Диссертация (1141446), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

В этом случае введениеновой функции формы, новой степени свободы никак не сказывается на выражении других функциях формы. Для всех рёбер функции формы могут быть созданыоднотипно.Рисунок 3.4 - Способы создания нелинейной функции перемещений на грани(стороне) конечного элемента (а – с помощью введения дополнительных узлов, б– с помощью внеузловых степеней свободы)UA, UB, UC, UD – перемещения узлов, U2, U3 – приращения перемещений длявнеузловых степеней свободы, U2 – приращение перемещения во внеузловой степени свободы для достижение квадратичной аппроксимации, U3 – приращениеперемещения во внеузловой степени свободы для достижение кубической аппроксимации.Например, в одномерном стержневом элементе квадратичная функция формы будет иметь вид:152N j  1  2 ,(3.39а)а кубическаяN j   1  227.2(3.39б)Максимум квадратичной функции достигается посредине ребра, а кубической функций - сразу в двух точках (с относительной координатой  1 / 3 ).

Такую кубическую функцию нельзя отнести к какому либо узлу, эта степень свободы – внеузловая.Аналогично (3.39) можно создавать квадратичные, кубические и иные функции формы для любых рёбер любого конечного элемента.Предложенный подход обеспечивает независимость степени аппроксимациипо каждой из сторон рёбер. За счёт этого можно создавать элементы, в которыхстепени аппроксимации в направлении каждой из локальных осей координат (,, ) будут разными. Это удобно не только для создания элементов, сопрягающихэлементов разного порядка, но и для моделирования конструкций, в которых одиниз размеров значительно превышает другой. По длине тонкостенной конструкцииможно принимать кубическую аппроксимацию перемещений, а по толщине – линейную.3.5.

Выбор степени аппроксимации перемещений в конечных элементахНами были проведены несколько тестовых расчётов, обосновывающих одиниз важных принципов методики численных исследований НДС грунтовых плотинс тонкими негрунтовыми ПФЭ – необходимость использования конечных элементов высокого порядка при создании модели сооружения.В [Саинов, Толстиков, Фомичев] и Приложении 3 приведён анализ результатов самого простого тестового расчёта – расчёт балки на двух опорах, загруженной равномерно распределённой нагрузкой. Расчёт, проведённый с помощьюдвух разных вычислительных программ показал, что при применении конечных153элементов с квазилинейной аппроксимацией перемещений результаты сильно искажаются, а при негустой конечно-элементной модели – становятся ошибочными.Это происходит из-за того, что нарушается один из базовых принципов МКЭ –первая производная от искомой функции (для перемещений это деформации)должна быть непрерывна при переходе через границу конечных элементов [Зенкевич, Морган].

При использовании конечных элементов низкого порядка в задаче об изгибе балки в конечных элементах возникают значительные касательныедеформации, которые и искажают физическую картину.Конечные элементы с квадратичной аппроксимацией перемещений точновоспроизводят НДС изгибаемой балки даже при редкой конечно-элементной модели. Этот тестовый пример позволил нам утверждать, что для моделированияжёстких тонкостенных конструкций в составе грунтовых плотин необходимоприменять конечные элементы высокого порядка.Здесь приведён более сложный тест, в котором решается реальная задача оработе тонкостенной конструкции в грунтовой плотины, с более сложными граничными условиями и условиями загружения.

Данный тестовый расчёт производился для того, чтобы ответить на следующие 2 вопроса: достаточно ли для моделирования тонкостенной конструкции в грунтовой плотины, использовать элементы с квадратичной аппроксимацией?; можно ли в одной конечно-элементной модели сочетать конечные элементы разного порядка без ухудшения точности получаемых результатов?Ещё один, похожий, тестовый расчёт приведён в [Саинов, Особенностичисленного моделирования…].В данном примере рассматривается задача о НДС бетонной диафрагмы, выполненной из буросекущихся свай в теле грунтовой плотины высотой 39 м (см.п. 4.12). Стена заделана в скальное основание.Конечно-элементная модель сооружения описана в п.

