Диссертация (1141446), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Для моделирования стены использовалисьэлементы высокого порядка (кубические), а для моделирования тела плотины –квазилинейные элементы. Для сопряжения этих двух типов конечных элементовиспользовались элементы с промежуточной (неравномерной по площади) степенью аппроксимации.Расчёты показали, что использование в модели конечных элементов разногопорядка возможно, она позволяет получить вполне приемлемые результаты. Од-157нако при этом необходимо, чтобы вокруг тонкостенной жёсткой конструкции,моделируемой элементами высокого порядка, находился хотя бы ещё один слойэлементов высокого порядка, а уж за ними – элементы с промежуточной аппроксимацией.
В этом случае результаты численного моделирования искажаются мало(рисунок 3.7).а)б)в)Рисунок 3.7 - НДС железобетонной диафрагмы при расчёте с использованием конечных элементов разного порядка.Зелёным цветом показаны результаты, полученные при использование конечныхэлементов кубической аппроксимации, зелёным, синим – при использовании всетке элементов разной аппроксимации. а, б, в – см.
на рисунке 3.6.Таким образом, нами было обосновано, что для моделирования работыжёстких тонкостенных конструкций необходимо применять конечные элементывысокого порядка (кубические, квадратичные), а для моделирования грунтовогомассива это делать не обязательно.3.6. Решение нелинейных задач о НДС.
Решение основной системыуравнений МКЭВажной особенностью решения задач о НДС грунтовых плотин являетсянеобходимость учёта нелинейного характера деформируемости её материалов, а158также контактов между ними. При решении нелинейных задач приходится осуществлять поиск решения итерационными методами.Выбор общей методики решения задачи НДС.Как уже было сказано, в рамках МКЭ существует два подхода к поиску решения, к поиску минимума энергетического функционала системы: традиционный, предполагающий решение системы линейных алгебраических уравнений (3.4), непосредственно выведенной из условия минимума энергетического функционала. метод локальных вариаций, предполагающий замену поиска минимумаэнергетического функционала системы на поиск минимума совокупности энергетических функционалов для каждой из степеней свободы.Первоначально для поиска неизвестных МКЭ, перемещений в степенях свободы, мы предполагали использовать метод локальных вариаций (МЛВ).
МЛВбыл предложен Черноусько [Черноусько]. МЛВ заключается в том, что поиск истинных перемещений степеней свободы осуществляется для каждой степени в отдельности путём многократного поиска минимума потенциальной энергии системы (минимума энергетического функционала). В традиционной схеме МЛВ вкаждой степени свободы задаётся перемещение определённой величины инаправления, а затем проверяется, ведёт ли это изменение к минимизации энергетического функционала [Гольдин, Рассказов].
В случае, если значение функционала уменьшается, заданное перемещение признаётся истинным. Нами был предложен более рациональный алгоритм расчёта, когда перемещение не задаётся, анаходится непосредственно из условия минимума энергетического функционала(3.2)1.Однако при использовании любого из описанных алгоритмов при поискеминимума функционала не учитывается взаимодействие между собой степенейсвободы разных локальных областей, осуществляется локальная вариация пере1Подробно данный подход описан в диссертации автора на соискание учёной степени кандидата наук [Саинов М.П. Напряжённо-деформированное состояние противофильтрационных “стенв грунте” грунтовых плотин: дис.
... канд.техн.наук 05.23.07 / Саинов Михаил Петрович. – М.,2001, 255 с.].159мещений. Найденный локальный минимум энергии не является общим для всейсистемы степеней свободы. Поиск общего (для всей системы) минимума энергетического функционала достигается за счёт многократности поиска локальныхминимумов, путём итерационной процедуры.Преимуществом МЛВ является простота алгоритма и низкие требования киспользованию памяти ЭВМ. Удобно учитывать нелинейное поведение материалов, т.к.
на каждой из итераций можно изменять их свойства в зависимости от достигнутого НДС.К недостаткам МЛВ относится большая продолжительность расчёта прирешении сложных задач, т.к. требуется большое число итераций. Особенно резковремя счёта возрастает при решении задач о НДС грунтовых плотин с тонкиминегрунтовыми противофильтрационными элементами. Степень свободы тонкогоконечного элемента всегда имеет высокую жёсткость, т.к. её даже небольшое перемещение вызывает значительные касательные деформации и напряжения. Внашем случае, когда тонкий противофильтрационный элемент конструкции имеетне только малую толщину, но и низкую деформируемость, жёсткость соответствующих степеней свободы на несколько порядков больше, чем у степеней свободы грунтового массива. Большая жёсткость степени свободы приводит к тому,что в рамках одной локальной вариации только очень маленькое по величине перемещение может оказаться истинным.
