Диссертация (1137535), страница 31
Текст из файла (страница 31)
[Жмудь 2012: 227], [Fritz 1963: 203]), делают болееразумным предположение, что первооткрывателем был сам Пифагор, а не некаянеизвестная нам личность. Однако для данной диссертации эта аргументация ивывод не имеют практического значения.149задал рабу, но Феодор пытался его обобщить. Действительно, в контекстенамека из «Менона», эта идея звучит вполне правдоподобно. Процитируемеще раз слова Теэтета (Tht. 147d):Присутствующий здесь Феодор чертил [ἔγραφε] нам что-то о квадратныхкорнях [περὶ δυνάμεων], показывая, что стороны квадратов, содержащихтри [τρίποδος] и пять квадратных футов [πεντέποδος], несоизмеримы состороной одного квадратного фута. Он выбирал один за другим квадратывплоть до семнадцатифутового [ἑπτακαιδεκάποδος], а на нем остановился.РеконструкцияЛучичадвижетсяследующимобразом.Говорясовременным языком, в «Меноне» показано, что нет таких рациональных p иq, где p2 = 2q2.
Феодор же решил найти, есть ли такое k, где p2 = kq2. С учетомстатуса арифметики четного и нечетного в его время, он проверял два случая:существуют ли такие четные k; существуют ли такие нечетные k.В первом случае наглядно демонстрируется, что у нас получается тольковариант простого меноновского доказательства (рис. 15). Другими словами,случаи с увеличением площади в, например, 6 и 10 раз простымипсефическими операциями превращаются в случай с 3 и 5 соответственно.Во втором случае, если k нечетное, Феодор знал, что либо и p, и q четные,либо оба нечетные.
Для этого требуется элементарное знание о четностипроизведения четных и нечетных чисел (рис. 11). Если они оба четные, тогдапроцесс упрощается, как в предыдущем случае, пока он не дойдет досостояния как в «Меноне», или пока не превратится в случай с нечетнымувеличением. И в этом последнем случае, с увеличением площади в нечетноечисло раз, найдется ответ.В современной записи этот случай выглядит так: (2а + 1)2 = k (2b + 1)2. Впсефической арифметике квадрат нечетного числа выглядел так:150Рис.
17: Квадрат нечетного числа: 8 треугольных чисел и единичныйэлемент [Lučić 2015b: 12.7]. Ср. [Knorr 1975: 175], [Itard 1961: 35].Заметим, что он состоит из 8 одинаковых треугольных чисел и одногоэлемента в середине; это квадратный вариант определения нечетного числакак такового (вспомним вышеприведенный fr. 23 Аристоксена, в которомнечетное число имеет «середину»). Итак, квадрат нечетного числа надоувеличить в k раз.
Что могло означать действие Феодора, когда тот «чертилчто-то о квадратных [корнях]»? Если надо увеличить такое число в несколькораз, тогда увеличение должно ровно распределяться на все элементы, т. е. на8 треугольных чисел плюс на единичный элемент в центре.Чтобы получить новый квадрат (и чтобы результат остался нечетнымквадратным числом), надо его вновь свести к формуле (2x + 1)2, т.
е. сделатьтак, чтобы в центре опять остался только один элемент, а около него 8треугольных чисел. Это означает, что количество камешков из увеличенногоцентра, уменьшенное на 1, нужно поровну распределить на 8 частей. Значит,если мы хотим, чтобы можно было увеличить изначальный квадрат в k раз исохранитьсоизмеримостьсторонбольшогоквадратасосторонойизначального, тогда мы должны увеличивать только в такое число раз,которое можно выразить в формуле 8n + 1.Здесь надо сказать, что первым важность формулы 8n + 1 понял Итар.419Следующий шаг, который Конвей и Шипман считают отдельным типом419 [Itard 1961: 33–9]. Анализ идеи Итара: [Knorr 1975: 113–14].151доказательства, совершили Башмакова и Лапин: они соединили открытиеИтара с «традиционным доказательством по четному и нечетному», показав,что Феодор не мог доказать случай 17 простым методом четное-нечетное.
420Однако, как отмечает Лучич, они пользуются такой же аргументацией, как и вслучае с «традиционным доказательством с помощью четного и нечетного».А это означает, что и доказательство Башмаковой и Лапина не являетсяреконструкцией доказательства Феодора.Рис. 18: Реконструкция трех- и пятикратного увеличенияквадрата из лекции Феодора [Lučić 2015b: 12.7].Продолжим изложение реконструкции Лучича. Когда Феодор, по словамТеэтета, «выбирал один за другим квадраты», он сразу отбрасывал случайтрехкратного и пятикратного увеличения, и это легко показать на чертежах спомощью псефов (рис.
18).В обоих случаях количество новых элементов невозможно распределить на8 частей, и рисунок это наглядно показывает. В первом случае на 8треугольных чисел надо распределить остаток из 2 камешек; во второмостаток из 4. Поэтому «не существуют нечетные p и q, где q2 = 3p2» или q2 =5p2,421 т. е. трехкратный и пятикратный по площади квадраты «неуловимы»,как и друхкратный квадрат раба Менона. То же самое произошло и когдаФеодор рисовал соответствующие квадраты с фактором увеличения 7 (6 неделится на 8 частей) и т. д.Вернемся к вопросу: почему он остановился на 17? Если не планируем, как420 [Башмакова, Лапин 1986: 10].421 [Lučić 2015b: 12.7].152Норр, утверждать, что он остановился по причине ограниченного временилекции(«лекциядолжнабыладлитьсяпримерночас») 422,нужноматематическое обоснование этого препятствия.Первое увеличение в 8n + 1 раз, с которым должен был встретитьсяФеодор, было, конечно, 9.
