Диссертация (1138535), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

По нашему мнению, целесообразно эти теоретическиераспределения вероятностей рассмотреть более подробно (таблица 2.5).Таблица 2.5 – Дискретные распределения вероятностей [16, 29, 93]ХарактеристикиЗначения характеристик, формулы и графикиРаспределение БернуллиОбозначениеBernoulli(p)Варианты примене- Случайное событие с двумя возможными результатами; используетсяниядля генерирования других случайных дискретных величин, например, с биноминальным, геометрическим или отрицательным биноминальным распределениемФункция вероятно1 − p если x = 0;стиp( x) =  pесли x = 1;0в противномслучаеФункция распределенияПараметрыОбластьСреднееДисперсияМодаесли x < 0;0F ( x) = 1 − p если 0 ≤ x ≤ 1;1если 1 ≤ xp ∈ (0,1){0,1}pp(1 – p)если p < 1 2 ;00 и1 если p = 1 2 ;1если p > 1 2Оценка максималь- pˆ = X (n)ного правдоподобияСвойства распреде- Случайная величина X c распределением Bernoulli(p) может считатьсялениярезультатом эксперимента, который завершился либо успешно, либонеуспешно.

Если вероятность успеха равна p и X = 0, когда эксперимент завершился неуспешно, или X = 1 при успешном завершении76Продолжение таблицы 2.5ХарактеристикиГрафик функции вероятности распределения Бернулли (p >0,5)Значения характеристик, формулы и графикиэксперимента, то X ~ Bernoulli(p). Такой эксперимент, именуемый испытанием Бернулли, обеспечивает удобную возможность для соотнесения нескольких дискретных распределений с распределением Бернулли.Распределение Bernoulli(p) является особым случаем биноминального распределения с количеством независимых испытаний t = 1 итем же значением p.p(x)p1-p01xРисунок 2.9 – График функции вероятности распределения Bernoulli(p) (p > 0,5)Дискретное равномерное распределениеОбозначениеDU(i, j)Варианты примене- Случайное событие, имеющих несколько возможных результатов снияодинаковой вероятностью успехаФункция вероятно1 j − i + 1 если x ∈ {i, i + 1, ..., j};p( x) = стив противномслучае0Функция распреде0если x < i;ления [x ] − i + 1если i ≤ x ≤ j;F ( x) =  j − i +11если j < xПараметрыi и j – целые числа, для которых i ≤ j; i – параметр положения; j – i –масштабный параметрОбласть{i, i + 1,..., j}Среднееi+ jДисперсия2( j − i + 1) 2 − 112МодаКонкретной величины не существуетОценка максималь- iˆ = min X k ; ˆj = max X k1≤ k ≤ n1≤ k ≤ nного правдоподобияСвойства распреде- Распределения DU(0, 1) и Bernoulli(1/2) одинаковыления77Продолжение таблицы 2.5ХарактеристикиГрафик функции вероятности распределения DU(i, j)Значения характеристик, формулы и графикиp(x)1/(i-j+1)...i-1 i i+1 i+2j-2 j-1jj+1 j+2 xРисунок 2.10 – График функции вероятности распределения DU(i, j)Биномиальное распределениеОбозначениеbinomial(t, p)Варианты примене- Число успешных экспериментов в t независимых испытаниях Берниянулли, вероятность успеха каждого из которых равна р; количество«поврежденных» товаров в партии размером t; число объектов вгруппе случайного размера (например, в группе людей); число товаров, затребованных из запасовФункция вероятно t  xt−xсти  p (1 − p ) t если x ∈{0,1..., t};p ( x) =  x 0в противном случае,t где   – биномиальный коэффициент, определенный как xtt!=x x!(t − x)!Функция распреде0если x < 0; |x|ленияt  F ( x) = ∑   p i (1 − p ) t −iесли 0 ≤ x ≤ t ; i =0  i если t < x1Параметрыt – положительное целое число, р ϵ (0, 1)Область{0,1..., t}СреднееtpДисперсияtp(1– p)Мода p(t + 1) − 1 если p(t + 1) − целое число ; p(t + 1) в противном случаеСвойства распреде1.

