Диссертация (1137535), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Более того, символ «√2» подразумевает настольковысокую степень формализации и связи между арифметикой и геометрией,что это далеко отстоит не только от прото-математических практик V в., нодаже и от Эвклида. Если прибавить современную символику, характернуюдля книг по истории греческой математики, будет понятно, насколько легкоэто может ввести в заблуждение даже самого внимательного исследователя,который начнет приписывать древнему мыслителю формализованныеутверждения, которых у него не было и быть не могло.Целью данной диссертации не является анализ результатов исследованиймногих поколений историков математики, которые по большей части ужеподытожил сам Норр. Мы будем ссылаться на то, по поводу чего достигнутболее или менее очевидный консенсус, и только на те аспекты открытий,которые непосредственно связаны с темой нашего исследования.2.3.2. Первое открытие: квадрат или пентаграмма?Открытие существования несоизмеримых величин и формализация ихсловесного описания происходили в несколько этапов.
Широко известныесвидетельства, которые можно найти, пожалуй, в любой популярной илиучебной книге по истории философии, ссылаются на утверждения Ямвлиха,Клемента и Паппа344. Поскольку в обыденном представлении первая343 [Жмудь 2012: 239]; тоже в [Zhmud 2014: 97].344 Жмудь приводит шесть цитат [Жмудь 2012: 238].121«иррациональность», получившая доказательство, это √2, то медиумомоткрытия считается квадрат. Однако одно из известных поздних свидетельствговорит о том, что Гиппас пострадал, раскрыв конструкцию, с помощьюкоторой додекаэдр вписывается в сферу. Поэтому, несмотря на то, что квадратпроще пятиугольника, возникает вопрос: какое из этих двух доказательствстарше — о несоизмеримости стороны и диагонали у квадрата или упятиугольника?345НижеследующийотрывокизЯмвлиха,доказываетправомерность такой постановки вопроса:О Гиппасе говорят, что он был из числа пифагорейцев; за то, чторазгласил и построил (γράψασθαι) впервые сферу из двенадцатипятиугольников (σφαῖρα τὴν ἐκ τῶν δώδεκα πενταγώνων), он погиб в морекак нечестивец, зато снискал славу первооткрывателя.
[...] Послеразглашения математические науки приумножились, в особенности ихпродвинули вперед двое: Феодор из Кирены и Гиппократ из Хиоса. 346В другом месте Ямвлих пишет:Как сообщают, к тому, кто первым открыл недостойным посвящения вучения природу соизмеримости и несоизмеримости, [пифагорейцы]прониклись такой ненавистью и отвращением, что не только изгнали егоиз своего общества и общежития, но и соорудили ему гробницу в знактого, что они считают своего бывшего товарища ушедшим из жизни.Другие говорят, что само божество разгневалось на того, кто разгласилучения Пифагора: дескать, тот, кто выдал конструкцию икосагона, т.
е.додекаэдра, одной из так называемых телесных фигур (στερεῶνσχημάτων), [и показал], что она вписывается в сферу (εἰς σφαῖρανἐκτείνεσθαι), погиб в море как нечестивец. Некоторые же утверждали, чтоэто случилось с тем, кто разгласил учение об иррациональности инесоизмеримости (περὶ τῆς ἀλογίας καὶ τῆς ἀσυμμετρίας). 347345 Ср.
напр. [Lučić 2009: 155].346 DK 18 4 [Iambl. VP 88; de c. math. sc. 25].122Обращает на себя внимание последнее предложение, связывающеевписывание додекаэдра (правильного полиэдра, состоявшего из двенадцатипятиугольников) в сферу с открытием несоизмеримости.Итак, для начала разберемся с додекаэдром. Могла ли такая сложнаяконструкция существовать столь рано? Дискуссия на эту тему ведется с точкизрения поздней позиции, сформированной, когда уже стало известно, чтододекаэдр — это один из пяти правильных полиэдров, и, пожалуй, самыйсложный из всех них (за исключением разве что икосаэдра).Как пишет Уотерхауз в работе, посвященной этой проблематике, 348 историяправильных полиэдров едва ли постоянно ссылается на схолию к Эвклиду,которая гласит:В этой, т.
