Диссертация (1141446), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

При решениизадач о НДС конструкций неизвестной функцией является функция распределе-130ния перемещений. Чаще всего функцию перемещений выражают через перемещения узлов, которые характеризуют связи между элементами. Поэтому обычно вкачестве неизвестных МКЭ выступают перемещения узлов конечных элементов.Для поиска неизвестных в МКЭ используется вариационный принцип, в соответствии с которым истинными значениями перемещений являются только те,которые доставляют всей системе минимум полной потенциальной энергии. Соответственно вариационный принцип МКЭ выражается формулойЭ u   min ,(3.1)где Э u  – потенциальная энергия системы на возможных перемещениях u ,энергетический функционал функции перемещений.Потенциальная энергия системы некоторого объёма складывается из работывнешних сил на возможных перемещениях и энергии деформаций, вызванных перемещениями.

Поэтому энергетический функционал имеет видЭu  Т e   dV   pv u  dV   p u  d   Pj u j VгдеV(3.2)je – вектор деформаций, вызванных перемещениями u,– вектор напряжений, вызванных деформациями e,p v – функция распределения объёмно распределённых нагрузок (например,собственный вес),p  – функция распределения поверхностно распределённых нагрузок,V – объём рассматриваемой области, загруженной с нагрузками p v ,Г – участок области с поверхностными нагрузками p  ,Pj – точечная сила в точке j,u j – перемещение в точке j.Вектора    и  e  содержат соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций.

В случае, если при приложении внешних сил, область ужеимела начальное напряжённое состояние, то рассматривается потенциальнаяэнергия системы от приращения перемещений и деформаций:131Эu  Т e   dV   pv u  dV   p u  d   Pj u j VV(3.3)jгде Э(u) – приращение потенциальной энергии системы от возможного приращения перемещений u,u – функция распределения объёмных нагрузок в объёме V,p v – функция распределения приращения объёмных нагрузок,p  – функция распределения приращения поверхностных нагрузок,e – вектор приращений деформаций.Pj – приращение силы в точке j,u j – приращение перемещений в точке j.Минимизация энергетического функционала для нахождения неизвестныхперемещений может осуществляться как по каждой степени свободы в отдельности путём итерационного процесса (метод локальных вариаций), так и сразу длявсей совокупности степеней свободы (матричный метод МКЭ).В традиционном, матричном методе неизвестные перемещения определяютна основе решения системы линейных алгебраических уравнений, полученной изусловия минимума энергического функционала.

Эта система получила названиеосновной системой уравнений МКЭ:K U   F (3.4)Здесь K  – матрица жёсткости системы,U – вектор-столбец перемещений степеней свободы системы, F  – вектор-столбец сил, отнесённых к степеням свободы системы.Элементы матрица жёсткости всей системы формируют путём суммирования по соответствующим степеням свободы элементов матриц жёсткости отдельных конечных элементов:keK NM   k nmi 1(3.5)132Здесь KNM – элемент матрицы жёсткости всей системы, отражающий взаимодействие степеней свободы, которые имеют номера N и М в общей системеуравнений,n и m – номера степеней свободы в i-том конечном элементе, которые соответствуют соответственно номерам N и M в общей нумерации степеней свободысистемы,ke – количество элементов, которые имеют в своём составе номера степенейсвободы N и M,knm – элемент матрицы жёсткости i-того конечного элемента, отражающийжёсткость взаимодействия степеней свободы степеней свободы n и m в данномэлементе.Матрица жёсткости конечного элемента формируется исходя из формулыk     BT D B  dV(3.6)V B – матрица формы конечного элемента, D – матрица упругости (деформируемости) конечного элемента.Матрица  B – это матрица, через которую в точке конечного элемента выражается зависимость вектора деформаций   от вектора перемещений его узлов u :    B  u(3.7).Через матрицу [D] выражается зависимость вектора напряжений    отвектора деформаций  :  D (3.8).Общий алгоритм решения задач о НДС с помощью МКЭ выглядит следующим образом:1) для каждого конечного элемента формируются матрицы  B,  D, а затем матрица жёсткости элемента  k ,1332) формируется матрица жёсткости системы  K  из матриц жёсткости всехконечных элементов  k , а затем производится треугольное разложение матрицы K  для удобства решения основной системы МКЭ,3) формируется вектор внешних сил  F, приложенных к степеням свободы системы,4) решается основная система уравнений МКЭ и определяется вектор перемещений степеней свободы U ,5) в каждом конечном элементе по известным перемещениям вычисляютсядеформации, а затем – напряжения.Данный алгоритм позволяет решать только упругие задачи с мгновеннымвозведением и приложением нагрузок.

