Диссертация (1137535), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Таким образом, простая формула 3 2 + 42 = 52 может означатьгармоническую комбинацию («брак») основных ограничивающих (нечетных)и безграничных (четных) начал космоса».321Филолай, как мы помним,отметилважнуюособенностьэтого«владениячислом»(всмыслевышеупомянутой числовой природы гармонии): выразимость. Вспомним, чтоон говорит в фрагменте 4:И впрямь все, что познается, имеет число (ἀριθμὸν ἔχοντι), ибоневозможно ни понять ничего, ни познать без него. 322Если Кан прав, тогда один из самых ярких примеров связи гармониявыразимое — это как раз треугольник со сторонами 3, 4 и 5, потому что то,319 [Kahn 2001: 33].320 Мы рассмотрим «таблицу противоположностей» в разделе 3.1.321 [Kahn 2001: 33]; ср.
[Burkert 1972: 170 n. 25].322 DK 44 B 4 [Stobaeus. Eclogae 1.21.7b (1.188.5 Wachsmuth)].112что «невозможно познать», т. е. невыразимое (ἄρρητος), полностью сходится ссутьюпифагорейскогооткрытия,котороевнашидниназывают«иррациональностью». Теперь пришло время подробного изучения этогосложного и важного вопроса; в процессе мы также выясним, действительноли речь шла о треугольнике, или «пифагорейские числа» не были связаны сгеометрией.323В подразделе 2.1.2 мы отметили в интерпретации Филолая Хафменомидею, согласно которой, «элементы гармонии» (например, 3 и 4) показываютна некое «реальное упорядочивание». В интерпретации Хафмена эта идеяявляется частью более общего тезиса о гармонических отношениях как очетно-нечетныхчислах,ивтакойформеонасвязанатолькос«эпистемологией» Филолая. Мы такую интерпретацию отбросили, заметив,однако, что концепт «показывания-на» представляет для нас большуюценность.
Теперь можно сказать, что концепт «показывания-на» во многомнапоминает то, как Кан понимает треугольник со сторонами 3, 4, и 5. В нашейинтерпретации можно представить это так: три и четыре, потомства протоединицы, будучи вместе внутри некой прото-упорядоченности (arrangement),указывают на другое потомство этой же прото-единицы, которое, как и они,состоит из повторенного одинакового (этих же прото-единиц). В данномслучае, на выразимое.В пользу такого толкования отношения сторон можно вспомнить и то, чтоЭвклид в предложении I.47 (в котором в соответствии с уровнем современнойему математической науки доказывает обобщенную «теорему Пифагора»)называет гипотенузу «стороной, стягивающей прямой угол» (ᾑ πλευρὰ τῂν323 Как объясняет Лучич [Lučić 2009: 71], каждая из 13 книг «Элементов» Эвклидазавершается одной важной теорией («предложением») из области современнойгеометрии; «теоремой Пифагора» заканчивается первая книга (предложение 47), тоесть она «входит в формально обоснованную геометрию».
«Теорема Пифагора»обычно рассматривается вне «доказательства несоизмеримости», несмотря на то, чтоона является специфическим случаем определения отношения стороны и диагонали втреугольнике.113ορθῂν γωνίαν ὑποτείνοοσα).324 Сложно избавиться от впечатления, что такоеописание «гипо-тенузы» соответствует древнему концепту «указывания-на»,особенно с учетом того, что «теорема Пифагора» может оказаться хотя быотчасти старше Гиппаса.325 К этим параллелям мы вернемся в подразделе2.3.5.2.3.
Мыслительный феномен несоизмеримости в раннемпифагореизме2.3.1. Терминологические и методологические проблемыСамо название раздела 2.3 подразумевает, что мы попытаемся исследоватьместо открытия несоизмеримости вне контекста истории математики в узкомсмысле.В научной литературе можно встретить вывод о том, что у раннихпифагорейцев не было настоящей математики до Архита.326 Учитывая, чтосамого Архита не во всех случаях считают пифагорейцем327, содержание324 Euc. I, prop. 47; [Эвклид 1948–50, I–VI: 58].325 Аргументы в пользу древности «теоремы Пифагора» Жмудь суммирует следующимобразом: «Гиппократ Хиосский использует обобщенную “теорему Пифагора” дляостроугольных и тупоугольных треугольников (II.12–13), и из этого ясно, чтоаналогичная теорема для прямоугольных треугольников была доказана до него.Сохранившееся в конце Х книги “Начал” пифагорейское доказательствонесоизмеримости диагонали квадрата с его стороной опирается на теорему Пифагора(VII.5), поэтому она была доказана до Гиппаса» [Жмудь 2012: 222].326 Как резюмирует Жмудь [Жмудь 2012: 243 сн.