В то же время перемещения грунтовыхплотин очень велики, поэтому для решения задачи требуется очень много (десятки, сотни тысяч) итераций. Даже при использовании современных вычислительных машин расчёт может длится днями и неделями.Но более существенным недостатком МЛВ является отклонение получаемых результатов от точных. Как всякий итерационный метод, МЛВ не гарантирует достижение точного решения, расчёты ведутся с определённой точностью. Нокроме того, для МЛВ характерен эффект влияния последовательности расчётов наполучаемый результат. Особенно заметно он проявляется при решении нелинейных задач и задач с неоднородной средой. Как раз к таким задачам и относитсязадача о НДС грунтовых сооружений с тонкими жёсткими конструкциями.
Это160связано с разной жёсткостью степеней свободы системы. В зависимости от жёсткости каждая степень свободы в ходе итерационного процесса «накапливает» расчётные перемещения с разной скоростью. Степени свободы грунтового массива,обладающие малой жёсткостью быстро «набирают» перемещения, в то время какстепени свободы тонкой жёсткой конструкции – медленно. В результате в приграничной области между грунтовым массивом и жёсткой конструкцией накапливаются касательные перемещения и напряжения. При решении линейных (упругих) задач их появление не ведёт к существенной потере точности, т.к. по мерепродвижения итерационного процесса перемещения негрунтовых конструкцийпостепенно будут «догонять» перемещения грунтового массива и касательныедеформации придут в норму.
Но при решении нелинейных задач такой ход расчёта ведёт к получению иного результата. Накопление касательных напряженийможет вызвать потерю прочности и аномальное изменение деформативных характеристик материалов и тогда искажается расчётная схема работы сооружения.Описанный выше эффект влияния в МЛВ хода расчёта на получаемый результат нивелирует все преимущества этого метода. Не допустить появление этого эффекта можно лишь двумя способами. Первый – ограничивать проявлениенелинейности в ходе расчёта, но в этом случае теряется основное преимуществоиспользования МЛВ, возможность удобного решения нелинейных задач. Второйспособ – это обеспечить равномерный ход накопления перемещений всеми степенями свободы.
Этого можно достигать за счёт варьирования перемещений с оченьмалой величиной. Тестовые расчёты показывают, что такие решения ближе к точным. Этот способ и необходимо применять. Однако при его использовании процесс расчёта становится очень длительным. При этом заранее назначить нужныйшаг варьирования перемещений очень сложно, поэтому никогда нет уверенностив достоверности получаемых с помощью МЛВ результатов.Учитывая это, мы стали использовать традиционную схему МКЭ, в которомпоиск истинных перемещений системы осуществляется путём решения системылинейных алгебраических уравнений.
Сначала формируется матрица жёсткостисистемы, которая учитывает взаимодействие между степенями свободы, а также161вектор внешних сил. Затем по ним из решения основной системы уравнений МКЭнаходится вектор искомых перемещений. Традиционный способ позволяет получить решение упругой задачи о НДС конструкции без итераций и без сомнений вточности получаемых результатов. Самой трудоёмкой операцией решения является преобразование матрицы жёсткости. В нашем случае это треугольное разложение матрицы жёсткости (по методу Гаусса).Выбор методики решения нелинейной задачи НДС в рамках традиционной схемы МКЭ.
Описанный выше алгоритм традиционной схемы МКЭ годитсятолько для решения линейных задач, т.к. жёсткость системы не изменяется. Прирешении нелинейных задач алгоритм решения усложняется. Существует три схемы решения нелинейных задач с помощью МКЭ [Зенкевич].Первая схема предполагает замену решения нелинейной задачи на последовательное решение ряда линейных задач, с постепенным загружением конструкции внешней нагрузкой.
Это метод нагружения по стадиям. На каждой из такихстадий решений свойства материалов изменяются в соответствии с нелинейноймоделью. При большом количестве стадий может быть получено решение, весьмаблизкое к точному. Преимуществом данной схемы является то, что она не нуждается в итерационном процессе. Недостатком её является длительность счёта прибольшом количестве стадий, поэтому приходится ограничивать расчётное количество стадий. Ещё одним недостатком является то, что на каждой из стадий неимеется возможность проявления внезапных нелинейных эффектов характерныхдля хрупкого разрушения, например, таких как раскрытие шва. При небольшомколичестве расчётных стадий такая схема расчёта может вызвать искажение получаемых результатов.Вторая схема расчёта – метод переменной матрицы жёсткости.
Он предполагает выполнение ряда итераций, в каждой из которых составляется матрицажёсткости и один раз решается система уравнений МКЭ. Жёсткость элементовсистемы на каждой итерации определяется в соответствии с нелинейной модельюв зависимости от того НДС, которое было получено на предыдущей итерации.Количество итераций заранее неизвестно, они выполняются до тех пор, пока ре-162зультаты, полученные на двух последних итерациях, не совпадут с необходимойточностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
