Диссертация (1141446), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Например, это случай смыкания трещины. Он сопровождается расходимостью процесса решения. Поэтому необходимо, чтобы припостроении матрицы жёсткости матрица упругости должна всегда предусматривала наличие связи между  и  , т.е. допредельную работу конструкции.145Интегрирование в элементе. Одной из важнейших алгебраических операций при решении задач с помощью МКЭ является интегрирование.

Оно необходимо для вычисления значения составляющих энергетического функционала.В МКЭ интегрирование по объёму, площади и по длине конечных элементов, их частей удобно производить численным путём – с помощью метода Гауссовых точек. Численный интеграл от функции  по длине L1 в локальной координате  вычисляется по формуле: () dL1     j  w j n(3.31а).j1L1где i  – значение интегрируемой функции в j-той точке интегрирования;w j – весовой коэффициент j-той точки интегрирования,n – количество точек интегрирования.Численный интеграл от функции  по площади элемента  в локальных координатах вычисляется через весовые коэффициенты по двум направлениям, аинтеграл по объёму – по трём. (, ) d1     j , i  w i w i (3.31б). (, , ) dV1     j , i ,  i  w i w i w i .(3.31в).nj11nj1V1Здесь w i , w i , w i - значения весовых коэффициентов в зависимости отзначения локальных координат по одному из направлений  j ,  j ,  j .Для перехода к значению интеграла в глобальных координатах, нужно использовать матрицу Якоби.

Например, интеграл по длине:   j  w j n () dL Lj1det  I j где det  I j  – определитель матрицы Якоби в точке j.(3.32).146Количество точек интегрирования n зависит от порядка интегрируемойфункции. Для интегрирования линейной функции нужно две точки для каждогоиз направлений координат, для квадратичной – три, для кубической – четыре.Для нас самой сложной интегрируемой функцией является функция энергиидеформирования. Её порядок p Э зависит от порядка функции деформаций p  ифункции напряжений p  : pЭ  p  p . Порядок функции деформаций – на порядок меньше порядка функции аппроксимации перемещений p   p u  1.

В случаеупругой задачи порядок функции напряжений p  равен порядку функции деформаций p  p . ТогдаpЭ  2 p u  1 .(3.33).Соответственнопри p u  1 получаем p Э  0 , количество точек – 1,при p u  2 получаем p Э  2 , количество точек – 3.при p u  3 получаем p Э  4 , количество точек – 5.Созданная вычислительная программа позволяет выбирать количество точек интегрирования.

Значения координат точек интегрирования и значения соответствующих им весовых коэффициентов приведены в таблице 3.1 Приложения[Бате, Вилсон, с.136]:Формирование вектора внешних сил конечного элемента.Внешние нагрузки, на которые рассчитывают грунтовые плотины, в основном представляют собой не сосредоточенные силы, а распределённые нагрузки.Это нагрузки от собственного веса сооружения и гидростатического давления воды. Первая из них распределена по объёму, а вторая – по поверхности напорнойграни.Для формирования вектора внешних силF распределённые нагрузкинеобходимо отнести к степеням свободы, к узлам. Определение узловых сил, производится из условия равенства работ внешних нагрузок: работы сосредоточенной силы Fj на перемещении u j степени свободы и работы распределённыхвнешних сил на перемещениях точек конструкции:147Fj u j    p v f u  dV    p  f u  d    p L f u  dL ,V(3.34)LЗдесь u j – перемещение j-той степени свободы,Fj – компонент вектора нагрузки для j-той степени свободы,f u  – функция распределения перемещений по объёму элемента,p v – функция распределения объёмных нагрузок по объёму V,p  – функция распределения нагрузок по поверхности ,p L – функция распределения нагрузок по контуру длиной L.Т.к.

для описания распределения перемещений в элементе используютсяфункции формы узлов (см. формулы 3.11), то получим следующее выражение дляопределения компонента вектора внешних сил:Fj     p v Nij dV   p  Nij d   p L Nij dL  .i vL(3.35)Здесь N ij – функция формы, соответствующая степени свободы j в элементес номером i.Создание элементов высокого порядка.Для моделирования работы тонких конструкций, у которых один из размеров существенно (на порядок или более порядков) меньше других, требуется применять конечные элементы высокого порядка. В этих элементах функция аппроксимации перемещений – нелинейная. Обычно достаточно, если аппроксимирующая функция будет квадратичной или кубической. При этом функцию координатобычно не требуется делать нелинейной.Для того, чтобы иметь возможность придавать любому конечному элементукак низкий, так и высокий порядок, а также создавать элементы с неоднороднойаппроксимацией, нами был разработан особый способ создания конечных элементов высокого порядка [Саинов, Способ создания…].

