Диссертация (1138535), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть Y1, Y2, ... – будет последовательностью неотрицательныхлениянезависимых и одинаково распределенных случайных величин, аX ' = max{i : ∑ij =1Y j ≤ 1} . Распределением Yi будет распределениеэкспоненциальным exponential(1/ λ ) тогда и только тогда, когда Х' ~Poisson(λ). Также если X ' = max{i : ∑ j =1Y j ≤ λ} , то Yi имеют расiпределение exponential(1) тогда и только тогда, когда Х' ~ Poisson(λ).Если X1, X2, ... Xm – независимые случайные величины, а Хi ~ Poisson(λi ) то X1 + X2 + ... + Xm ~ Poisson(λ1 + λ2 + …+ λm).Графики функцииРисунок 2.14 (а) – Графиквероятности распрефункции вероятности расделения Poisson(λ):пределения Poisson(λ) (приа – при λ = 0,5;λ = 0,5)б – при λ = 1;Рисунок 2.14 (б) – Графикфункции вероятности распределения Poisson(λ) (при λ = 1)в – при λ = 2;Рисунок 2.14 (в) – Графикфункции вероятности распределения Poisson(λ) (при λ= 2)г – при λ = 6Рисунок 2.14 (г) – Графикфункции вероятности распределения Poisson(λ) (приλ = 6)84Окончание таблицы 2.5ХарактеристикиЗначения характеристик, формулы и графикиОбратное распределение ПуассонаОбозначениеPoisson(λ(z))Варианты примене- Рассмотрим дискретную случайную величину m, которая имеет раснияпределение Пуассона с математическим ожиданием a.
Случайная величина m может принимать значения {0,1, …}. Введем в рассмотрение новую случайную величину z, которая находится по уравнениямa если m ≠ 0;z = ma если m = 0.Распределение величины z называют обратным распределениемПуассона, т.к. z обратно пропорционально m.С помощью обратного распределения Пуассона моделируют периодывремени между событиями z, связанными с потреблением запасов, когда события z происходят с интенсивностью λ.Функция вероятно 1 z -λ λ e если k ∈ {0,1...};стиp( z ) = z!0в противном случаеПараметрыλ >0Область{0,1, …}Среднее1Среднеквадратичное1отклонениеaСвойства распреде- Рассмотрим случайную величинуления1 mx= = .z aСвойства распреде- Так как случайная величина m имеет распределение Пуассона, толенияM ( m)M ( x) == 1;aσ ( m) 1;=σ ( x) =aa1σ ( x).=ν ( x) =M ( x)aПри больших значениях a величина x имеет приближенно нормальноераспределение.
С другой стороны, при больших а величина σ(x) малапо сравнению с M(x). Поэтому при больших a величина z = 1 x распределяется приближенно по нормальному закону с параметрами1M ( z) ≈= 1;M ( x)1σ ( z ) ≈ σ ( x) =.aТаким образом, необходимо подобрать теоретическое распределение, адекватное исходным данным. Для определения наиболее подходящего распределения85используются как эвристические процедуры (график функции вероятности распределения поверх гистограммы, частотные сравнения, график различий между функциями распределения, вероятностные графики), так и методы проверки статистических гипотез, базирующиеся на критериях согласия (критерий χ2, критерий Колмогорова, критерий Андерсона-Дарлинга, критерий пуассоновского процесса).
Какправило, эвристические процедуры используются для того, чтобы подобрать одноили несколько подходящих распределений к данным наблюдений, а критерии согласия позволяют проверить статистическую гипотезу о согласованности данных иподобранного распределения.Экспоненциальное распределение часто используется для описания интервалов между последовательными случайными событиями.
Помимо этого, экспоненциальное распределение обладает таким свойством, как отсутствие последействия.Для рассматриваемой ситуации это свойство проявляется в том, что для потока редких событий время ожидания следующего запроса на данную позицию номенклатуры всегда распределено показательно (экспоненциально), независимо от того,сколько времени вы его ждали.Следует подчеркнуть, что показательное распределение связано с распределением Пуассона, иногда называемым распределением редких событий.
Если интервалы между заявками на потребляемые единицы запаса имеют экспоненциальное распределение, то количество заявок в течение определенного времени Δt распределено по закону Пуассона.Известно, что распределение Пуассона записывается в виде:ak −ap(k ) = e ,k!(2.21)где a – среднее количество заявок за интервал времени Δt; k – количество заявок, k= 0, 1, 2, ... , N.Напомним, что параметр распределения Пуассона а равен математическомуожиданию (первый начальный момент), а среднеквадратическое отклонение (второй центральный момент) σ = а.86Для расчета параметра a при различных интервалах времени Δt используетсяформулаа = λ ⋅ ∆t ,(2.22)где λ – интенсивность потока заявок (замен).Вероятность наличия запасов определяется по формуле:a k −aP(k ) = ∑ p(k ) = ∑ e .k =0k =0 k!NN(2.23)Рассмотрим возможность использования распределения Пуассона дляоценки позиций номенклатуры, относящихся к группам B и C.Методика расчета показателей запаса при редком характере спроса былапредложена нами в работах [38, 39].
