Диссертация (1138581), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Непараметрические моделиОбычно непараметрические модели являются сплайн-функциями.Понятие «сплайн» было предложено в работе Айзека Шонберга (IsaacJacob Schoenberg) в 1946 году, и особенно интенсивно ее развитиепроисходило в 50–70 годы. Сплайн-функция представляет собой технику фитинга. По аппроксимационной теореме Вейерштрасса для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции наотрезке. Таким образом, для аппроксимации непрерывной функциидисконтирования или функции кривой доходности используютсянабор функций, которые зависят от срока до погашения облигаций.Тогда цена может быть представлена в следующем виде:∑где(()(∑())) — денежный поток облигации номер j;гашения для m-го денежного потока;58()— срок до по-— число появления денежных(потоков;срока;) — i-ая функция приближения и она зависит только от— неизвестный параметр.Полиномиальные сплайны.
В работах Маккалоха (McCulloch,[66], [67]) впервые применили квадратичный сплайн и кубические полиномиальные сплайны для оценки срочной структуры процентныхставок. Маккалох сделал аппроксимацию для функции дисконтирования; формула функции дисконтирования — модель полиномиальныхмоделей. Он отдельно использовал квадратичный и кубическийсплайны. В своей работе он утверждает, что использование квадратичного сплайна для вычисления срочной структуры процентных ставок является причиной того, что кривая доходности не достаточногладкая. Чтобы сделать кривую гладкой, надо, по крайней мере, использовать кубический сплайн для фитингов функции дисконтирования. В практическом процессе применения обычную модель кубического сплайна можно записать в следующем виде:( ){( )( )( )()Кроме того, чтобы функция дисконтирования в целой областиобладала первой производной и второй производной, функция ещедолжна выполнить следующим условиям:{( )(( )(()( )()()()(( )()(( )()()))))Таким образом, функцию можно сократить до следующего вида:( ){( )( )( )( )( )(()()(59))()Исследование Маккалоха является инновацией в этой области, поэтому после него появилось много новых идей, последователей и т.
д.В своих работах [60] Канони и Мокране (Kanony & Mokrane, 1992)и [30] Дилона и Дерри (Dealon & Derry, 1994) сделали эмпирическиеисследования и получили следующие выводы.Во-первых, чем больше количество сплайнов, тем больше параметров, т. е. лучше близость, но хуже гладкость. Когда увеличиваем количествосплайнов,разницамеждутеоретическойценойи практической ценой становится меньше, но кривая становится болеечувствительной для аномальных данных. Это значит, что если криваяполучена из слишком большого количества сплайнов, то применимость этой модель стала хуже и она не сможет определить ценообразование для облигаций, не представленных в образце.Во-вторых, чем меньше количество сплайнов, тем меньше параметров, но, с другой стороны, если есть некоторые помехи, тов результате фитинги получаются с большой погрешностью. Это значит, что уровень фитингов невысокий.Более того, в работе Дикона и Дерри [30] (Deacon & Derry, 1994)сказано, что выбор отрезных точек — тоже важный вопрос: если изменяются отрезные точки, то будет значительное изменение для форвардной кривой.Экспоненциальные сплайны.
В работе Васичека и Фонга [87](Vasicek & Fong, 1982) впервые использовали экспоненциальныесплайны для фитингов функции дисконтирования. Более того, Васичек и Фонг применили эту модель на данных американских государственных облигаций. Они считают, что сильное колебание форвардной кривой процентной ставки происходит из-за применения полиномиальных сплайнов, и если использовать экспоненциальные сплайны,то можно избежать этой ситуации.60Модель экспоненциальных сплайнов можно записать в следующемвиде:( ){( )( )( )()Ограничение экспоненциальных сплайнов такое же, как и у полиномиальных сплайнов.
