Диссертация (1141446), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Мембранные элементы находятся вплоском напряжённом состоянии. Для мембранных элементов       т ,(3.12г)       т ,(3.13г)Здесь   ,   – линейные деформации мембраны в направлении двух взаимно перпендикулярных осей ,  элемента,  – угловые деформации в плоскости мембраны,  ,   – нормальные напряжения в плоскости мембраны в направлениидвух взаимно перпендикулярных осей , , – касательные напряжения в плоскости мембраны,В контактных элементах, которые отражают собой контактное взаимодействие двух твёрдых тел, напряжения могут возникать только в плоскости этогоконтакта.

Они могут быть нормальными к контакту (  n ) и касательными (   ,   ).Матрицы формы конечных элементов.Связь между деформациямипосредством матрицыB и перемещениямиu осуществляетсяформы элемента. В сложных элементах, в которыхдеформации не являются константами, а изменяются по объёму элемента, матрица формы также не является константой.Для элементов сплошной среды она определяется соотношениями Коши. Напримере пространственной задачи:x  uyuxu, y , z  z ,xzy xy uyxuyuxuuux,  xz  z ,  yz  z .yyzxz(3.14)138Учитывая, что функция перемещений выражается формулой (3.10б), соотношения Коши будут отражены в матрице  B  следующим образом:  N1 x 0 0 B     N1 y  N1 z 000 N1y N kux00 N1z N kuy000 N1x0 N1z00 N kuy N kuz N1x N1y N kux0 N kuz00  N ku z .0  N ku x  N ku y 0(3.15)В мембранных элементах направление действия компонент тензора деформаций (    т ) не совпадает с направлением перемещений узлов (x, y, z).

Что-бы построить матрицу формы необходимо произвести преобразование координат.Проще выразить вектор   через перемещения узлов в системе координат ,  :  N1            0      N1  0 N ku N10 N ku N1  u 1   u 1  N ku   ,   N ku   u ku    u ku 0(3.16а)где u 1 , u ku – перемещение соответственно первого и последнего узловэлемента в направлении локальной оси ,u 1 , u ku – перемещение соответственно первого и последнего узлов эле-мента в направлении локальной оси .Иначе эту формулу можно записать в виде:,  B,  u ,.Вектор состоит из перемещений узлов в направлениях  и :(3.16б)139 u 1 u  1 u ,      .u  ku u ku (3.17а)Вектор u , может быть связан с вектором перемещений степеней свободыв декартовой системе координат u x , y, z посредством матрицы поворота конеч-ного элемента    :u ,    u x,y,z т .(3.18)Матрица поворота элемента    имеет следующую структуру: 1  0  0  0    0 2,        00    ku (3.19)где  1 ,  2  ,  ku  – матрицы поворота соответственно узлов 1, 2, ku.Матрица поворота j-того узла имеет вид:cos x,   cos y,   cos z,    j   cosx, j  cosy, j  cosz, j  .jjj(3.20)В этой формуле cos x,  j  - косинус угла между направлением оси абсцисс xи направлением локальной оси  в узле j.

Аналогичный смысл имеют и другиеэлементы матрицы  j  .В итоге матрица формы мембранного элемента будет вычисляться черезматрицу B,  и матрицу поворота элемента    : B  B,    .(3.21)Для стержневых конечных элементов матрица формы может быть полученааналогичным образом.

Единственным отличием является то, что в стержневомэлементе не две, а одна компонента деформаций.140В контактных элементах напряжения выражаются не через деформации, ачерез разницу перемещений двух частей (“берегов”) элемента. Вектор разниц перемещений u включает в себя разницу нормальных и касательных перемещений. В плоском контактном элементе имеется два направления перемещений,нормальное и касательное, поэтому вектор u состоит из двух элементов.

Впространственном контактном элементе он включает разницу нормальных перемещений u n и разницу перемещений по двум взаимно ортогональным направлениям, расположенным в плоскости элемента u  и u  :u n u  u   .u  (3.17б)Матрица формы контактного элемента имеет другой физический смысл посравнению с матрицами формы других элементов – она связывает вектор разницперемещений u  и вектор перемещений степеней свободы u  :u  Bu .(3.22а)Если в качестве вектора u  записывать компоненты перемещений узлов внаправлениях n, , , т.е.

использовать вектор u n , ,  , то матрица формы будетиметь довольно простую структуру:0   N ku0u n   N1 0  N ku u     0  N1 0  0u   00  N1  00   u n ,1 u  ,1 0   u ,1 0    N ku  u n ,ku u ,ku u ,ku (3.22б)Здесь N1 , N ku – функции, относящиеся к узлам соответственно 1 и ku.Знак «+» или «–» выбирается в зависимости от правила знаков, выбранногодля u и того, к какой части контактного элемента принадлежит данный узел.Узлы на одной стороне элемента имеют один знак, узлы на противоположной141стороне – другой, таким образом получается разница перемещений между двумясторонами элемента. Обозначим0   N ku00  N1 0Bn,,    0  N1 0  0  N ku 0  .0  N1  00 N ku  0(3.23)Переход от перемещений в системе координат (x,y,z) к системе локальныхкоординат (n,,) осуществляется с помощью матрицы поворота    , имеющейблочную структуру вида (3.19).Каждая из матриц  1  ,  2  ,…,  ku  имеет вид: cos x, n j  cos y, n j  cos z, n j   j   cosx,  j  cosy,  j  cosz,  j  . cos x,  j  cos y,  j  cos z,  j (3.24).В этой формуле cos x, n j  - косинус угла между осью x и нормалью к поверхности элемента в узле j.

