Диссертация (1137535), страница 32
Текст из файла (страница 32)
[Nussbaum 1979: 90–3] и подраздел 2.4.4.155— [Парменид] Но разве возможно, чтобы непричастное тождественномубыло одной и той же меры или имело что-либо тождественное другому?— [Аристотель] Невозможно.— [Парменид] А что не одной и той же меры, то не может быть равно нисебе самому, ни другому.— [Аристотель] Как видно, нет.— [Парменид] Но, заключая в себе большее или меньшее число мер, оносостояло бы из стольких частей, сколько содержит мер, и, таким образом,опять не было бы единым, но было бы числом, равным числусодержащихся в нем мер.426Это упоминание несоизмеримости происходит около 450 г., значит, Платонсчитает, что оно тогда было известно.
427 Если мы согласны, чтодемонстрацию невысказываемости отношения диагонали квадрата и егостороны надо приписать поколению Гиппаса, тогда сложно переоценитьгениальность Феодора, который век спустя сумел эту демонстрациюрасширить. Имея в виду, что прошел целый век, можно смело предположить,что многие пробовали это сделать до него. Но результат получил только он.Резюмируем наши аргументы: (а) ранние пифагорейцы не пользовалисьгеометрическим доказательством, а если и знали чертеж, подобный чертежуна рис. 5, то не считали его доказательством несоизмеримости, потому что(а1) он не был визуально наглядным, потому что (а2) легко произвестиобобщение (у Феодора бы тогда не было причин останавливаться на 17) ипотому что (а3) Эвклид им не пользуется ни в каких целях; (б) ранниепифагорейцы наверняка не знали ни о «традиционном доказательстве черезчетное-нечетное», ни о «доказательстве через единственную факторизацию»(в той форме, которую резюмируют Конвей и Шипман), потому что они(б1) подразумевают знания о единственной факторизации и взаимно простыхчислах, которые невозможно исследовать камешками в двух измерениях и426 Pl.
Parm. 140b–d; [Платон 1993: 365–6].427 [Lučić 2015a: 28].156потому что (б2) здесь тоже легко произвести обобщение, и у Феодора бытогда тоже не было бы причин останавливаться на 17. 428 Тем не менее, мысчитаем вероятным, что ранние пифагорейцы поколения Гиппаса знали«ввертывающиеся в себя» чертежи квадрата и пентаграммы.Критик реконструкции Лучича мог бы задать еще такой вопрос: еслиЭвклид определяет несоизмеримость в духе геометрии, как тогда понятьзаключение, что речь о несоизмеримости на самом деле все это время веласьв области арифметики? На это можно ответить, что если величинынесоизмеримы, то их можно представить только «геометрически» (как этоделается и в «Меноне», и в реконструированном «раннепифагорейскомдоказательстве»),геометрическоенесоизмеримости,какихиопределяетпредставлениепотомучтонедаетпроцесссамЭвклид.наглядностиОднакосамодоказательствадемонстрацииникогданезаканчивается; поэтому даже в конце IV века Эвклид таким действиемникогда не пользуется ни в каких целях, хотя он с ним знаком.4292.3.5.
Открытие несоизмеримости как мыслительный феноменВ литературе дискуссия о возможной связи открытия несоизмеримости сдругими областями раннепифагорейского учения обычно ведется в контекстеположения этого открытия в истории математики.Как мы уже сказали в начале этой главы, легенда гласит, что одинпифагореец (наверное, Гиппас) «погиб в море как нечестивец» или «былизгнанизобщества»попричинеразглашениятайногознанияонесоизмеримости. Появлению такой легенды могло способствовать двойноезначение слова ἄρρητος: «иррациональный, невыразимый в числах» и«священный», «тайный».430Сегодня между авторитетными исследователями в целом существует428 [Lučić 2015a: 27–8].429 [Herz-Fischler 1998: 48]: «arrangements of dots — corresponding to integers — led topurely geometrical statements that Euclid presents».430 Ср.
