Диссертация (1141446), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Недостатком метода переменной матрицы жёсткости являются большие затраты времени на решение системы линейных уравнений, т.к. требуется накаждой из итераций требуется преобразование матрицы жёсткости. Эти временные затраты могут быть как меньше затрат времени для решения по стадиям (первая схема), так и превышать их.

Но при этом точность решения по методу переменной жёсткости обычно меньше, чем при стадийном решении, т.к. не учитывается постепенность изменения свойств материалов по нелинейной модели, а свойства среды определяются в зависимости от конечного напряжённого состояния. Всилу перечисленных причин применение метода переменной матрицы жёсткостинерационально.Третья схема расчёта получила название метода переменного вектора сил.Она предусматривает учёт нелинейности свойств среды с помощью преобразования вектора сил и предполагает выполнение ряда итераций. В этом случае векторсил включает в себя не только внешние силы, но и силы от внутренних усилий,накопленных на предыдущих итерациях.

Матрица жёсткости в этом методе формируется и преобразуется только один раз, что резко снижает трудоёмкость решения. Поэтому обычно по времени счёта применение третьей схемы наиболееэффективно, именного его применяют чаще всего. Однако при развитой нелинейности свойств среды часто требуется очень большое количество итераций, чтоувеличивает время расчёта.Проведённое нами сопоставление показало, что в одних случаях более эффективно может быть применение первой схемы (по стадиям), а в других – третьей схемы.

Всё зависит от трудоёмкости выполнения преобразований матрицыжёсткости. Если система насчитывает большое количество степеней свободы, томатрица жёсткости имеет большой размер и её преобразование очень трудоёмко.Это случай пространственных задач. В этом случае более целесообразно применение метода переменного вектора сил. При небольших системах (плоские задачи) более целесообразно схема решения по стадиям нагружения.163Однако следует иметь ввиду, что применение метода переменного векторасил имеет ещё несколько недостатков, которые необходимо снивелировать.Во-первых, в методе переменного вектора сил, как и в методе переменнойматрицы жёсткости, свойства среды определяются в зависимости только от конечного напряжённого состояния, а изменение свойств в ходе нагружения не учитывается.

Это искажает получаемые результаты. Поэтому нами было решеноприменить комбинированный способ решения, т.е. способ, сочетающий в себе метод решения по стадиям и метод переменного вектора сил. Он заключается в том,что расчёт ведётся по стадиям, но матрица жёсткости формируется и преобразуется только один раз, для первой стадии расчёта. Это позволяет с одной стороны,добиться более полного учёта нелинейности свойств среды, а с другой – уменьшить трудоёмкость вычислений.Во-вторых, как в любом другом итерационном методе, в методе переменного вектора сил имеется проблема сходимости. Итерации могут расходиться, т.к.свойства среды, заложенные при формировании матрицы жёсткости не совпадаютс теми, которые закладываются при определении внутренних усилий и формировании вектора сил.

В частности, это может проявляться в принятой нами комбинированной схеме решения нелинейной задачи НДС. На простых примерах можно показать (см. 3.5.3), что итерационный процесс может расходиться в том случае, если первоначальная жёсткость среды меньше, чем полученная на итерации.Необходимо, чтобы итерационный процесс всегда шёл последовательно, в однусторону, без возвращения назад. Для этого ход итерационного процесса необходимо регулировать искусственными процедурами.

Нами был предложен способ,заключающийся в ограничении величины приращений перемещений. Аналогичный подход применяется при численном интегрировании по времени динамических уравнений.Так как используется итерационный процесс, то потребовалось создать способ оценки точности получаемых решений, критерий допустимости выхода изитерационного процесса. Обычно точность оценивают путём сравнения нормывекторов напряжений на двух последних итерациях. Однако такой подход относи-164телен, т.к.

он говорит больше о скорости хода итерационного процесса, нежеличем точности результатов. Поэтому нами было предложено проводить сравнениепо элементам вектора сил. При точном решении в каждой степени свободы внешняя сила по модулю должна сравняться с силой, возникающей от внутренних усилий. Поэтому точность решения можно оценивать по отношению невязки внутренних и внешних сил к абсолютному значению внешней силы (см. 3.5.3). Этотподход и был нами реализован.В заключении можно сделать следующие выводы: МЛВ плохо пригоден для решения задач о НДС грунтовых сооружений стонкими жёсткими конструкциями, т.к.

не гарантирует получение достоверныхрезультатов; Решение задач о НДС с нелинейностью свойств среды методом МКЭсталкивается с методическими трудностями. Численные процедуры могут приводить к искажению получаемых результатов (проблема достоверности) или могутрасходиться (проблема сходимости).

