Диссертация (1137535), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Какговорил Мордухай-Болтовский по поводу конкретного вопроса, связанного с330 Ср. [Netz 2014: 179 n. 37]: «A further ramification of this theory is that, in amathematical-metaphysical system where everything is a number understood via discreterepresentations, the discovery of irrationality creates havoc; this interpretation, oncestandard in the literature, is transparently a retro-projection of the crisis of foundations ofthe early twentieth century.»116оперированием отношениями как числами (что неминуемо проистекает изсамогоактапотреблениясовременнойалгебраическойсимволики),современная символика ощутимо мешает проникновению в мысли Эвклида,навязывая ему «числовую» природу отношения, которой у него не было.
331Если это верно для случая Эвклида, что же тогда говорить об изложениипифагорейской математики и гармоники V в.?Вотпочемузадачаизложения«математической»частираннепифагорейской активности на языке, описанном в разделе 1.4, вкотором отсутствуют современные концепты, будет, пожалуй, самой сложнойиз всех поставленных нами в данной диссертации.С другой стороны, в этом есть и положительный момент. Как ужеговорилось в первой главе, та деятельность ранних пифагорейцев, которая витоге стала частью того, что сегодня называется историей математики,позволяет с большей смелостью решится на реконструкции, чем, к примеру,то позволяют космологические спекуляции, для которых, как предостерегалБуркерт, не существует «закона обратной интеракции в области мысли».332Итак, несмотря на отсутствие письменных источников о том, как именноранниепифагорейцы(иликто-либодругой)обнаружили(либопродемонстрировали) факт существования несоизмеримых величин, можно сбольшой долей достоверности описать, как это могло случиться, ипроанализировать,какоеизописанийнаиболеесоответствуетопосредованным описаниям, к которым у нас есть доступ, как ипреимущественно достоверным знаниям о характере математических (илидоматематических) знаний того периода в целом.Связывание открытия («доказательства»)333 «иррациональности» или331 [Эвклид 1948–50, I–VI: 408–9]: «Эвклид нигде не оперирует отношениями как счислами.
[...] Вообще эвклидово понятие отношения было ближе к общемулогическому понятию отношения, лежащему в основе современной математическойлогики, чем к математическому отношению чисел; вероятно, и у самого Эвклида небыло вполне ясного понимания».332 [Burkert 1972: 298].117«несоизмеримости» с пифагорейцами или самим Пифагором сегодня сделает,пожалуй, каждый школьник. О присутствии этой связи положительно говорятпрактически все античные источники, от Платона через Прокла и Ямвлиха доПаппа.334 Авторитетные исследования по истории математики датируют этооткрытие самыми разными периодами V в. или даже концом VI в., т.
е.приписывают его Гиппасу или, что реже, самому Пифагору.335По словам Норра, автора самого объемного труда несоизмеримости вдревнегреческой математике [Knorr 1975], реконструкция открытия опираетсяна Никомаха, Феона Смирнского, Ямвлиха, комментарии на Эвклида,написанные Проклом, ряд релевантных досократических фрагментов икомментарии Платона и Аристотеля.336 Обычно все они прочитываются нафоне «Начал» Эвклида (конец IV в.); структура «Начал» позволяет намреконструировать источники многих идей, так как именно в этом трудеобнаруживаются теоремы из разных исторических периодов греческойматематики.333 Кавычки здесь поставлены из осторожности: мы лишь рассмотрим, было ли вообщеу ранних пифагорейцев настоящее доказательство. [Жмудь 2012: 210]: «Нетоснований предполагать в ней наличие чего-либо похожего на теорию илидоказательство».334 [Lučić 2015a: 26] перечисляет источники: Iambl.
VP 18, 88; Procl. In Eucl. 65.19;Pappus Commentary on Book X, p. 1.335 Филип, Буркерт и Норр относят это открытие в исторический промежуток между 450и 410 гг: [Philip 1966: app. II], [Burkert 1972: 455–65], [Knorr 1975: 37–49], [Fritz 1945:264]. Из новых авторов идею о возвращении Пифагору статуса первооткрывателя(т. е. на рубеж VI–V вв.) поддерживает Лучич [Lučić 2015a: 29–30]. Самаяпессимистичная оценка основывается на толковании Pl. Leg. 820b–d [Платон 1994b:274]: «[Афинянин:] Кроме этого есть и другие родственные этим вещи, в отношениикоторых у нас возникает опять-таки много заблуждений, сродных первым.