4.12. Отметим только,что по толщине стены было устроено 3 ряда конечных элементов.Расчёты проводились для нескольких вариантов, которые отличались использованием конечных элементы различной степени аппроксимации:154 вариант 1 – конечные элементы с квазилинейной аппроксимацией, вариант 2 – конечные элементы с квадратичной аппроксимацией, вариант 3 – конечные элементы с кубической аппроксимацией, вариант 4 – конечные элементы с разной степенью аппроксимации.Расчёты показали, что если деформируемость стены близка к деформируемости окружающего грунта, то во всех вариантах её НДС получается одинаковым.

Различие результатов расчёта проявляется, когда тонкостенная конструкциявыполнена из жёсткого материала, модуль деформации которого как минимум напорядок больше, чем у грунта.На рисунках 3.5-3.8 приведены результаты расчётов НДС стены для случая,когда она выполнена из железобетона. На них показаны эпюры смещений стены ивертикальных напряжений y. Эпюры напряжений построены по точкам интегрирования элементов. В каждом элементе сплошной среды было предусмотрено 25точек интегрирования (по 5 в каждом из направлений).В рассмотренном сооружении стена в основном работает на изгиб, которыйпроисходит под действием гидростатического давления верхнего бьефа.

Максимальные смещения стены наблюдаются примерно посередине высоты плотины исоставляют 3,5÷3,8 см. В зоне максимальных прогибов за счёт изгиба низоваягрань стены испытывает растяжение.Сравнение вариантов показало, что качество воспроизведения моделью сооружения изгиба тонкого жёсткого ПФЭ сильно зависит от степени аппроксимации перемещений в конечных элементах. При использовании простых, квазилинейных элементов (вариант 1) максимальные прогибы стены составили на 0,3 смменьше, чем при использовании элементов высокого порядка (варианты 2 и 3).

Вэтом варианте эпюра напряжений в стене имеет «пилообразный», скачкообразныйхарактер. Но самое важное отличие варианта 1 состоит в том, что максимальныевеличины растягивающих напряжений y в стене (2,9 МПа) оказались на 25%меньше, чем в вариантах 2 и 3 (рисунок 3.5в, 3.6в).155а)б)в)Рисунок 3.5 - НДС железобетонной диафрагмы при расчёте с использованием конечных элементов разного порядка.Красным цветом показаны результаты, полученные при использование конечныхэлементов квазилинейной аппроксимации, фиолетовым – квадратичной.а – смещения (см), б – вертикальные напряжения (МПа) на верховой грани, в –вертикальные напряжения (МПа) на низовой грани.а)б)в)Рисунок 3.6 - НДС железобетонной диафрагмы при расчёте с использованием конечных элементов разного порядка.Красным цветом показаны результаты при использование конечных элементовквазилинейной аппроксимации, зелёным – кубической.

а, б, в – см. на рисунке 3.6.При использовании элементов с квадратичной аппроксимацией (вариант 2)эпюра смещений становится более выгнутой, а эпюра напряжений y – более156сглаженной, хотя некоторая неровность в распределении напряжений сохраняется(рисунок 3.5б,в). Различия в НДС стены между вариантами 2 и 3 малы, но при использовании кубической аппроксимации эпюры напряжений и перемещений получаются ещё более гладкими.Выполненное сравнение позволяет сделать следующие выводы:1) Между результатами, полученными при использовании простых конечных элементов и элементов высокого порядка, имеется существенное различие –простые элементы дают искажённую работу тонкостенной конструкции;2) Различия результатов, полученных при использовании квадратичных икубических элементов – небольшие, можно считать, что эти элементы дают возможность получать результаты, близкие к точным;Другие наши исследования показали, что если тонкостенная конструкцияиспытывает сложные изгибные деформации, то при применении простых конечных элементах результаты расчёта НДС могут искажаться ещё сильнее – для нихможет быть характерно необоснованное образование зон концентрации напряжений [Саинов, Особенности численного моделирования…].

Для получения приемлемых результатов желательно использовать конечные элементы с кубическойаппроксимацией перемещений, хотя можно допустить применение и элементов сквадратичной аппроксимацией.При решении объёмных задач использование элементов с кубическойфункцией аппроксимации крайне затруднительно, поэтому необходимо стремиться к уменьшению числа неизвестных в системе МКЭ. Нами был проведен расчётдля варианта 4, в котором в конечно-элементной модели используются элементыс разной степенью аппроксимации.

Характеристики

Список файлов диссертации