерминированным тактовым интервалом. В импульсных случайных процессах с детерминированным тактовым интервалом момент появления !поз„ любого п-го импульса реализации процесса можно представить в виде Во!о„=. и Т и в! „, (5. 123) Нр(в) = )0„(а)!'ехр( — !врТ), и Кр(в) = [ хд(ах)ге„(х)!(х~ =К,.
(а). о Обозначим (5.125а) (5.125б) ф (а) = 2 Вп! ~ ! 1 — р ) (о')с Йе (К (в) х я р ! 2Л + 1 хй„(в, — а; рТ) ехр( — !а рТ))+ +аоКе((Кр(в)6 (в, — в; рТ)— — К (в)!0„(в)!о ехр ( — ! ар Т)]). (5.126) !88 где Т -- длина тактового интервала; и„ вЂ” случайная величина с нулевым средним. Так как в рассматриваемом случае за один такт возникает только один импульс, то т„не превосходит по абсолютному значению Т(2. Пусть известны характеристические функции Вы (в) и Оо, (вь ао; рТ) случайных величин и„, Для рассматриваемой группы случайных процессов [см.
(5.12Об) ) Нг (в) = ехр ( — ! а рТ) т, [ехр [ — ! в ( ты! — и!о>) ) ) =- =9 (в, — а; рТ)ехр( — !врТ), р=п — 1, (5.124) В том случае, когда однородные параметры различных импульсов также независимы, !тр —— О и Нетрудно видеть, что ч»(а) =О, когда все параметры независимы. Используя (5.121) и (5.126), запишем для спектра импульсного случайного процесса с детерминированным тактовым интерва- лом 5а (а) = — Й (а~ -~- о') К (в) — ар (6, (в) )х К,. (а) + ф (в) + т г 2х» р аз(6„(в))'К (а)1пп 11+2 ~' (1 — р ) созрвТ]~, Ф» 1 р 1» 2Л + 1 (5.127) Нетрудно доказать (см.
11], с. 461), что рч 11п ~1-~-2 '~ (1 — Р )совр~7 л»-» ~ 1 2Л»+! ) = — б (в — — ), г=О, .+ 1, ~2,... т ~ — т (5. 128) Из (5.127) и (5.128) следует, что энергетический спектр импульсного случайного процесса с детерминированным тактовым интер~валом слагается из непрерывной 5„(а) н дискретной 5 (а) частей: 5»(а) =5„(в)+5„(а), (5. 129) где 5„(в) = — ((а'+ о') К, (а) — а' (6„(а) (зК (а) + ф (в)), (5.130а) 5() 4 (0,()(К () ° б( (5.1305) 5.5.6. Апериодические импульсные случайные процессы. Рассмотрим теперь импульсные случайные процессы, у которых нет детерминированного тактового интервала. Предположим, что интервалы между последовательными импульсами взаимно независимы. Обозначим интервал между моментами появления двух 'последовательных импульсов реализации через фм (а) лю (5.131) и зададим характеристическую функцию 6„(в) случайной величины р„, предполагая, что эта функция не зависит от п, т.
е. от того, где расположен интервал р„на оси времени. Можно показать, что при указанном предположении импульсный процесс будет стационарным в широком смысле. Для исследования спектра рассматриваемого импульсного случайного процесса обратимся вновь к формуле (5.117). Если сохранить предположение о том, что отсутствует статистическая зависимость амплитуд импульсов от их длительности, то функция К(в) определяется по (5.119). Для определения йр (в) нельзя 159 где а — среднее значение амплитуд импульсов. В силу независимости случайных величин т„т*,, т, т" и, 1оо— и — ! — р„и независимости 6!„(в) от номера интервала т=!! ь! имеем Ь„!г(а) =ао6" — ! — '( — а) 9!,. ( — в) т, [т!"!д (ат!'!)]х Хт, [т!Д!'о (о!;,!."!) ехР [ — ! ат!о!]], Учитывая, что ! д (вт!о!) ехр [ — 1 вт<а] = ) о (!) ехр [1 ах!о! (! — 1)] !(! = о ! = ) о (1 — ' х) ехр [ — ! ат<й!] о(х.
о и обозначая: ! д,(а)= )о(1 — х) ехр( — !ах) !(х=д( — в)ехр( — !а), о я (а) = т, [ т!м д (вт!о!) ] = ] хд (вх) и!„(х) о(х, о ФО я,(в) = тт[ т<о! д, (ат!о!)] = ~хй! (ах) !от,(х) !(х, о (5.133) (5.134) (5.135) )60 воспользоваться (5.120), так как это соотношение получено в предположении, что интервалы времени между моментами появления импульсов не зависят от их длительностей.
Теперь необходимо отказаться от этого предположения. Действительно, интервал времени !!„ между моментами возникновения двух последовательных импульсов является суммой двух случайных величин: длительности импульса т и длительности паузы между импульсами т* . Следовательно, в общем случае случайные величины р„ и т зависимы. Обозначим через О„ (в) и О„ (в) характеристические функции случайных !величин т и т* . В дальнейшем ограничимся случаем, когда длительности импульса и паузы независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
