Диссертация (1137535), страница 29
Текст из файла (страница 29)
К ним принадлежит исамое ранее конкретное упоминание несоизмеримых величин. Его мынаходим у Платона в «Теэтете», когда там идет речь о Феодоре. Процитируемэтот важный отрывок, в котором беседуют Сократ и Теэтет:[Сократ:] Не геометр ли он [Феодор]?[Теэтет:] Несомненно, Сократ.— Не знаток ли он также астрономии, искусства счета, музыки и вообщевсего, что касается образованности?— По-моему, да. […]— Скажи мне тогда: узнаёшь ли ты от Феодора нечто о геометрии?— Да.— И о астрономии, гармонии, вычислениях тоже? Стараюсь по крайнеймере.— Вот и я, мальчик мой, тоже учусь у него и всех остальных, кто, помоему, что-то в этом смыслит. Присутствующий здесь Феодор чертил[ἔγραφε] нам что-то о квадратных корнях [περὶ δυνάμεων]394, показывая,394 Так «περὶ δυνάμεων» переводит Лебедев.
В [Платон 1993: 198] стоит: «Вот Феодоробъяснял нам на чертежах нечто о сторонах квадрата», что выглядит лучше.Английский перевод [Plato 1921]: «Theodorus here was drawing some figures for us inillustration of roots». Однако, все эти переводы пользуются несуществующими воригинале понятиями «корень» или «квадрат». Норр [Knorr 1975: 181] переводит так:139что стороны квадратов, содержащих три [τρίποδος] и пять квадратныхфутов [πεντέποδος], несоизмеримы со стороной одного квадратного фута.Он выбирал один за другим квадраты вплоть до семнадцатифутового[ἑπτακαιδεκάποδος], а на нем остановился.
И вот нам пришло на ум,поскольку число корней казалось бесконечным, попытаться объединитьих все под одним именем, которым мы назовем все эти корни. — Ну икак, нашли вы такое имя?— По-моему, нашли, но смотри сам.— Говори.— Мы разделили все числа на два разряда. Те, которые способныполучаться путем перемножения равных множителей, мы уподобили пофигуре квадрату и назвали их квадратными и равносторонними.— Отлично.— А те, что находятся между ними, как, например, три, и пять, и всякоечисло, которое не может получится из умножения равного на равное, нолибо большего на меньшее, либо меньшего на большее, так что нафигуре оно всегда заключено между неравных сторон, мы уподобилипрямоугольной фигуре и назвали прямоугольным числом.— Отлично.
Но что потом?— Все линии, которые квадрируют плоско равностороннее число, — какпотенции (δυνάμεις), поскольку они несоизмеримы с первыми по длине,но лишь по плоскости, которую они могут [~ обладают потенцией][заключают в себе]. То же и об объемных фигурах.395Первое, что нужно заметить — это «изображение квадратов», что, напервый взгляд, говорит в пользу геометрического доказательства. Кроме того,наблюдается отсутствие квадрата «из двух квадратных футов». Логично«Theodorus was proving for us via diagrams something about powers, in particular aboutthe tree-foot-power and the five-foot-power — demonstrating that these are notcommensurable in legth with the one-foot-power, — and selecting each power individuallyin this way up to the seventeen-foot-power; but in this one for some reason he encountereddifficulty».395 DK 43 4 = Pl.
Tht 145a–148a. Перевод Лебедева. Ср. [Лучич 2015а: 3] и [Knorr 1975:ch. 3].140предположить, что этот факт («иррациональность √2») тогда был известен.Однако ситуация с реконструкцией действий Феодора далеко не проста.Исследователю данного вопроса надо разобраться с тремя проблемами:(1) какое доказательство больше соответствует духу математики V (или дажеVI)века?(2) почемуФеодоростановилсяименнона17?(Удовлетворительный ответ должен показать, почему 17 представляетпрепятствие, естественно происходящее из средств, которыми располагали вовремена до Феодора);396 (3) «Стороны квадратов […]несоизмеримы со стороной одного квадратного фута» —это трактовка Теэтетом результатов, которых добилсяФеодор, или слова самого Феодора?Одно из исторически возможных раннепифагорейскихРис.
12:ГенерализацияпредполагаемогогеометрическогодоказательстваФеодора [Knorr 1975:182].доказательств397 — «геометрическое», и мы описали его вглаве 2.2.1. В нем появляется бесконечное повторениеодногоитогопопеременногожегеометрическоговычитания,испроцессапомощьюнегопоказывается, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы (т. е., чтостороной невозможно измерить диагональ).Если это действительно было так, тогда логично предположить, чтоФеодор продолжил действия Гиппаса в его гипотетической геометрическойформе. Как реконструирует Норр, Феодор мог демонстрировать своейаудитории корни нечетных и четных величин следующим образом: «Есличисло N нечетное, то сторона квадрата из N площадных единиц (units)конструируется как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой(N + 1) / 2 линейных единиц и чей второй катет равен (N - 1) / 2 единиц.