[Burkert 1972: 461f], [Knorr 1975: 51 n. 6], [Жмудь 2012: 238 n. 132].157практический консенсус по поводу того, что никакого кризиса в математикеоткрытие несоизмеримости не произвело.431 Отсутствие свидетельств,которые бы подтвердили возникновение кризиса, резюмирует Буркерт:Платон и Аристотель, несмотря на свои многочисленные упоминаниянесоизмеримости, не упоминают ни о каком скандале, вызванном открытиемнесоизмеримости;Эврит,очевидно,намногопозжемнимого«землетрясения», вызванного этим открытием, дает вещам форму с помощьючисел; Аристотель никогда не использует несоизмеримость как аргументпротив пифагорейцев.432 Таким образом, утверждается, что открытиенесоизмеримости не только не произвело большого эффекта в математике;утверждается, что оно вообще не произвело никакого эффекта.Норр, историк математики, наоборот, подразумевал что «открытиеиррациональности» было настолько всеприсутствующим, что «наивный»взгляд «Экфанта» просто не мог артикулироваться после такого открытия, ииз-за этого совершил грубые хронологические ошибки.433Жмудь этот вывод критикует, называя хронологию Норра «произвольным431 «Классическую» формулировку возникновения «кризиса фундаментов»(Grundlagenkrise) математики находим у Ван дер Вардена [Van der Waerden 1940/41:155]: «Открытие иррационального заставило отречься от идеи, что все прямые могутбыть представлены как числа; это понимание являлось решающим для всейструктуры вавилонской и раннегреческой математики.
Мы были вынужденыпревратить алгебру, которая не отличала прямые и числа, в геометрическую алгебруи четко отделить ее от теории чисел.» В своей посмертно опубликованной лекцииНорр [Knorr 2001: 124–6] реконструирует, как могла появится идея о математическомкризисе, вызванном открытием несоизмеримости. Тезис о кризисе фундаментовматематики появился в труде Таннери в 1887; по его словам, «la découverte del’incommensurabilité par Pythagore dut donc causer, en Géométrie, un véritable scandalelogique, et, pour y échapper, on dut tendre à restreindre autant que possible l’emploi duprincipe de similitude» [Tannery 1887: 98].
Другими словами, Таннери подразумевалпредпосылку соизмеримости всех величин. Таким образом, получается, что он изгипотезы делает вывод о том, что кризис «должен был случиться». Далее в текстеНорр описывает, как из такого неверного предположения сложилась неточнаяреконструкция понимания числа в IV веке.432 [Burkert 1972: 461–2]. Как напоминает Буркерт, псевдоаристотелевский текст «Delineis insecabilibus» пользуется иррациональностью как аргументом против«атомистических линий» Ксенократа (Ps.-Ar. Lin. ins. 969b33ff).433 [Knorr 1975: 43–4].158датированием».434 Однако с другой стороны, он считает, что «открытиенесоизмеримости» не повлияло ни на что, и, в пользу такого взгляда,указывает на свидетельство Аристоксена, который в IV веке спокойно писал,что «между всеми числами имеется λόγος» (fr.
23)435, как и то, что «междуГиппасом и Феодором (продолжившим его исследования) прошло двапоколения»436 (предполагаем, что под этим имеется в виду, что кризис былпричиной более интенсивного исследования самой проблемы).Еще Ван дер Варден сформулировал «классическое» резюме такогоподхода: «Кризис фундаментов (Grundlagenkrise) греческой математики, помоему мнению, не был философской, но внутренней математической вещью,и он произошел из открытия иррационального».437 Буркерт в этом согласен сним: «Иррациональное принадлежит к области геометрии, а не арифметики.Для пифагорейцев, связанных с числовой теорией, описанной Аристотелем, идля космологии, которая основывается на фразе “все есть число”,иррациональное не имело никакого значения.
[…] Пифагорейская теориячисел и дедуктивная математика лежат в двух разных плоскостях: “все вещисуть число” никогда не значит, что “все величины соизмеримые”.»438НесколькоутвержденийБуркерта,НораимеждуГиппасомЖмудянуждаютсявкомментариях.(а) ВременнáядистанцияиФеодором,которыйпродолжил его исследования, может говорить не об отсутствии интереса, анаоборот, о том, что предмет был слишком сложным для старойраннепифагорейскойпарадигмы.Изложеннаянамивпредыдущих434 [Жмудь 2012: 353].435 Aristox. fr. 23 = DK 58 B 2 [Stobaeus 1, Proem 6 (p. 20.1 Wachsmuth)]: «[...] все вещиимеют число и между всеми числами имеется отношение (λόγος)».
