Диссертация (1137535), страница 27
Текст из файла (страница 27)
3; левую сторонуквадрата делим пополам; из точки посередине как из центра рисуем круг;пересечение этого круга и продолжения левой стороны квадрата дает новуюдлину; проецируем новую длину на изначальную прямую, конструируяменьший квадрат; место пересечения — «золотое сечение».Однако для проверки разделили ли мы прямую AB по «золотому сечению»,как видно в Euc. II.11, требуется достаточно сложная процедура, основаннаяна доказательстве, что желтый квадрат и прямоугольник одинаковы поплощади; потом рассчитываются необходимые пропорции. Проще этодоказать нельзя. Какие же знания теперь необходимы для конструкциидодекаэдра?1956, II: 97–9], [Van der Waerden 1961: 101].
Однако, сам пентагон упоминаетсятолько в связи с додекаэдром, и нет никакого текстуального подтверждения связипентаграммы как символа и пентаграммы как математического объекта. Ср. [HerzFischler 1998: 72], [Burkert 1972: 452, 452 n. 26]. Хит [Euclid 1956, II: 99; 1981, I: 161]упоминает и вариант, в котором пентаграмма была известна как «три разапереплетенный треугольник».363 Пользуемся модифицированной версией конструкции из Euc. II, prop.
11.127Рис. 4: Первый шаг конструкции правильного додекаэдра:адаптировано из [Lučić 2009: 194].Попробуем также простыми словами описать эту конструкцию. Берем куб;делим пополам верхнюю сторону прямой, прямую тоже делим пополам; обеполовины прямой делим по «золотому сечению», располагая меньшиеотрезки по краям (рис. 4); большие отрезки поднимаем вертикально надплоскостью стороны куба; такую же процедуру повторяем с переднейстороной куба, как на рисунке. Таким способом получаем пять точек, которыедают правильный пятиугольник. Действие повторяем 12 раз до полученияполного правильного додекаэдра.
Центр куба (который легко определить)будет и центром сферы, которая включает в себя и куб и додекаэдр.Однако для доказательства, что желтая поверхность (рис. 4) являетсяправильным пятиугольником, требуется, как видно в Euc. XIII.17, процессбольшойравенствадедуктивнойсторон,сложности,углов,икоторыйдоказательство,включаетчтодоказательствофигураплоская.Доказательство опирается на многие другие, ранее доказанные предложения.128Поэтому ни о каком доказательстве в начале V века речь идти не может.Несмотря на это, на наш взгляд, Гиппас или кто-то из его современниковвполне мог придумать саму конструкцию, а результат просто считатьочевидным.Теперь рассмотрим, как знание конструкции пентаграммы могло привестидо открытия несоизмеримости.Рис. 5: Реконструкция несоизмеримости диагонали и стороныправильного пятиугольника Фрица [Fritz 1945: 257].Рис.
6: Реконструкция несоизмеримости диагонали и стороныправильного пятиугольника Геллера [Heller 1958].Фон Фриц предлагал цепочку встроенных пентаграмм, и, такой чертеж, поего мнению, как доказательство был приемлем по стандартам этого времени.Геллер предлагал цепочку равнобедренных треугольников, над которым129бесконечно выстраиваются все меньшие и меньшие пятиугольники. В обоихслучаях мы пытаемся измерить диагональ стороной, как в определенииЭвклида; элементарное знание пропорций говорит нам, что каждый разпропорция измеряемой и измеряющей прямых повторяется, и так добесконечности.Это все означает, что знание о несоизмеримости, содержащейся впентаграмме, знание конструкции «золотого сечения» и знание конструкциидодекаэдранеобязательносвязанымеждусобой.Дажееслипервооткрыватель знал конструкцию додекаэдра, он вполне мог ее построитьбез любой из предложенных исследователями конструкций. Другимисловами, вам не нужно знать о «несоизмеримости» отрезков «золотогосечения», чтобы им пользоваться.Как отмечает Жмудь, идея, которая связывает Гиппаса, додекаэдр иоткрытие несоизмеримости привлекательна потому, что она «объединяет обаприписываемых Гиппасу открытия».364Критика вышеописанных реконструкций довольно убедительна.
Какговорил Буркерт, «насколько мне известно, в традиции никогда непредполагали связь правильного пятиугольника с иррациональностью». 365Жмудь уточняет: «Источники IV в., в частности, Платон (Tht. 147d, Parm.140bc) и Аристотель связывают открытие иррациональности со сторонойквадрата, а не пятиугольника».366 Более того, Буркерт отрицает возможность,что пентаграмма вообще была причиной глубокого математическогоразмышления в раннем пифагореизме, но не исключает возможность ее роли,вместе с додекаэдром, как символа. Это, однако, не означает, что рассказы онаказании Гиппаса являются полным вымыслом: «Додекаэдр был важным364 [Жмудь 2012: 239 сн.