[…]Если число N четное, √N конструируется как половина катета прямоугольноготреугольника с гипотенузой N + 1, чей второй катет равен N - 1.»398396 [Lučić 2015b: 12.5].397 [Lučić 2015a: 27].398 [Knorr 1975: 181–2].141Другими словами, по мнению Норра, фигура с рис. 12 была известнаФеодору, более того, она являлась центральным элементом его лекции.399Когда мы вслед за Теэтетом делаем вывод о несоизмеримости, тогда наширассуждения переходят в область арифметики.
Как предполагал Норр,«говорить, что корень и единица (unit) состоят в отношении A:B означает, чтосуществует некая меньшая длина, которой можно измерить корень А раз, а[саму] единицу (unit) B раз.»400 Принимая меньшую длину в качестве новойединицы, конструкция левого треугольника на рис. 13 превращается в«числовой» треугольник на этом же рисунке.
Норр добавляет, что «имея ввиду “числовой” характер метрической геометрии, которая стояла задействиями Феодора, такое превращение, вероятно, могло подразумеваться втот исторический период.»Рис. 13: Реконструкция гипотетического геометрическогодоказательства Феодора [Knorr 1975: 183].Лучич, однако, считает геометрическое доказательство маловероятным подвум причинам.401Первая — визуальная очевидность (наглядность), главный элементматематики раннего периода, в конструкциях, изображенных на рис. 5 и 7,отсутствует; она несопоставима с незаконченным.
Лучич делает важноезамечание о том, что даже Эвклид, почти через два века после Гиппаса(которомуприписываетсяпервоегеометрическоедоказательство),непользуется таким приемом ни с какими целями.399 Норр даже связывает эту конструкцию с древним методом определенияпифагорейских троек [Knorr 1975: 206 n. 30].400 [Knorr 1975: 184, 206–7 n. 31].401 [Lučić 2015a: 27, 30].142Вторая причина — след этих интеллектуальных событий в «Началах».Эвклид описал процесс, представленный на рисунке 5, в определении X.2(процитированонамивподразделе2.2.1)идалгеометрическоедоказательство. Однако, несмотря на кажущуюся важность и полезность, онэтим результатом нигде в «Началах» не пользуется.
В связи с этим, в своейнедавней работе Лучич выдвигает тезис о том, что предложение VIII.14 насамом деле является доказательством Эвклида теоремы Теэтета, о которойречь шла в «Теэтете». Предложение VIII.14 гласит:Если квадрат измеряет квадрат, то и сторона измерит сторону; и еслисторона измеряет сторону, то и квадрат измерит квадрат.402Однако доказательство этого предложения не геометрическое.403 Эвклид внем пользуется квадратными числами. Если это так, то VIII.14 содержитсвидетельство о том, что представляли собой первые попытки действий внепсефической арифметики, когда прото-единицы ушли в прошлое.Итак: (1) геометрическое доказательство (Х.2) Эвклид дает, но нигде им непользуется; (2) доказательство предложения, похожего на описание лекцииФеодора, — арифметическое.
Значит, предложение Х.2 не имеет связи сФеодором,иидеяогеометрическомдоказательстведолжнабытьотброшена.404Рис. 14: Примеры генерализации в гипотетическом геометрическомдействии Феодора [Lučić 2015b: 11.6].402 Euc. VIII, prop. 14; [Эвклид 1949–50, VII–X: 57].403 [Lučić 2015a: 27].404 [Lučić 2015b: 2.8].143Другая причина, по которой геометрическое доказательство маловероятно,— легкость обобщения (рис. 14). Геометрическое доказательство настольколегко обобщить, что, если, как предлагает Норр, Феодор знал о конструкции,показанной на рис.
12, не было бы никаких причин останавливаться на 17.Более того, случай с 17 не только не должен стать препятствием; онтривиален и намного легче примера с 3. Для доказательства несоизмеримостистороны семнадцатифутового квадрата со стороной однофутового достаточнонарисовать треугольник со сторонами 1 и 4 и применить бесконечноеповторение, изображенное на рис. 5.405 Поэтому практически отсутствуетвероятность, что Феодор пользовался геометрическим доказательством.406Мы считаем эти аргументы крайне убедительными и еще вернемся к ним вэтом подразделе.Достоверность вывода о том, что Феодор не пользовался геометрическимдоказательством, заставляет нас пересмотреть все, что мы говорили прооткрытие «иррациональности √2», приписываемое Гиппасу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