157], что Буркерт полагал, «что доАрхита пифагорейская арифметика состояла из заимствованных у вавилонян формул,числовой мистики и туманных спекуляций о четном и нечетном»; ср. [Burkert 1972:427ff]. В своей недавней статье Нец делает вывод: «Если кто-то один и несетбольшую, чем остальные, ответственность за интеллектуальный характер первойгруппы математиков [к которой принадлежат пифагорейцы — Н. Л.], то это, безсомнения, должен быть Архит» [Netz 2014: 171].327 Аристотель уделяет Архиту достаточное внимание, при этом не считая егопифагорейцем [Huffman 2005: 45]; Жмудь не считает Архита последователем раннегопифагореизма [Жмудь 2012: 8]. Однако, как отмечает Хафмен [Huffman 2005: 44],Архит как никто другой соответствует традиционным представлениям опифагорейской традиции, даже «более, чем сам Пифагор».114понятия «раннепифагорейская математика» рискует оказаться пустым.Однако, такой результат оказывается в некотором роде тавтологическим: онговорит, что до начала истории математики (в современном смысле) не быломатематики (в современном смысле).В рамках данного диссертационного исследования нас не интересуетвопрос о том, насколько деятельность пифагорейцев V в.
можно считатьматематикой (геометрией или арифметикой в современном смысле): как мыуже отмечали, приписывать мыслителям V в. владение концептами издисциплин последующих периодов не приведет к достоверным выводам.Надеемся, что в разделе 2.1 нам удалось показать, что еще Аристотельсталкивался с такой проблемой.Даже самые скептически настроенные авторы не отрицают того факта, что«настоящая математика» Архита не могла появиться «из ниоткуда», чтоозначает предшествующее развитие некой деятельности, которая в итогестала частью «истории математики». На основании этого факта мы делаемдругое методологическое замечание: не стоит считать, что все доматематические активности создавались с целью обоснования некойуважаемой и возвышающейся над всеми остальными области, будь томатематика или точные науки. В противном случае это бы означало именното, что имел в виду Хайдеггер, говоря, что мы «твердо стоим на своем краю».К примеру, Эврит на вряд ли ставил перед собой цель сделать свои идеифундаментом современной арифметики, а затем получить от Барнса оценкусвоих поступков как «грубой аналогии грандиозного научного задания».328Похожая ловушка таится и в безобидном на первый взгляд распределенииролей: как отмечалось, Жмудь обращает внимание и на то, что именно Эврити Экфант, ранние пифагорейцы, «как раз ничем не проявившие себя вматематике»,посредствомсвоих«арифмологическихспекуляций»обнаруживают «явный интерес к этому предмету».329 Это утверждение328 [Barnes 1982: 307].329 [Жмудь 1994: 317].115имплицирует, (а) что у тех, кто «проявил интерес к предмету» (например,Гиппас или Феодор), предмет уже был задан и (б) что такой предмет непересекается с другими, например, с предметом философии Филолая.
У наснет права на предположения такого рода; четко сформулированный предметсуществует только в современной истории науки. Значение открытиянесоизмеримости, концепта, который интересует нас в этом подразделе,обичнооцениваетсякакразизперспективы«историинастоящейматематики».330 Конечно, из этой перспективы доказательства противзаявлений о том, что это открытие привело к кризису науки (подобномукризису в математике нач.
XX в.) оказываются более чем убедительными. Нодаже несмотря на то, что никакого кризиса в математике не было, из этого неследует, что феномен несоизмеримости никак не повлиял на формированиераннепифагорейского мировоззрения.Мы попробуем найти самую достоверную реконструкцию открытиянесоизмеримости среди существующих; установить, какие мыслительныедостижения оказались необходимы для того, чтобы она появилась (внезависимости от места этого достижения в истории математики), а затемпопробоватьсравнитьегосостальнымиужеописанныминамимыслительными феноменами, имеющими непосредственное отношение краннему пифагореизму V в.Научная литература по теме пифагорейской математики довольнообъемная, зачастую сложна для понимания и преимущественно написанаязыком современной математики. На наш взгляд, эта литература плохосправляется (впрочем, она не видит необходимости справляться) счрезмерным употреблением переменных и легкостью генерализаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