е. 13-й книге, описываются так называемые 5 платоновскихфигур, которые, однако, Платону не принадлежат. Три из упомянутыхфигур — куб, пирамида и додекаэдр — принадлежат пифагорейцам, аоктаэдр и икосаэдр — Теэтету. По имени Платона они были названыпотому, что он упоминает о них в «Тимее».349«Суда» говорит, что первым, кто сконструировал т. н. «пять фигур», былТеэтет.350 Одна из причин, по которой можно доверять «Суде», состоит в том,что ее текст расходится с распространенной в то время практикойприписывать все подряд Пифагору.347 DK 18 4 [Iambl. VP 246–7]. Как мы видим, Ямвлих пользуется терминологией,которую мы помним еще из определения X.3 у Эвклида.
Очевидно, чтопервооткрыватель в принципе не мог использовать формализованный концепт«иррациональности».348 [Waterhouse 1972: 212].349 44 А 15а Лебедев = схолии к Эвклиду XIII.1 [Euclides 1883–88, V: 654]; ср. [Жмудь2012: 228 сн. 87]. Лебедев это свидетельство, отсутствующее у Дильса, помещает вглаву 44, т.
е. к Филолаю, потому что оно естественно дополняет DK 44 А 15,которое, в свою очередь, говорит о Пифагоре, а не о Филолае. Причины, по которымДильс включил данную доксографию в главу 44, мы здесь рассматривать не будем.350 Ср. [Euclid 1956, I: 413]: «ἔγραψε» могло означать и «сконструировал» и «писал о».123Уотерхауз отмечает то, что сразу бросается в глаза в тексте этихсвидетельств: ранняя датировка додекаэдра вызывает сомнения, особеннопотому, что икосаэдр, по его мнению, понять значительно проще. При этом оформе додекаэдра нет нужды догадываться, поскольку она обнаруживается вприроде. Дисульфид железа (FeS2), распространенный на территории Италии,кристаллизируется в куб или в практически совершенный додекаэдр.Вероятно, он послужил вдохновениемпри создании искусственныхдодекаэдров, которые существовали в Италии еще до 500 г.
Позднее открытиеоктаэдра тоже контринтуитивно, особенно потому, что конструировать еголегко.351Однако, как уже отметили, правильные полиэдры как таковые — находкапостпифагорейского периода. Как справедливо заключает Жмудь, Гиппасзанимался не теорией правильных тел как таковой, а именно додекаэдром.Теэтет же, поставив вопрос о том, какие из правильных тел вообще можнопостроить, вскоре открыл октаэдр.352 Додекаэдр мог привлекать внимание всилу самых разных причин.
По мнению Уотерхауза, грекам моглипонравиться, например, его сугубо эстетические особенности, — и все же кисследованию всей совокупности полиэдров мог подтолкнуть толькофилософский интерес: греческая мысль проявляет больше уважения кограниченному, чем к неограниченному, так что ограниченное число такихтел выглядело своего рода «божьим даром», вписывающимся в ихмировоззрение. Октаэдр же не мог быть предметом интереса сам по себе,привлекая внимание только в контексте полиэдров вообще.353351 [Waterhouse 1972: 213].352 [Жмудь 2012: 242–3]: Следуя Уотерхаузу, Жмудь добавляет: «Разделение правильныхмногогранников на два этапа (исследование отдельных многогранников и их общаятеория) помогает уяснить, почему более сложный многогранник был построенраньше, чем более простой и тривиальный».353 [Waterhouse 1972: 215–6].124Подтверждением описанной хронологии будет и то, что для пирамиды(правильный тетраэдр) и куба (правильный гексаэдр) существуют слова вповседневном языке.354 а также существуют свидетельства, что выражение«σφαῖρατὴνἐκτῶνδώδεκαπενταγώνων»(«сфераиздвенадцатипятиугольников» у Ямвлиха) достаточно старое.