Если Y1, Y2, ... , Yt – независимые случайные величины с расленияпределением Bernoulli(p), то Y1+ Y2 + ... + Yt ~ binomial(t, р).2. Если X1, X2, ... , Xt – независимые случайные величины, а Хi ~binomial(ti, р), то Х1 + Х2 + ... + Хm ~ bin(t1 + t2 + ...

+ tm, р).3. Распределение binomial(t, р) симметрично тогда и только тогда, когда р = 1/2.78Продолжение таблицы 2.5ХарактеристикиГрафики функциивероятности распределения binomial(t,p):а – при t = 5,p = 0,1;б – при t = 10,p = 0,1;в – при t = 5,p = 0,5;г – при t = 10,p = 0,5Варианты примененияЗначения характеристик, формулы и графики4. Тогда и только тогда Х ~ binomial(t, р), когда t – Х ~ bin(t, 1– р).Распределения binomial(1, р) и Bernoulli(p) одинаковы.Рисунок 2.11 (a) – Графикфункции вероятности распределения binomial(t,р)(при t = 5, p = 0,1)Рисунок 2.11 (б) – Графикфункции вероятностираспределения binomial(t,р) (при t = 10, p =0,1)Рисунок 2.11 (в) – График функции вероятности распределенияbinomial(t, р) (при t = 5, p = 0,5)Рисунок 2.11 (г) – Графикфункции вероятности распределения binomial(t, р) (при t =10, p = 0,5)Число неудачных экспериментов до s-го успешного эксперимента впоследовательности независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р; число качественных изделий, осмотренных до того,79Продолжение таблицы 2.5ХарактеристикиЗначения характеристик, формулы и графикикак было найдено s-е поврежденное изделие; число товаров из запасовОтрицательное биномиальное распределениеОбозначениеnegativeBinomial(s, p)Функция вероятно s + x − 1 s p (1 − p) x если x ∈ {0,1...};стиp( x) =  x в противном случае0Функция распреде |x|  s + i − 1 s p (1 − p ) i если x ≥ 0ления ∑ F ( x) = i =0  i 0в противном случаеПараметрыОбластьСреднееДисперсияМодаs − положительное целое число, p ∈ (0,1){0,1, …}s (1 − p)ps (1 − p)p2Пусть y = [ s (1 − p ) − 1] / p ; тогда мода y и y + 1 если y - целое число;y  + 1 в противном случаеСвойства распреде1.

Если Y1, Y2, ... Ys – независимые случайные величины с распреленияделением geometric(p), то тогда Y1 + Y2 + ... + Ys ~ negativeBinomial(s,р).2. Если Y1, Y2, ... – ряд независимых случайных величин с распределением Bernoulli(p), аX = min{i : ∑ij =1Y j = s} − s , то Х ~negativeBinomial(s,р).3. Если X1, X2, ... Xm – независимые случайные величины, а Хi ~negativeBinomial(si, р), то X1 + X2 + ... + Xm ~ negativeBinomial(s1 + s2 +… + sm, p).4.

Распределения negativeBinomial(1,р) и geometric(p) одинаковыГрафики функцииРисунок 2.12 (а)вероятности распре– График функделения negativeBiции вероятноnomial(s, p):сти распределеа – при s = 2;ния negativeBinomial(s, p)(при s = 2)80Продолжение таблицы 2.5Характеристикиб – при s = 5Значения характеристик, формулы и графикиРисунок 2.12 (б)– График функции вероятностираспределенияnegativeBinomial(s, p) (при s= 5)Геометрическое распределениеОбозначениеgeometric(p)Варианты примене- Число неудачных экспериментов до первого успешногонияв последовательности независимых испытаний Бернулли, вероятность успеха каждого из которых равна р; число изделий, осмотренных до того, как было найдено первое поврежденное изделие; числообъектов в группе случайного размера; число товаров, затребованныхиз запасовФункция вероятно p (1 − p ) x если x ∈{0,1...};p(x)=стив противном случае0Функция распреде1 − (1 − p )  x +1 если x ≥ 0;F ( x) = ленияв противном случае0Параметрыp ∈ (0,1)ОбластьСреднееДисперсияМодаОценка максимального правдоподобия{0,1,…}(1– p)/p(1– p)/p20pˆ =1X ( n) + 1Свойства распреде1.

