Диссертация (1138581), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е.:( ))(( ))Через спот ставку может быть определена непрерывно начисляемаяфорвардная ставка:Форвардная ставка( ) — это ставка по займам, которые осу-ществляются в будущем периоде t на срок49— .Берем самый простой пример, если платеж проценты один раз в год,форвардная ставка междугод илет, может вычисляться поформуле:() ()((())))()()Т.
е.:(Соответственно, для непрерывных начислений, если в моментспот ставкаимеет погашение до момента , и спот ставкапогашение до моментаимеет, тогда мы имеем:(())()()И получаем общую формулу для вычисления форвардной ставки:()()()()Для мгновенной форвардной процентной ставки есть следующеесоотношение со спот-ставкой()( )∫( )()Значимость срочной структуры процентных ставок. Срочнаяструктура процентных ставок значима для всех субъектов финансового рынка: эмитента (Министерства финансов), органа денежного регулирования (Центрального банка) и участников финансового рынка(включая организаторов торгов).Как уже известно, с помощью точно определенной срочной структуры процентных ставок, а также стоимостью заимствований, можноэффективно управлять структурой долга и оптимизировать стоимостьего обслуживания.
Более того, хорошая срочная структура процентных ставок тоже может помочь центральному банку оценить ожида-50ния рынка относительно будущих процентных ставок и уровня инфляции.Срочная структура процентных ставок также может помочь участникам анализировать рынок облигаций и оценки стоимости активов.В области финансовой инженерии и управления рисками ставкасрочной структуры процентных ставок обладает безрисковым характером.
Поэтому такие ставки уже стали базовыми инструментами дляисследования или анализа других финансовых инструментов.Существуют три общеизвестные теории, объясняющие логарифмический вид графика.Теория ожиданий (Expectation Theory) считает, кривая доходностиподнимается в период экономического роста, агенты в данном случаесчитают,чтопроцентнаяставкабудетувеличиватьсяи, соответственно, долгосрочная процентная ставка будет больше, чемкраткосрочная процентная ставка. А кривая доходности падаетв период экономического спада, долгосрочная процентная равняетсяили меньше краткосрочной процентной ставки.Теория предпочтения ликвидности (Liquidity Preference Theory) отмечает, что ликвидность долгосрочных облигаций ниже, чем ликвидность краткосрочных облигаций, то есть цены долгосрочных облигаций должны быть выше, чем цены краткосрочных облигаций, чтобыкомпенсировать инвесторам обездвиживание денег на более долгийсрок.Теория сегментированности рынка (Market segmentation Theory)считает, что для разных инвесторов есть разные предпочтения.
То дляразных облигаций (кратко-, средне- и долгосрочных облигаций)должны быть разные величины спроса и предложения. Поэтому рынок состоит из разных сегментов, и в каждом сегменте процентныеставки должны быть тоже разные.512.2.Методы построения срочной структуры процентных ставок2.2.1. Модели общего экономического равновесияМодель Васичека. В работе Васичека [86] было предложено, чториск-нейтральный процесс для процентной ставки короткого времени:(Гдеи: константы,)()представляет параметр, характеризую-щий скорость возврата к среднему значению,госрочный уровень процентной ставки,означает средний дол-— параметр волатильности,— винеровский процесс.он не зависит от текущего значения ставки,Решение этого уравнения имеет вид:( )()Следовательно, при условии∫()имеем долгосрочный уровеньставки и волатильность:( )( )И уравнение срочной структуры процентных ставок, соответствующее модели Васичека, имеет вид:()()() ( )()где:()()()() ()()()Из уравнения видно, что для построения срочной структуры процентных ставок достаточно выбрать параметрыМодель явля-ется однофакторной математической моделью.
Это первая модель,учитывающая особенность процентных ставок, отличающая их,например, от динамики цен. Процентные ставки не могут расти до52бесконечности, так как их высокий уровень ограничит экономическуюдеятельность. С другой стороны, ставки не могут быть отрицательными. Таким образом, ставки должны двигаться в ограниченном диапазоне с тенденцией к возврату к некоторому среднему уровню. Недостаток модели Васичека заключается в том, что теоретически ставкаможет быть и отрицательной.Модель Кокс-Ингерсолл-Росс (или модель CIR).
Чтобы решитьпроблемумоделиВасичека,американскиеэкономистыКокс(J. C. Cox), Ингерсолл (J. E. Ingersoll) и Росс (S. A. Ross) в работе [26]представили свою модель. Модель CIR считает, что риск-нейтральныйпроцесс для процентной ставкивыглядит:()(√)Разница между моделью Васичека и моделью CIR состоит в том,что модель CIR полагает дисперсию краткосрочных ставок равнойквадратному корню из краткосрочных ставок. Но обе модели предполагают конкретные структуры динамического изменения процентныхставок.
Эти модели являются «моделями общего экономического развития», так как модели четко определяют рыночную цену рискаи получают экономическое равновесие.Цена облигации модели CIR имеет вид:()(())Эта формула похожа на модель Васичека, но здесь (имеют другой вид:()()(((()[()(()()))53()()])), где√)и ()Как и модель Васичека, модель CIR складывается из общего экономического равновесия.