Необходимо находить баланс между минимизацией трудоёмкости и минимизацией приближённости решения.Общая итерационная схема решения нелинейных задач НДС.Как было показано ранее, наиболее рациональной схемой решения нелинейной задачи является схема с постадийным приложением внешних нагрузок.Это позволяет более точно отразить нелинейность поведения среды. В этом случае на каждой стадии прикладывается только доля внешних сил  F t , а результатом решения является доля (часть) приращений перемещений  Ut . Т.к. задачанелинейная, то решение приходится получать итерационным путём.

Для каждойиз итераций матрица жёсткости не формируется заново, а учёт нелинейностиосуществляется путём преобразования вектора сил. На каждой из итераций решается система уравнений вида где U jtKt U jt  F jt ,(3.40)– вектор приращений перемещений степеней свободы на j-тойитерации для стадии этапа t.F 165jt– вектор фиктивных сил для стадии этапа t, соответствующий j-тойитерации.Полные приращения перемещения степеней свободы на данной стадии будут складываться из приращений перемещений, накопленных на каждой из итераций: Ut   U j t .(3.41)j Вектор F jtвключает в себя внешние силы, приложенные на данной ста-дии этапа, а также силы, накопленные в системе к j-той итерации от внутреннихусилий, проявившихся на данной стадии. В виде формулы это может быть выражено следующим образом:ke f Nj  f Nj -     b n T  dV  ,i 1  V(3.42)где N – номер степени свободы системы, f Nj – элемент вектора F j t , относящийся к степени свободы N,f Nj – элемент вектора внешних сил на рассматриваемой стадии, относящийсяк степени свободы N,i – номер конечного элемента, окружающего степени свободы N,ke – количество таких элементов,  – вектор приращений напряжений на данной стадии расчёта в точке iтого конечного элемента,n – номер степени свободы в элементе i, соответствующий степени свободыN в общей системе, bn свободы n.– столбец матрицы Bi-того элемента, соответствующий степени Перед первой итерацией вектор фиктивных сил F1tбудет соответство-вать вектору внешних сил данной стадии  Ft , но затем в процессе итераций по166 мере накопления в конечных элементах внутренних усилий вектор F jtбудетстремиться к 0.Общая последовательность итерационного процесса на каждой стадии такова:1) Решая систему, получаем вектор приращений перемещений на данной итерации U j t ,2) Получаем вектор полных приращений перемещений для данной стадии Ut ,3) По Utв каждом элементе определяем приращения деформаций наданной стадии  ,4) По приращениям деформаций   определяем приращения напряжений  по тем свойствам среды, которые установлены для данной стадии,5) В каждом конечном элементе уточняем вектор фиктивных сил с учётомнакопленных внутренних усилий,6) Если хотя бы один из элементов вектора фиктивных сил не приблизилсяк 0 на заданную точность, то повторяем итерации.Истинные приращения перемещений будут достигнуты тогда, когда внешние силы станут равными силам от внутренних усилий.

Это равенство может бытьдостигнуто только при бесконечном числе итераций. Поэтому в численном решении итерационный процесс можно считать законченным при приближении друг кдругу внешних и внутренних сил с определённой точностью.Для единичной степени свободы точность решения можно выразить в процентах по выражениюf N  f NTN  1 fN 100% ),(3.43)где f N – сила в степени свободы N от внутренних усилий.Общую (для всей системы) точность итерационного процесса можно по минимальной достигнутой точности из всех степеней свободы.167О сходимости итерационного процесса.Итерационный процесс решения нелинейной задачи сходится всегда присоблюдении условия, что свойства среды от итерации к итерации остаются неизменными и соответствуют тем, по которым построена матрица жёсткости.

В этомслучае расходимость итерационного процесса может проявляться только тогда,когда исследуемая конструкция исчерпала свою прочность.Однако при нелинейных расчётах не всегда можно принять свойства средынеизменным. Например, хрупкое разрушение материалов (по достижении пределапрочности на сжатие или растяжение) сопровождается мгновенным снижениемнапряжений практически до нуля. Такой скачок может крайне неблагоприятносказаться на ход итераций. При хрупком разрушении одного из элементов усилия,которые он ранее воспринимал, передаются на другие элементы. Поэтому на последующих итерациях может оказаться так, что напряжения в рассматриваемомэлементе не превышают прочности и его разрушение не произойдёт.

В этом случае итерационный процесс может «раскачиваться», не сходиться.Единственный путь избежать расходимости – это медленное, плавное ведение итерационного процесса, в котором нелинейные эффекты в конечных элементах проявляются последовательно – сначала в наиболее нагруженных (например,с очевидным хрупким разрушением), а затем в слабо нагруженных. Таким образом, необходимо ограничивать ход итераций.Потребность в ограничениях может понадобиться также и в случае, еслиизменение свойств среды происходит плавно.

Характеристики

Список файлов диссертации