138].365 [Burkert 1972: 459 n. 62]. Ему следует Херц-Фишлер: «Nowhere in the extant Greekliterature is there a proof of the incomensurability of the two segments of a line divided inEMR» [Herz-Fischler 1998: 70–71].366 Ср. [Жмудь 2012: 236 сн. 128], [Becker 1936: 73f], [Knorr 1945: 22, 26], [Philip 1966:26, 30, 40 n. 5, app. II], [Van der Waerden 1961: 107].130символом, как и пентаграмма: грехом Гиппаса мог быть публичный анализсвященного объекта математическими способами».367Делаем вывод: конструкция додекаэдра вполне могла быть известнаГиппасу, но связывать пентаграмму с усилиями по систематическойдемонстрации несоизмеримости (как напр. у Феодора) не стоит.Теперьрассмотримвозможностьтого,чтоГиппасзаметилнесоизмеримость в квадрате, как косвенно намекают Платон и Аристотель.Так же, как и в случае пентаграммы, пытаясь попеременно измеритьдиагональ квадрата с помощью его стороны (как в определении Эвклида илиреконструированномпроцессеопределениячисловогоотношениявконсонансе), мы сталкиваемся с ситуацией, в которой подобные треугольникибесконечно повторяются.
Чтобы понять, что каждый новый треугольникподобен предыдущему, достаточно элементарного геометрического знанияэпохиФалеса.КакнапоминаетВандерВарден,«рациональный»(«высказываемый») диаметр в «Государстве» Платона является возможнойиндикацией существования именно такого порядка действий, как на рис. 7.368Рис. 7: Демонстрация несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны.Во втором случае видно, насколько порядок действий легко обобщается.367 [Burkert 1972: 459–60]. Он добавляет, что маловероятно, что додекаэдр стализвестным вне круга ранних пифагорейцев благодаря Гиппасу [461 n.
67]. Ср. и[Herz-Fischler 1998: 61].368 Pl. Res. 546c, [Платон 1994a: 331] (описание «выразимых диаметров пятерки»); ср.[Van der Waerden 1961: 126–7].131Сильной стороной этого предположения является то, что квадрат —бесспорно, самая простая фигура, на которой возможно демонстрироватьнесоизмеримость.3692.3.3. Дотеэтетовский арифметичекий подходАвторитеты истории древнегреческой математики более или менеесогласны с тем, что раннепифагорейская математика была прежде всего«арифметической», нежели «геометрической».
Более того, в отличие отгеометрии, в арифметике ранние пифагорейцы от Гиппаса до Феодора былипрактически монополистами. Как отмечает Жмудь, «все известные намматематики V–IV вв. были пифагорейцами, либо их учениками (как Теэтет иЭвдокс).Болеетого,АристоксенсчиталПифагораоснователемтеоретической науки о числах»370; книги VII–IX «Начал» происходят,наверное, от пифагорейцев. Архит свидетельствует (оценка пифагорейскойарифметики):Думается, что искусство счета (λογιστική) весьма превосходит прочиеискусства в том, что касается мудрости (σοφία), в том числе игеометрическое искусство, ибо она с большей очевидностью трактует то,что ей нужно. [...] И там, где геометрия оказывается бессильной,искусство счета восполняет доказательства, и равным образом прилюбом исследовании фигур (εἰδέων πραγματεία), и то, что относится кфигурам.371369 Вероятную древность такого доказательства усиливает и факт, что оно появляетсякак последствие достаточно простого вопроса: в каком отношении состоят диагональквадрата и его сторона? Это означает, что открытие несоизмеримости можнодатировать началом V века или даже концом VI века: ср.
[Lučić 2015a: 26, 29–30],[Heath 1981, I: 154–7].370 Aristox. fr. 23 = DK 58 B 2 [Stobaeus 1, Proem 6 (p. 20.1 Wachsmuth)]: «[...] Онпродвинул ее [науку о числах — Н. Л.] вперед, выведя ее за пределы [практического]употребления в торговле и сравнивая (ἀπεικάζων) все вещи с числами.» Лебедевдобавляет возможное толкование конца предложения: «[...] выражая, моделируя всевещи числами». Жмудь переводит это место так: «[...] уподобляя все вещи числам»[Жмудь 2012: 390].132В науке широко распространено мнение, что «искусство счета» в период отГиппаса до Феодора было «псефическим» (dot-arithmetics или pebblearithmetics). Это означает, что числа были представлены с помощьюдвухмерного построения камешков (псефов — ψῆφοι). Ядром древнейпсефической арифметики была теория четного и нечетного.
Это утверждениеимеет определенное, но не совсем бесспорное, текстуальное подтверждение.Одно из главных свидетельств — фрагмент, приписываемый комедиографуЭпихарму (сер. V в.). Он подтверждает, что в V веке арифметика изучалась спомощью точек (камешков) и что широкая публика знала, что четность числаменяется, если от числа отнять единицу:372— <Если> к нечетному числу или, если тебе угодно, к четному,Кто-нибудь пожелает прибавить камушек [=единицу] или же отнять[его] от имеющихся в наличии:Как ты думаешь, будет ли это <все> то же [число]? — По-моему нет. 373Другое важное свидетельство — описание гномона из «Физики»:Далее, пифагорейцы отождествляют бесконечное с четным [числом], ибооно, [четное], будучи заключено внутри и ограничено нечетным,сообщает существующим [вещам] бесконечность.
Доказательством этомуслужит то, что происходит с числами, а именно если накладыватьгномоны вокруг единицы или за исключением [нее], то в последнемслучае получается всегда другой вид [фигуры], в первом же — один итот же.374371 DK 47 B 4 [Stobaeus 1, Proem 4 (p. 18.8 Wachsmuth)]. Хафмен считает фрагментподлинным, отбросив ранние сомнения Буркерта [Burkert 1972: 220–1 n. 14]. Конецфрагмента Хафмен переводит как и Лебедев: «[...] if there is any investigation ofshapes, [logistic puts demonstrations into effect (completes proofs)] with respect to whatconcerns shapes as well».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