Это первое увеличение, которое дает намвозможность найти увеличенный квадрат, сторона которого соизмерима состороной единичного квадрата. Феодор показал примерно такое:Рис. 19: Реконструкция девятикратного увеличения квадрата из лекцииФеодора [Lučić 2015b: 12.7].Решение появилось сразу, уже с n = 1. Если левый квадрат на рис. 19(наименьший, который наглядно демонстрирует квадрат нечетного числа,состоявшего из 8 треугольных троек и одной единицы в центре) увеличиваемв 9 раз, получаем 8 элементов из 3 · 9 = 27 камешков и 9 в середине.
Теперьделаем квадрат нечетного числа: 8 элементов излишка из центрараспределяем на 8 частей: получается 8 раз 28, а 28 — треугольное число (1 +2 + … + 7 = 28). В середине остался один камешек. Сторона нового квадрата— 15: (8 · 28 + 1) = 225 = 152. Таким образом, сторона «девятифутовогоквадрата» (квадрата с площадью в 9 футов) соизмерима со стороной«однофутового квадрата».
Похожее действие будет и для n = 3, 6, 10, 15 и т. д.Однако когда Феодор дошел до следующего увеличения в 8n + 1 раз, т. е.до 17, он столкнулся с ситуацией, в которой просто не мог найти n, с422 [Knorr 1975: 193] упоминает возможность, что студенты Феодора что-то уже знали.Как резюмирует Жмудь [Жмудь 2012: 239], «недостающее 2, как мы видели,происходит из факта, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата былахорошо известна еще до времени Феодора».153помощью которого можно измерить сторону большого квадрата.Другими словами, заключает Лучич, Феодор не мог ответить на вопрос отом, соизмеримы ли сторона квадрата из 17 футов со стороной квадрата в 1фут, пользуясь средствами доступной арифметики.Вот почему Феодор остановился.
Он остановился не потому, что доказал,что «корень из 17 иррационален» и дальше не сумел. Он остановился потому,что не мог ни наглядно увеличить квадрат в 17 раз, ни нагляднопродемонстрировать, что это невозможно.423Теперь мы должны рассмотреть последнюю часть свидетельства Теэтета.Он говорил, что Феодор показывал, что «стороны квадратов, содержащих три[τρίποδος] и пять квадратных футов [πεντέποδος], несоизмеримы со сторонойодного квадратного фута». Критик реконструкции Лучича может задатьвопрос (3): если это толкование лекции Феодора правдоподобное почемутогда Теэтет говорит о несоизмеримости сторон? В этих реконструкциях несодержится демонстрации ничего подобного. Другими словами, как отдемонстрации (и ее невозможности в случае 17) Феодора происходит переходк утверждению о несоизмеримости сторон соответствующих квадратов?Здесь надо иметь в виду, что Платон приводит слова Теэтета, а не словасамого Феодора.
Как говорил сам Теэтет, ему «число корней показалосьбесконечным», и они попытались «объединить их все под одним именем».Это означает, что ученик последних пифагорейцев перевел арифметику нановый уровень. (И это не единственный вопрос об обобщении, который онзадал: вспомним его обобщение вопроса про правильные полиэдры.) УчительТеэтета, Феодор, сделал максимально возможное в старой парадигме,арифметике камешков, которая опиралась на знания о четном-нечетном ирассуждения, подобные описанным в «Меноне». В этой парадигме он задавал423 По всей видимости, ближе всех к этому добрался Итар ([Itard 1961: «Peut-êtrefaudrait-il entendre le passage du Théètète comme exprimant justement cette difficulté.
Lavicille arithmétique du pair et de l'impair bute sur le premier obstacle √17, 17 étant ainsi leplus petit nombre, le “pythmen” des cas qu'elle n'arrive pas à réduire»). Однако, он«тестирование» квадратов нечетных чисел сводит к методу «четное-нечетное».154только старый «меноновский» вопрос об увеличении площади квадрата и всвоей лекции поставил точку на одну эпоху, эпоху арифметики камешков. Изреконструкции Лучича следует, что только Теэтет мог задать универсальныйвопрос об отношениях диагонали и сторон так, как мы это делаем сегодня.
424Для того, чтобы он задал такой вопрос, ему требовалась новая идея числа.Из этой перспективы наша настойчивость в разделе 2.1 на том, что нельзяпроецировать аристотелевское (сейчас лучше сказать: дотеэтетовское)понимание числа, оказалось справедливым. На переходе с Феодора наТеэтета видно, что только у Теэтета число перестает быть связано с чем-токонкретным единичным.425 Поэтому отрицание «математичности» единому уФилолая — анахронизм, который не опровергает связь «единого» и «единиц»из его фрагментов. Теперь наш концепт прото-единицы благодаря новомузнанию о том, чем он не является стал более определенным.Что касается хронологии событий, посмотрим фрагмент из «Парменида», вкотором речь идет о несоизмеримости:— [Парменид] Далее, будучи таким, оно не будет ни равным, нинеравным ни себе самому, ни другому.— [Аристотель] Почему так?— [Парменид] Будучи равным, оно будет иметь столько же мер, сколькото, чему оно равно.— [Аристотель] Да.— [Парменид] А будучи больше или меньше тех величин, с которымионо соизмеримо, оно по сравнению с меньшими будет содержать большемер, а по сравнению с большими — меньше.— [Аристотель] Да.— [Парменид] А по отношению к величинам, с которыми оно несопоставимо, оно не будет иметь ни меньше, ни больше мер.— [Аристотель] Как же иначе?424 [Lučić 2015b: XIII].425 См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