Его упоминает Сократ передсмертью (399 г. — нач, IV в.) в диалоге Платона «Федон», начиная свойрассказ про «настоящую землю» (к которой мы вернемся в главе 3):[…] та Земля [наст.], если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч,сшитый из двенадцати кусков кожи и пестро расписанный разнымицветами.355Таким образом, факт, что знание о додекаэдре вполне могло восходить квремени Гиппаса, подтолкнул некоторых исследователей, которые несомневаютсявгеометрическомхарактерепервойдемонстрациинесоизмеримости, к предположению, что до открытия Гиппас дошел спомощью пентаграммы, а не с помощью квадрата. Так, например,рассуждают фон Фриц и Херц-Фишлер.356 Фон Фриц считает, чтонесоизмеримость заметили в «геометрическом контексте» в V веке, исвязываетеесГиппасом.Конечно,этонебылонастоящим354 [Waterhouse 1972: 216–7].355 Pl.
Phaed. 110b; [Платон 1993: 71]. В «Тимее» (Pl. Tim. 55c) после того, как он описалпервые четыре правильные полиэдра, Платон говорит: «В запасе оставалось ещепятое многогранное построение, его бог определил для вселенной и прибегнул кнему в качестве образца» [Платон 1994a: 459]. «Пятое построение» Платон неописывает. В английском переводе в конце стоит: «[...] for the Universe in hisdecoration thereof» (глагол διαζωγραφέω — према LSJ «paint in diverse colours»).Возможно, Платон имел в виду 12 знаков зодиака.356 Как говорит фон Фриц [Fritz 1945: 257–9], «нет никакой причины для неверования,что Гиппас мог демонстрировать несоизмеримость стороны с диагональюправильного пятиугольника, поскольку такое доказательство нуждалось бы только взнании двух фундаментальных геометрических положений (пониманиеравнобедренных треугольников и суммы углов в треугольнике), вместе со старымметодом поиска наибольшей общей меры путем попеременного вычитания».125«доказательством»;доказательствокаконсправедливонесоизмеримостинапоминает:требовалобыформальноевысокогоуровняабстрактного и логического мышления.357Итак, прямого текстуального подтверждения того, открыл ли Гиппас«несоизмеримость» как таковую с помощью правильного пятиугольника (т.
е.пентаграммы), нет.358 Однако, поскольку с большой вероятностью ему можноприписать умение вписывать додекаэдр в сферу (или хотя бы знакомство сдодекаэдром,логичнопредположить,чтоонумелконструироватьправильный пятиугольник, а тем самым, мог открыть несоизмеримость,которая в нем заключена.359Что это знание означает? Конструкцию самого додекаэдра или простопонимание, что он каким-либо образом вписывается в сферу? Как мы видели,знакомство Гиппаса с ним практически несомненно, но оно одно не приведетк открытию несоизмеримости.360Связать конструкцию додекаэдра и открытие несоизмеримости можнотолько через конструкцию пятиугольника (т.
е. пентаграммы), котораяподразумевает знание «золотого сечения» и факта, что отрезки «золотогосечения» несоизмеримы.361 Важность пентаграммы в данном вопросеподчеркивали такие авторитетные ученые, как Хит и Ван дер Варден.362357 Ср. [Fritz 1945: 254, 256, 259]. Идея о связи пентаграммы и деления линии по«золотому сечению» с открытием несоизмеримости появилась еще в 19 веке: [HerzFischler 1998: 70–71].358 [Burkert 1972: 459].359 Ср. [Herz-Fischler 1998: 68–71].360 Херц-Фишлер напоминает, что текст Ямвлиха не имплицирует, что Гиппас зналнастоящую конструкцию, но что он просто мог показать, что додекаэдр можетвписаться.
Они могли «заметить», что его можно легко сделать из 12пятиугольников, как и куб из 6 квадратов: [Herz-Fischler 1998: 66, 69].361 Перечень теорий, которые связывают «золотое сечение» с пифагорейцами см. [HerzFischler 1998: 68].362 Традиция говорит, что пентаграмма была знаком распознавания раннихпифагорейцев, и это может означать их знакомство с «золотым сечением» [Euclid126«Золотое сечение» — сечение прямойтаким способом, чтобы сама прямаяотносилась к большому отрезку какбольшой отрезок относится к меньшему.Пересечь линию по золотому сечениюнесложно.поступокПопробуемобычнымиописатьсловами,непользуясь современными терминами363:Рис. 3: Разделение прямой по «золотомусечению» [Lučić 2009: 140].Берем прямую (AB); под ней строимквадрат, как на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