Учёт изменения расчётной схемы сооружения и нелинейности деформирования материалов системы требует усложненияалгоритма.Учёт последовательность возведения и нагружения сооружения.Как было отмечено ранее, одной из важнейших особенностей формирования НДС грунтовых плотин влияние последовательность возведения сооружения,её противофильтрационных элементов, а также наполнения водохранилища.Учёт последовательности возведения и нагружения сооружения ведётся путём рассмотрения ряда этапов формирования НДС. К моменту начала этапа сооружение имеет начальное НДС, сформированное на предыдущих этапах. На этапе расчёт ведётся на дополнительные внешние (и внутренние) силы, а соответственно результатом являются приращения перемещений.

В этом случае основнаясистема уравнений МКЭ для расчётного этапа t выглядит следующим образом: Kt Ut  Ft ,(3.9)где  K t – матрица жёсткости системы на момент времени t,Ft– вектор сил, дополнительно приложенных к степеням свободы си-стемы в момент времени t,Utмени t.– вектор приращений перемещений степеней свободы в момент вре-1343.4. О конечных элементахТипы конечных элементов. Для создания численной модели сооружениянами использовались следующие типы конечных элементов (рисунок 3.1):- элементы сплошной среды (рисунок 3.1а,в),- контактные элементы (рисунок 3.1б,г),- мембранные элементы.а)в)б)г)Рисунок 3.1 - Конечные элементыа, б – элементы для решения плоских задач, в,г – элементы для решения объёмных (пространственных) задач, а, в – элементы сплошной среды, б, г –контактные элементы.С помощью элементов сплошной среды моделировалось поведение объёмных конструкций и сооружений.

Тонкостенные конструкции, такие как негрунтовые экраны и диафрагмы, также моделировались с помощью этих элементов.Контактные элементы использовались для отображения нелинейных элементов,проявляющихся на контакте между двумя конструктивными элементами сооружения. Они состоят из двух взаимодействующих друг с другом частей, каждая из135которых моделирует один из «берегов» шва или трещины, С помощью мембранных элементов можно моделировать особо тонкие конструктивные элементы, такие как плёночные экраны и диафрагмы.

Они представляют собой тонкие пластины одинаковой толщины, произвольно ориентированные в пространстве.Все перечисленные типы конечных элементов имели свои модификации длярешения плоских и пространственных задач. При решении плоских задач конечные элементы сплошной среды представляли собой четырёхугольники произвольной формы, с возможностью превращения в треугольный элемент. Контактные элементы представляли собой отрезки, а мембранные – стержни.

При решении пространственных задач элементы сплошной среды представляли собой шестигранники произвольной формы, с возможностью превращения в призмы и пирамиды. Пространственные контактные и мембранные конечные элементы имелиформу произвольно ориентированных в пространстве четырёхугольников илитреугольников.Все перечисленные типы конечных элементов могли быть как элементаминизкого, так и высокого порядков.Функциональные зависимости для элементов.В элементах различных типов количество степеней свободы n зависит отмерности m пространства в решаемой задаче (плоская m=2 или пространственнаяm=3) и количества узлов ku (в т.ч. фиктивных) и выражается формулой n  m  ku .Соответственно вектор перемещений степеней свободы элемента имеет вид: u   u1u2u3 u n т(3.10а),u1, u2, u3, … un – перемещения степеней свободы элемента.Т.к. степенями свободы обычно обладают узлы элементов, то в векторе  u чередуются перемещения узлов по возможным направлениям, Например, в случаеобъёмной задачи: u   u x1 u y1 u z1 u x 2 u y2 u z 2  u xn u yn u zn (3.10б),где u xj , u yj , u zj – перемещения j-того узла соответственно в направлениях x,y и z.136Величины перемещений в точке конечного элемента связаны с перемещениями узлов функциональной зависимостью вида:j 1kuj 1kuu x   N j u xj ,u y   N j u yj ,kuu z   N j u zjj1(3.11),где N j  f x, y, z  – значение некоей функции координат в данной точке,выражающей влияние перемещения j-того узла на перемещение точки.Вид векторов внутренних усилий и деформаций зависит от вида решаемойзадача (плоская, пространственная) и типа конечного элемента.В элементах сплошной среды при деформировании возникают линейные икасательные деформации, нормальные и касательные напряжения.Соответственно для элемента сплошной среды в задаче плоской деформации:     xy     xy xy т , xy(3.12а)т ,(3.13а)в объёмной (пространственной) задаче:     xy     xyzz xy xz xy xzт , yz  т . yz(3.12б)(3.13б)Здесь x, y, z – линейные деформации в направлении осей x, y, z соответственно,xy, xz, yz – угловые деформации,x, y, z – нормальные напряжения,xy, xz, yz – касательные напряжения.В стержневых конечных элементах деформации и напряжения возникаюттолько в направлении вдоль оси элемента.Для стержневого элемента    L  ,    L  ,(3.12в)(3.13в)137где  L ,  L – соответственно линейная деформация и нормальное напряжение в направлении вдоль стержня.Мембранными элементами мы называем тонкий элемент, в котором напряжения деформации и напряжения возникают только в плоскости элемента и который не испытывает изгибных деформаций,.

Характеристики

Список файлов диссертации