Т. е. в модели содержатся следующие факторы: неприятие риска, потребительские предпочтения о времени,ограничение богатства и т. д. Но оценка экономических показателейи рисковых показателей, реализация их на фактическое прогнозирование и т. д. являются трудными комплексными задачами.2.2.2. Безарбитражные моделиМодель Хо-Ли (или модель Ho-Lee). В работе [58] Хо и Ли былапредложена такая модель, которая предполагает, что на рынке нет арбитражной возможности.
В модели два параметра: стандартное отклонение краткосрочной процентной ставки и рыночная цена краткосрочного процентного риска.( ))— стандартное отклонение краткосрочной процентной став-Гдеки, а(— функция, которая определяет среднее направление движе-ния ставкив момент .( ) изменяется по следую-В модели функция дисконтированиящему виду для любого времени ():(( )( )(( )Здесь( )и))( )( )( )( ) — функции возмущения,Из модели получается, что( )и( ) имеют единственное ре-шение:( )(54)( )где константа()удовлетворяет следующему условию:( )()( )Таким образом, если нам дают параметрыи , то получается об-щее выражение модели Хо-Ли.
Начальное условие для функции дис( ) и параметрыконтированияиполностью определяют из-менение срочной структуры процентных ставок.Модель Халл-Уайт (или модель Hull-White). В своей работе [56]Халл и Уайт рассматривали ситуации расширения модели CIR. Онипредложили вариант: модель Васичека должна быть расширенаииметь следующий вид:( )где()— константы.иКак и в модели Хо-Ли, в модели Халл-Уайт тренд ставкизависитот времени . Модель Хо-Ли является особым случаем, когда скорость. Как и в модели Васичека, в модели Халл-Уайт ставки имеетскорость возврата к среднему значению.Также похожее на модель Васичека решение модели Халл-Уайтможно записаться в следующем виде:( )()∫(Поэтому цена облигации в модели Халл-Уайт также имеет вид:(где ()и ()(())) заданы в другом виде:((()(())))(()55)() ())Модель Хит-Джарроу-Мортон (или модель HJM).
Модель ХитДжарроу-Мортон представляет собой шаг вперед: в работе [47] Хит,Джарроу и Мортон сказано, что модель базируется на форварднойпроцентной ставке. Форвардная ставка подразумевает рыночное ожидание будущего, поэтому цены облигации и цены производных уже независят от бывших параметров, а зависят от рыночного ожидания будущего и процесса случайного колебания процентной ставки. Можносказать, что модель HJM обобщила модель Хо-Ли, перенеся её в аналитическую рамку непрерывного времени. Модель HJM имеет вид:()((Функцияставки, а((( (()) ∫))(( )()))()) — случайный процесс форвардной процентной()) — волатильность форвардной процентнойставки.На самом деле самый ранний метод HJM можно найти еще в 1987году, но из-за сложности и абстрактности его реализация свершиласьлишь в 1994 году. С помощью улучшенной техники Монте-Карлоаналитикам стало проще прогнозировать разные характеры будущейпроцентной ставки без оценки уровня возврата к среднему значениюкраткосрочных процентных ставок, скорость к среднему значению,волатильность и т.
д.Однако все безарбитражные модели и модели общего экономического равновесия имеют аналогичную структуру, они анализируютфакторы модели, а их разница состоит в том, что для подгоночных параметров модели они используют разные величины. Модели общегоэкономического равновесия четко определили рыночную цену риска,и, более того, их параметры модели не зависят от времени, поэтому ихможно получить из исторических данных. Поэтому экономисты56обычно используют такие модели для понимания срочной структурыпроцентных ставок, чтобы прогнозировать будущую экономическуюситуацию.
С другой стороны, дилеры обычно предпочитают использовать безарбитражные модели.2.2.3. Параметрические моделиВ своей работе [68] Нельсон (Nelson C.) и Сигель (Siegel A.) предложили собственную модель. Эта модель представляет собой базовыйметод современных моделей для построения срочной структуры процентных ставок.В модели предполагается, что функция мгновенной форварднойставки имеет следующий вид:()( )()()Из этого уравнения можно получить мгновенную спот-ставку:()∫(( )[Из уравнения видно, что припредел, поэтому параметр()](), процентная ставка имеетинтерпретируется как долгосрочныйуровень процентных ставок.
Припараметр), предел( ) равняется,является краткосрочным компонентом. Соответственно,является среднесрочным компонентом. В модели Nelson-Siegelформы срочной структуры процентных ставок не являются разнообразными, особенно для краткосрочной и среднесрочной частей. Чтобырешать эту проблему, Свенссон в работе [82] расширил модельNelson-Siegel до следующего вида:57()∫( ))([()([)(])(])Это модель Свенссона (или модель NSS, Nelson-Siegel-Svensson).Здесь Свенссон добавил новый параметр, и модель стала болеегибкой для вычисления ставок краткосрочных облигаций.2.2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