Аналогичные обозначения соответствуют угламмежду двумя другими осями координат.Дифференцирование в конечном элементе.Функции перемещений в элементе удобно записывать в локальной системекоординат ,,. Деформации в этой локальной системе координат ( , ) понаправлениям её осей получаются без труда, простым дифференцированием.Для получения деформаций в глобальной системе координат (x,y,z) необходимо производить преобразование для учёта отличия локального пространстваконечного элемента от глобального пространства всей конечно-элементной модели.

Преобразование имеет вид:для плоской задачи:       x 1      I     (3.25а).     y Здесь  – произвольная функция,для пространственной задачи:       x    1     I    y        z   (3.25б).142 I 1 – матрица, обратная к матрице  I , которая носит название матрицыЯкоби).Матрица Якоби имеет вид:для плоской задачи: x I    x y  (3.26а).y  для пространственной задачи: x x I    x yyyz  z  z  (3.26б).Найдя матрицу  I 1 , мы сможем получать деформации в глобальной системе координат.Матрицы упругости конечных элементов.Матрицей упругости принято называть матрицу, которая выражает зависимость между напряжениями и деформациями в точке элемента (3.8).Для стержневого конечного элемента матрица D состоит из одного элемента, который соответствует E, модулю деформации (модулю упругости) материала конструкции, которую моделирует конечный элемент.Для элементов сплошной среды в соответствии с законом Гука напряжениязависят от двух констант материалов.

Обычно матрицу упругости выражают черезмодуль линейных деформаций E и коэффициент Пуассона .Для случая плоской деформации матрица упругости [D] будет равна [Бате,Вилсон, с.94]:1  E  1 D 1   1  2   0 00 0 .1 2(3.27а).Матрица упругости может быть выражена и через других две константы материала, модуль объёмной деформации E0 и модуль сдвига G.

Для случая плоскойдеформации формула имеет вид:14342EGEG0003324D = E 0  G E 0  G 0  ,3300G(3.27б).Модуль объёмной деформации E 0 и модуль сдвига G, связанные E и  следующим образом:E,3 (1  2)(3.28а)E.2(1   )(3.28б)E0 GДля случая пространственного напряжённого состояния формулы для определения матрицы упругости [D] приведены в Приложении 3.Мембранные конечные элементы можно считать находящимися в условияхплоской деформации, поэтому для них матрица упругости получается аналогичноматрице упругости плоского элемента сплошной среды.В контактном конечном элементе напряжения зависят от относительныхперемещений двух его частей:n  E n u n ,(3.29а)  E t u  ,(3.29б)  E t u  .(3.29в)Здесь E n – жёсткость контакта в нормальном направлении (нормальнаяжёсткость),E t – касательная жёсткость контакта.Обе жёсткости E n и E t имеют размерность МПа/м (тс/м3).Соответственно матрица упругости для пространственного контактногоэлемента имеет вид:E n 0 0 D   0 E t 0  . 0 0 E t (3.30).144Замечание об использовании матрицы упругости в процессе расчёта.

Прирешении статически нелинейных задач параметры материалов не являются константами и зависят от их напряжённого состояния, поэтому матрица упругоститакже не является неизменной для конечного элемента. Матрица упругости формируется для каждого из этапов расчёта в отдельности.Матрица упругости конечного элемента в процессе расчёта используетсянесколько раз. Сначала она необходима для построения матрицы жёсткости конечного элемента. Затем с её помощью производится определение напряжений поизвестным деформациям. Однако при решении нелинейных задач деформативныесвойства элемента обычно изменяются по сравнению с первоначальными, поэтому матрица упругости изменяется в процессе расчёта. Первоначальная матрицаупругости, использованная при построении матрицы жёсткости элемента, и фактическая матрица упругости не совпадают.Возможен даже случай потери несущей способности элемента, когда происходит неограниченный рост деформаций при неизменных внутренних усилиях.Это означает потерю связи между  и  , приближение некоторых параметровдеформируемости (например, модуля упругости E) к 0.

Различие деформируемости элемента, заложенного в расчёт при построении матрицы жёсткости, и фактической деформируемости может привести к расходимости процесса решения.Необходимо осуществлять итерационный поиск связи между  и  в соответствии с моделью материала (контакта).Ещё более опасным для сходимости процесса численного решения нелинейных задач является случай, когда на момент начала расчёта элемент находитсяв предельном состоянии, связь между  и  нарушена, а в процессе расчётаэта связь восстанавливается.

Характеристики

Список файлов диссертации