Здесь параметримеет экономическое значе-ние: форвардная процентная ставка с даты, когда начаты выплаты ку(пона до бесконечного будущего, т. е.).B-Сплайны. Понятие «В-Сплайн» был предложено Айзеком Шонбергом (Isaac Jacob Schoenberg) в 1946 году. В-Сплайн является сокращением понятия основного сплайна (Basicspline). В работе [80](1991) Steeley использовал В-Сплайн для оценки срочной структурыпроцентных ставок на рынке облигаций Великобритании, в своей работе (1995) Lin и Paxson [89] использовали В-Сплайн для оценкисрочной структуры процентных ставок на немецком рынке облигаций;обе работы получили хорошие результаты. Используя В-сплайн,функцию дисконтирования можно записать в следующем виде:( )где∑— параметры сплайнов,( )(— количество сплайнов,)( )–базисная функция сплайна.Экспоненциально-синусоидальные сплайны. В 2003 годув работе Смирнова и Захарова [77] был предложен новый непараметрическийметод,получившийназвание«экспоненциально-синусоидальные сплайны»; это первый сплайновый метод, гарантирующий положительность форвардных процентных ставок.
Метод основан на оптимизации целевого функционала, представляющего собой комбинацию невязки, учитывающей характеристики ликвидности61облигаций, и штрафа за негладкость форвардной кривой. Выбор соотношения между уровнем гладкости и точностью оценки кривой доходности производится методом регуляризации А. Н.
Тихонова. Этотметод лег в основу исследований в данной работе.2.3.Обзор китайской научной литературы по китайскому рынкуоблигацийКак уже написано в главе 2.1, исследования срочной структурыпроцентных ставок в западных странах проводятся уже более 40 лет,и литературы на тему там тоже много.
Однако в Китае такой литературы сравнительно немного, что обуславливает актуальность темы.Причина состоит в следующем: во-первых, китайский рынок облигаций начал развиваться только в последние 10 лет, кроме того, какнаписано в главе 1, китайский рынок имеет свой характер и свои особенности, которые отличаются от характера и особенностей западныхстран.2.3.1.
Первоначальные исследованияКак и в других странах, начальные исследования в Китае былинаивными — в этом поколении исследователи обычно ищут точки доходности до погашения и пытаются просто соединить эти точки.С другой стороны, в первой главе уже показано, что китайский рынокна данный момент еще сравнительно небольшой и недостаточно эффективный.В 1997 году Ян Дакай (Yang Da-kai) и Ян Яун (Yang Yong) указали,что исследования кривой доходности казначейских облигаций сталиодним из центральных вопросов в области финансов в Китае.
В своейстатье “About the Research on China’s Bond Market Yield Curve” [117]китайские исследователи впервые использовали данные Шанхайской62фондовой биржи по облигациям (31 декабря, 1996, 21 февраля и 11апреля 1997 года) для построения кривой доходности облигаций нарынке ценных бумаг Китая.Ян Дакай и Ян Яун использовали фундаментальную формулу дляценообразования облигаций:∑()()()где P — цена облигации, C — купонный платеж, F — номинальнаяцена облигации, y — доходность облигации, n — срок погашения.Они выбрали семь казначейских облигаций для вычисления доходности. На графике они отметили точки, отражающие доходностьи срок до погашения каждой облигации. Ян Дакай и Ян Яун получиликривую доходности с помощью линейной интерполяции.В работе Яао и Лян [118] (Yao Chang-hui, Liang Yue-jun, 1998) сделано аналогичное исследование, они впервые сделали макроэкономический анализ для финансовой среды с помощью кривой доходности.Далее рынок облигаций уже начал развиваться, более того, западной литературы тоже стало больше, стало проще найти ее в Китае, соответственно, исследование данной темы тоже начало развиваться.Работы китайских авторов можно разделить на две группы: в первой группе исследуется параметрические модели, а во второй — непараметрические.2.3.2.Непараметрические подходыЧжэн и Линь (Zhang Zheng-ling, Lin Hai, 2003) отдельно использовали метод Bootstrap и сплайновый метод для оценки доходности[121].
Их сплайновая формула:63( ){( )()(()))({( )где(((()())){(())())На практике они использовали реальные данные от 13 декабря 2002года Шанхайской биржи при ситуации, когда k=3 и k =4 для сплайнового метода. В результате выводы получились следующие: оценка метода Bootstrap и оценка сплайнового метода при k=4 очень близки, поэтому эти оценки правдоподобнее. Но при k=3 оценки сплайновогометода были относительно хуже, чем другие известные методы.Подробные методики также сделали в работе Ян и Ли (Yang Baochen, Li Biao, 2004) [115] и в работе Тань, Су и Ху (Tan Zheng-xun,2004) [108].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