Если Y1, Y2, ... – последовательность независимых случайныхлениявеличин с распределением Bernoulli(p), а Х = min{i: Yi= 1} – 1, то Х ~geometric(p).2. Если X1, Х2, … , Хs – независимые случайные величины с распределением geometric(p), то Х1 + Х2 + ... + Хs. имеет отрицательноебиномиальное распределение с параметрами s и р.3. Геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального распределения, в смысле, что это единственное дискретное распределение с отсутствием последействия.Распределение geometric(p) – особый случай отрицательного биномиального распределения (с s = 1 и одинаковыми значениями параметрар).81Продолжение таблицы 2.5ХарактеристикиГрафики функциивероятности распределенияgeometric(p):а – при p = 0,25;Значения характеристик, формулы и графикиРисунок 2.12 (а)– График функции вероятности распределения geometric(p)(при p = 0,25)б – при p = 0,50Рисунок 2.12 (б) –График функциивероятности распределения geometric(p) (при p =0,50)Гипергеометрическое распределениеОбозначениеhypergeometric(N, D, n)Варианты примене- Гипергеометрическое распределение моделирует количество удачнияных выборок без возвращения из конечной совокупности.Типичный пример гипергеометрического распределения: осуществлена поставка из N объектов, из которых D имеют дефект.

Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что в выборке из n (n ϵ N) различных объектов, вытянутых из поставки,ровно k объектов являются бракованными.Функция вероятно D  N − D  ⋅ стиk   n − k p ( k ; N , D, n) =N NФункция распределенияПараметрыN ∈ 0,1, 2, 3...D ∈ 0,1,..., Nn ∈ 0,1, ..., NОбластьk ∈ 0,1,..., n82Продолжение таблицы 2.5ХарактеристикиСреднееДисперсияЗначения характеристик, формулы и графикиnDNn(D N ) ⋅ (1 − D N ) ⋅ (N − n )(N − 1) (D + 1) ⋅ (n + 1)N +2Свойства распреде- В случае, когда размер генеральной совокупности является большимленияпо сравнению с размером выборки (т.е., N намного больше чем n), гипергеометрическое распределение hypergeometric(N, D, n) хорошо аппроксимируется биномиальным распределением binomial(t, p) с параметрами t = n (количество испытаний) и p = D/N (вероятность успехав одном испытании).МодаГрафики функциивероятности распределения hypergeometric(N,D,n)(при n=20; D=20,N=30 (в центре);D=50,N=60(справа);D=20,N=60 (слева))p(k)Рисунок 2.13 – Графики функции вероятности распределения hyperkgeometric(N, D, n)Распределение ПуассонаОбозначениеPoisson(λ)Варианты примене- Число событий, возникающих в интервале времени, когда событиянияпроисходят с постоянной интенсивностью; число объектов в группеслучайного размера; число товаров, затребованных из запасовФункция вероятно e -λ λxесли x ∈{0,1...};стиp ( x) =  x!0в противном случаеФункция распредеесли x < 0;0 x  iленияF ( x) =  - χ λe ∑ i! если x ≥ 0 i =0Параметрыλ >0Область{0,1, …}СреднееλДисперсияλ83Продолжение таблицы 2.5ХарактеристикиМодаЗначения характеристик, формулы и графикиλ − 1 и λ если λ − целое число;в противном случаеλ Оценка максимальλˆ = X (n)ного правдоподобияСвойства распреде1.

Характеристики

Список файлов диссертации