В таблице 2.6 приведены исходные данные оеженедельном расходе запасов в течение двух месяцев. В результате статистической обработки получены средние величины интенсивностей заявок λ (за интервалвремени Δt, равный одной недели), которые, в свою очередь, позволяют рассчитывать соответствующие значения параметра аi для трех видов продукции по формуле2.20.Таблица 2.6 – Данные о расходе запасов для трех видов продукции, ед.Вид продукции1231021211430124101Недели5011λi, ед./неделя6003721280220,51,02,0Расчет вероятностей наличия запасов по формуле (2.21) производился с учетом λi для различных значений Δt, что соответствует одной, двум и т.д. неделям(таблица 2.7).
Таким образом, для первого вида продукции можно воспользоватьсяпервым (а = 0,5; одна неделя) и вторым столбцом (а = 1; две недели); для второговида продукции – вторым (а = 1; одна неделя) и третьим столбцом (а = 2; две недели); аналогично для третьего вида продукции и т.д.По аналогии с принятой терминологией в управлении запасами будем считать, что параметр а распределения Пуассона может рассматриваться как текущийзапас ST. Тогда страховой запас Sс определяется по формуле:87Sс = Smax – a = Smax – ST,(2.24)где Smax – максимальная величина запаса или общий запас, соответствующий заданной (или выбранной) вероятности P(k).Вероятностные оценки общей величины запаса, включающие текущий истраховой запас, выполним для второго вида продукции (а = 1,0).
На основаниитаблицы 2.7 при периодичности поставок, равной одной неделе, средний запас составляет 1 ед., а максимальный или общий запас должен составлять 4 ед. (при вероятности Рk = 0,996) или 5 ед. (при Рk = 0,999).Таблица 2.7 – Вероятности наличия запаса (на основе распределения Пуассона)Величина запаса0123456789а = 0,50,6060,9100,9860,998Среднее количество заявок, ед./неделяа = 1,0а = 2,00,3680,1350,7360,4050,9200,6760,9810,8560,9960,9460,9990,9800,9920,996а = 4,00,0180,0910,2370,4320,6270,7830,8870,9470,9770,980Примечание – В таблице 2.7 значения вероятностей округлены до третьегознака после запятой.При периодичности поставок равной двум неделям (Δt = 2) соответственносредний запас равен 2 ед., а общий запас 5 ед. (Рk = 0,980) или 7 ед.
(Рk = 0,996).Пример 2.2. Рассмотрим пример расчета показателей запаса для номенклатурной позиции, данные о еженедельном расходе которой в течение года приведены на рисунке 2.15 [39, с. 26]. Из рисунка 2.15 видно, что процесс расхода можетбыть отнесен к «редким событиям».884Спрос, ед./нед.3210048121620 24 28 32Номер недели3640444852Рисунок 2.15 – Спрос на номенклатурную позицию в течение года, ед.
в неделюВ общем случае, при обработке экспериментальных данных возникает необходимость аппроксимировать эмпирическое распределение тем или иным известным законом распределения, т.е. осуществить подгонку распределения. Функцияподгонки распределения реализована во многих программах, предназначенных длястатистической обработки данных. Воспользуемся для этой цели модулем Distribution Fitting (подгонка распределения) программы STATISTICA.На рисунках 2.16 – 2.18 представлены результаты подбора наилучшего закона распределения для рассматриваемого примера.
Анализ этих графиков показывает, что для трех альтернативных распределений наименьшее значение критерияχ2 = 0,28 и наибольшее значение p = 0,59 (вероятность ошибки второго рода) имееттеоретическое распределение Пуассона, что свидетельствует о большой вероятности ошибки, если отвергнуть гипотезу о соответствии закона распределения спросазакону Пуассона, поэтому гипотезу принимаем.Модуль Distribution Fitting пакета STATISTICA позволяет быстро подобратьнаилучшее теоретическое распределение к эмпирическим данным, но, к сожалению, выбор нужно делать только из семи непрерывных и четырех дискретных распределений.89Variable: Var2, Distribution: Binomial, p = 0,15385Chi-Square test = 1,01126, df = 1 (adjusted) , p = 0,314603530No. of observations2520151050-1012345Category (upper limits)Рисунок 2.16 – Гистограмма эмпирического распределения и график функциивероятности теоретического биноминального распределенияVariable: Var2, Distribution: Poisson, Lambda = 0,61538Chi-Square test = 0,28010, df = 1 (adjusted) , p = 0,596643530No.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