Перевод Жмудя:«Ведь число содержит в себе и все остальное, и между всеми числами имеетсяλόγος» [Жмудь 2002: 308], [Жмудь 2012: 226, 390].436 [Жмудь 2012: 240–1].437 [Van der Waerden 1940/41: 155].438 [Burkert 1972: 242]. Буркерт добавляет: «In Pythagorean number theory the relations ofexisting things are interpreted, and the “nonexistent” is left out of account».159подразделах реконструкция наглядно демонстрирует, насколько сложнымоказалось обсуждение концепта несоизмеримости в рамках двухмернойарифметики.(б) «Иррациональное»,какутверждалБуркерт,действительнопринадлежит геометрии, и это видно из определения Эвклида; вероятно, ипервое соприкосновение с несоизмеримостью в V веке было геометрическим(2.3.2); однако, как мы видели, оно касается арифметики, потому чтоФеодору, а возможно, и первооткрывателю (2.3.4) нужно было найти способперейти к этой области по причине визуальной неочевидности бесконечногоповторения на «ввертывающихся в себя» чертежах;(в) Говорить «все вещи суть число» равно «все величины соизмеримы»можно только исходя из перспективы толкования Аристотеля; как мы видели(2.1.2–2.1.3),такоетолкованиеподразумеваетнесуществующийупифагорейцев концепт числа.(г) Буркерт интерпретирует «кризис» так, что пифагорейцы были бывынужденыотказатьсяотсвоейметафизики,еслибынаних(математическое) открытие несоизмеримости оставило какое-то впечатление.Однако разве неустойчивые и внутренне напряженные системы редковстречаются в истории идей? Утверждение Буркерта подразумевает, чтораннепифагорейская система была некой непротиворечивой и устойчивойконструкцией; как мы увидим в разделе 2.4, дела обстояли скорее наоборот.(д) Несмотря на то, что позиции Жмудя и Норра расходятся, они, на нашвзгляд, совпадают в том, что проецируют концепт научной парадигмы (как ееописал Кун), которая рушится в силу неспособности интегрировать в себявозникшее новое знание.
Один и тот же аргумент применяется в двухсовершенно разных направлениях. В обоих случаях мы имеем дело санахронизмами.На наш взгляд, только после Теэтета можно говорить о действительномотделении математики. Способ абстракции у Теэтета, который век спустя,привел к созданию таких произведений, как «Начала» Эвклида, стал160возможным только благодаря появлению нового концепта числа, и этотабстрактный концепт, по всей видимости, является как раз тем, чтоАристотельописываетприписываетЛучич:ранним«Теэтетпифагорейцам.пришелкобщемуСитуациюнагляднорешениюпроблемынесоизмеримости, а Эвклид поместил это решение в Книгу VIII. Новаяарифметика была независимой от рисунков и не ссылалась на теории четногои нечетного.
Дедуктивная структура доказательства, которое Эвклидприводит для VIII.14, очень сложна по сравнению с дедуктивнымиструктурами раннепифагорейских доказательств, включая доказательстваФеодора. Только после Феодора логическая структура (точность) получаетболее высокий статус, чем визуальная очевидность. Арифметические книги“Начал” являются прекрасным примером этой новой арифметики.»439Если на это событие посмотреть в рамках нашего уже сложившегосякомплекса мыслительных феноменов, перемены, происходящие в арифметикев IV веке показывают, что дотеэтетовская арифметика как мыслительныйфеноменнеотличаетсяотдругихпроявленийфеноменапрото-упорядочивания одинакового. И в «арифметике», и в «геометрии» V века мыимеемделосчертежом,состоящимиздемонстрациипрото-упорядоченности.440 Поэтому трудно утверждать, что онтология числа уФилолая стоит особняком.Учитываямыслительноеродствораннепифагорейскихактивностей,относящихся сегодня к разным дисциплинам, очень сложно, на наш взгляд,вообразить полную дизъюнкцию «математиков» и «метафизиков».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