[…] Этопричины, по которым, согласно природе, возникает соизмеримость инесоизмеримость (τῶν μετρητῶν τε καὶ ἀμέτρων). Необходимо иметь их в виду иразличать, иначе человек будет совсем никчемным. Надо постоянно указывать на этодруг другу. Таким образом люди проводили бы время гораздо приятнее, чем старикипри игре в шашки: ведь старикам прилично, состязаясь в этой игре, коротать своевремя.» (Здесь и далее греческий оригинал из [Plato 1903].) Некоторые толкуют этототрывок как доказательство распространенного незнания о предмете, а также того,что открытие несоизмеримости произошло лишь в конце V в.: см. [Burkert 1972: 465n. 87].336 [Knorr 1975: 131].118Что же значит «несоизмеримость», что с чем несоизмеримо? Греческоеслово «асимметрия» — ἀσυμμετρία (прилагательное ἀσύμμετρος) — дословнопереводится как «не-со-измеримость».
Предложение X.2 «Начал» Эвклидагласит:Если для двух [заданных] неравных величин при постоянномпопеременном вычитании меньшей из большей остающееся никогда небудет измерять своего предшествующего, то величины будутнесоизмеримыми (ἀσύμμετρα).337Это предложение связано с определением 1:Соизмеримыми величинами называются измеряемые одной и той жемерой, несоизмеримыми же — для которых общая мера не может бытьобразована.338Главный термин для предложения X.2 — «ἀνθυφαιρουμένου».
СогласноМордухай-Болтовскому, «так как ὰντί значит “против, напротив”, тооперацию ἀντυφαίρεσις следует мыслить как попеременное вычитание второйиз остатка первой, затем остатка первой из второй, остатка второй из остаткапервой, причем мыслятся два ряда величин, в заглавии которых стоят обезаданные первоначально величины, а под каждой из них соответственнополученные вычитанием их остатки».339Как видно, эта техника совпадает с описанными в подразделе 2.2.5реконструкциями Таннери и Беккера об определении в V в.
числовогоотношения в консонансах. Поэтому трудно представить, что техника из«Начал» могла отличаться от той, которую применяли в V или даже в VI в.337 Euc. X, prop. 2; [Эвклид 1949–50, VII–X: 108]; здесь и далее греческий текст «Начал»излагается по [Euclides 1883–88]. У Хита данное предложение переведено так: «If,when the less of two unequal magnitudes is continually subtracted in turn from the greater,that which is left never measures the one before it, the magnitudes will beincommensurable» [Euclid 1956, III: 17].338 Euc.
X, def. 1; [Эвклид 1949–50, VII–X: 101].339 [Эвклид 1949–50, VII–X: 108 сн.].119Херц-Фишлер напоминает340, что современный термин «иррациональноечисло» недопустимо путать с идеей несоизмеримого сегмента линии(предложение Х.13341); несоизмеримому сегменту не соответствует никакое«иррациональное число». Из обсуждения фрагмента 6 Филолая (подраздел2.1.1) следует, что даже дроби в V в. не связывали с числом (даже сам Эвклидне рассматривал их в качестве чисел).Определение Х.3 показывает, как нужно понимать связь терминов«несоизмеримый»,«рациональный»(ῤητή—«высказываемый)и«иррациональный» (ἄλογος — «а-логичный»):[...] для заданной прямой существует бесконечное количество прямых каксоизмеримых (σύμμετροί), так и несоизмеримых (ἀσυμμετροι), <причём>некоторые <соизмеримы или несоизмеримы> только линейно, другие жеи в степени (αἱ δυνάμει).
Назовём теперь заданную прямую рациональной(ῥητή), а соизмеримые с ней, как и линейно и в степени, так и только встепени, будем называть рациональным, несоизмеримые же с ней —иррациональными (ἄλογοι).342Разумеется, это терминология математики высокого уровня развития, и самязык определения 3 демонстрирует значительную степень формализации. Мыпривели этот пассаж, так как он наглядно демонстрирует требованиеисследовательской осторожности. Одно дело — показывать на одномпримере, что две конкретные величины (линии) несоизмеримы; совсемдругое — обозначить некую линию как ἄλογος; третье — сказать, что таких«алогичных» линий много; четвертое — поставить себе задачу найтизакономерность в связи с «алогичным»... Все это очень разные вещи, — и намтолько предстоит углубиться в свидетельства о них и разобраться, какие из340 [Herz-Fischler 1998: 49–50].341 «Если будут две соизмеримые величины (δύο μεγέθη σύμμετρα), одна же из нихнесоизмерима (ἀσύμμετρος) с некоторой величиной, то и оставшаяся с нейнесоизмерима»: Euc.
X, prop. 13; [Эвклид 1949–50, VII–X: 115].342 Euc. X, def. 3; [Эвклид 1949–50, VII–X: 101].120них случились в V в.В качестве классического описания открытия несоизмеримости можнопозаимствоватьпримеруЖмудя:«ПосколькуФеодордоказалиррациональность величин от √3 до √17, то к Гиппасу обычно относятоткрытиеиррациональности√2,классическийпримеркоторой—несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной».343 Когда мы подобнымобразом описываем события V в., не стоит забывать, что «открытиеиррациональности √2» может означать любую из вышеперечисленныхступеней понимания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