Он является модификациейобычного способа создания таких элементов.Обычно функцию аппроксимации перемещений внутри элемента выражаютчерез перемещения его узлов с помощью специальных функций формы [Зенке-148вич; Бате,Вилсон]. Количество узлов ku зависит от размерности задачи P и степени аппроксимации перемещений n. Например, объёмный шестигранный конечныйэлемент Сирендипова семейства при квазилинейной аппроксимации имеет 8 узлов (рисунок 3.2а), при квадратичной – 20 (рисунок 3.2б), а при кубической – 32.Рисунок 3.2 - Объёмные конечные элементы Сирендипова семейства (а – с линейной аппроксимацией перемещений, б – с квадратичной аппроксимацией).Функция формы j-того узла выражает значение перемещения в любой точкеэлемента в долях от единицы.

Она зависит от координат точки. Удобно записывать функции формы не через глобальные координаты (x, y, z), а через локальныекоординаты элемента (,, для пространственного элемента). Эти координатынормализованы – в локальной системе координат любой плоскостной элементпредставляет из себя квадрат, а объёмный – куб (рисунок 3.2). Длина стороныэлемента равна двум, а координаты вершинных узлов равняются либо +1 , либо –1. Локальные координаты удобны тем, что в этой системе координат функцииформы любого элемента одинаковы.Функция аппроксимации перемещений (в направлении одной из осей координат) внутри элемента выражается через функции формы следующим образом:U  N1 u1  N 2 u 2    N n u n .(3.36)Здесь n – количество узлов в элементе,u1, u2 , ... un – перемещения узлов в соответствующем направлении,N1, N2, ...

Nn – функции формы узлов.149Исходя из выражения (3.36) функции формы должны быть такими, чтобыпри подстановке локальных координат j-того узла функция формы этого узла была бы равна 1, а функции формы других узлов – 0. Из этих условий и выбираютвыражения функций формы узлов.Соответственно для одномерного стержневого элемента с двумя узламифункция формы примет вид:Nj 11 j 2(3.37а)В случае квазилинейного объёмного конечного элемента сплошной средывыражение для функции формы угловых узлов получится таким:Nj 11  j  1 j  1  j  .8(3.37б)Для получения элементов более высокого порядка вводятся дополнительные узлы. В элементах Сирендипова семейства дополнительные узлы вводятсятолько на его рёбрах.Например, чтобы получить элемент с квадратичной аппроксимацией, необходимо ввести дополнительно 12 узлов.

Их функции формы выражаются формулами:- для узлов на сторонах, параллельных оси Nj 11  24  1     1    jj(3.38а)- для узлов на сторонах, параллельных оси Nj 11  24  1     1    jj(3.38б)- для узлов на сторонах, параллельных оси Nj 11  24  1     1    .jj(3.38в)Недостатком данного способа является то, что при введении дополнительных узлов требуется не только вводить новые функции формы, но и менять функции формы угловых узлов. Например, в элементе второго порядка функции формы угловых узлов будут такими:150Nj 11    j 1   j 1    j   j   j    j  2 .8Иногдаприсоздании(3.38г)конечно-элементной модели сооружения требуетсяиметь конечные элементы разного порядка, т.к. использование элементов высокогопорядка значительно усложняет процедуру решения задачи, но между тем в некоторых частях сооружения – неэффективно.В этом случае возникает проблема сопряжения элементов разного порядка.

Использование схемы, когда к элементу высокого порядка с нелинейной аппроксимацией примыкает несколько элементов низкого порядка (рисунок 3.3а) является ошибочным, т.к. нарушает один из принциповРисунок 3.3 - Схемы сопряженияМКЭ, принцип неразрывности перемеще-элементов с линейной и квадратич-ний на границах между элементами [Бате,ной степенями аппроксимации пе-Вилсон]. В этой схеме (рисунок 3.3а) уремещений (а – неверная, б – пра-одного из граничащих друг с другом эле-вильная, с помощью элементов про-ментов функция перемещений – линейная,межуточной аппроксимацией пере-а другого – квадратичная.

Это означает,мещений)что между элементами может образовываться зазор и они неверно взаимодействуют друг с другом в модели сооружения.Для правильного сопряжения конечных элементов разных аппроксимациймежду ними надо устраивать промежуточные элементы с неравномерной степенью аппроксимации по объёму элемента. Это элементы, на одной грани (ребре)которых степень аппроксимации – высокая, а на другой – низкая (рисунок 3.3б).151В рамках традиционного подхода создавать элементы с неравномерной аппроксимацией перемещений – затруднительно.

Поэтому нами был предложендругой способ.Он заключается в том, что высокая степень аппроксимации (квадратичная ивыше) создаётся не за счёт введения новых узлов, а путём введения внеузловыхстепеней свободы. Чтобы повысить степень аппроксимации перемещений на какой-либо стороне (ребре) элемента на 1, требуется ввести одну дополнительнуюстепень свободы, для которой записывается новая функция формы. При этом дополнительные слагаемые формулы (3.36) будут представлять собой не абсолютные перемещения (рисунок 3.4а), а приращения перемещений относительно перемещений, созданных угловыми узлами (рисунок 3.4б).

Характеристики

Список файлов диссертации