Диссертация (1137535), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Поэтому нашейследующей задачей является рассмотрение того, как обстоит дело свозможнымиреконструкциямине-геометрическогодоказательства,инасколько они убедительны, т. е. как отвечают на три заданных нами вопросаоб отрывке из «Теэтета», а также каково их текстуальное подтверждение.Лучич пишет, что самый ранний намек на эту не-геометрическуювозможность мы находим в «Первой аналитике» Аристотеля, где он405 Есть идея, что «остановился на 17» означает, что 17 было не препятствием, апоследним успешным случаем; Феодор, как утверждают, на самом деле остановилсяна 19 [Conway, Shipman 2013: 5].
Однако, и пример с 19 не сложный (катеты 9 и √19,гипотенуза 10). В то же время19 может быть препятствием, если подразумевать, чтовсе треугольники должны иметь один единичный катет; 19 невозможно доказать спомощью такого треугольника: [Lučić 2015a: 27], [Conway, Shipman 2013: 3].Предположение, что Феодор умел пользоваться только треугольниками с единичнымкатетом, означало бы, что он плохой математик, что звучит довольно неубедительно.В литературе еще упоминается возможность, что Феодор остановился по тойпричине, что лекция была ограничена по времени: [Knorr 1975: 207 n. 36].
Идеюрассматривал и Ван дер Варден [Van der Waerden 1947–49: 697].406 [Lučić 2015a: 27].144описывает «доказательства через невозможное»:407А что посредством этих же фигур ведутся также доказательства черезневозможное, умозаключают к ложному, а первоначально принятое онидоказывают, исходя из предположения, когда из признания того, чтопротиворечит [первоначальному принятому], вытекает нечтоневозможное; например, несоизмеримость диагонали [со сторонойквадрата] доказывают тем, что если признать их соизмеримость, тонечетное окажется равным четному.
Таким образом, то, что нечетноеоказывается равным четному, выводится на основании умозаключения, ачто диагональ несоизмерима [со стороной квадрата], доказывается исходяиз предположения, так как из признания того, что противоречит[первоначально принятому], получается ложное, ведь умозаключатьчерез невозможное, как было сказано, — значит доказывать нечтоневозможное посредством первоначально допущенногопредположения.408Это описание в литературе связывается с реконструкцией, котораяназывается«традиционнымдоказательствомспомощьючетногоинечетного» («traditional even-odd proof»).409 В разработанном виде и всовременной записи онo выглядит так: если √2 = p/q, где p и q — это взаимнопростые числа, тогда p2 = 2q2. Квадрат нечетного числа — это тоже нечетноечисло, и это означает, что p четное число, например p = 2r. Далее этоозначает, что 4r2 = 2q2, т.
е. q2 = 2r2. Отсюда следует, что √2 = q/r. Однако мыпредположили, что p и q взаимно простые числа, т. е. что p/q несократимо.Получается противоречие («доказательство через невозможное», как говоритАристотель); значит, нет таких p и q, при которых √2 = p/q.410407 Похожий текст раньше считался дополнением к десятой книге «Начал» (X.117:[Euclid 1956, III: p. 2]). Наука не сомневается, что текст не принадлежит Эвклиду,поэтому он не включается в современные издания «Начал», в том числе [Эвклид1949–50].408 Arist. APr 41а23–32; [Аристотель 1978, 167–8].409 Его описывают Конвей и Шипман: [Conway, Shipman 2013: 4].410 [Conway, Shipman 2013: 2].145Проблема с этим доказательством состоит в том, что, помимо текстуальноподтвержденной арифметики четного и нечетного, оно требует знанийконцепта взаимно простых чисел, что кажется достаточно сложным дляпервооткрывателя в начале V века.
Конвей и Шипман считают, что есть ещеодно исторически и математически возможное доказательство, котороепользуется дихотомией «четное-нечетное» на еще более примитивномуровне. Это «доказательство через единственную факторизацию» («uniquefactorization proof»).411 Оно очень короткое: если q2 = 2p2, тогда факторизацияq2 содержит четное число факторов равных двойке, в два раза больше, чемфакторизация числа q, поскольку факторизация 2p2 очевидно содержитнечетное число двоек (на парное число двоек добавляем еще одну).
Однако,разные факторизации обязательно состоят из разного количества элементов.Поэтому q2 не может быть равно 2p2, и квадратный корень из 2 — это «нерациональное число».412Однако, как отмечает Лучич, несмотря на то, что это доказательствооснованона арифметикечетногои нечетного,ключевойаргументдоказательства взят не из псефической арифметики: понять единственнуюфакторизацию невозможно с помощью камешков.
В «Началах» есть описаниефакторизации, — предложение XI.14:Если число будет наименьшим измеряемым <данными> первымичислами, то оно не измерится никаким иным первым числом, кромепервоначально измерявших <его>.413411 [Conway and Shipman, p. 5]. Конвей и Шипман в своей ретроспективной статьеперечисляют все возможные реконструкции того, как Феодор мог вывести своидоказательства, существующие в литературе. Их можно свести к 7 типам:(1) доказательство Танненбаума, (2) «завертывающие» («folding») доказательства (этогеометрические доказательства), (3) традиционное доказательство по четному инечетному, (4) доказательство Башмаковой (о котором скоро пойдет речь),(5) «доказательство по взаимному обмену» («reciprocation proof»),(6) «доказательство по единственной факторизации» и (7) аналитическоедоказательство.412 [Lučić 2015a: 28–9].413 Euc.
IX, prop. 14; [Эвклид 1949–50, VII–X: 83].146Понимание того, о чем говорит Эвклид в доказательстве этогопредложения, подразумевало бы упорядочивание камешков в более чем двухизмерениях.414Конечно, можно предположить, что идеей о единственной факторизациипользовались без доказательства. Но даже в таком случае, отмечает Лучич,эта реконструкция страдает от того же недостатка, что и геометрическая: ееочень легко обобщить. Поэтому крайне трудно представить, что Феодор обэтой легкости обобщения не знал. Вопрос «почему Феодор остановился на17?» пока остается без ответа.Как говорит Лучич, у нас есть еще одно ценное свидетельство, которое,может быть, скрывает ключ к решению поставленного вопроса. Это —«Менон».415 В известном эпизоде, когда Сократ с помощью раба доказывает,чтознание—несоизмеримостиэтоприпоминание,диагоналиквадратанаходитсяиегоядростороны,демонстрацииионо—арифметическое.416 Суть в том, что эта идея скрыта за другим вопросом: вкаком отношении находятся сторона данного квадрата и квадрата, площадькоторого в два раза больше? А этот же вопрос скрыт за еще более простым идревним вопросом: как сконструировать квадрат в два раза больше, чемданный?В «Меноне» раб с помощью Сократа показывает, что квадрат, который вдва раза больше по площади, можно сконструировать, но что невозможнонайти такой квадрат со стороной, длина которого состоит из целого числа414 [Lučić 2015b: 12.1].415 [Lučić 2015a: 28–9].
Норр [Knorr 1975: 26] опирается на «Менона», чтобыреконструировать то, «как могло выглядеть пифагорейское доказательство,очищенное от анахронизмов». Однако Норр, пользуясь идеей из «Менона», толькопоказывает геометрическую интерпретацию доказательства через четное и нечетное.Как мы уже сказали, это доказательство не могло послужить Феодору основой.416 Pl. Menо 82b–85b; [Платон 1990: 588–95].147единиц (т.
е. чтобы эта сторона была соизмерима со стороной, длинакоторой 1).Рис. 15: Размышления раба Менона [Lučić 2015b: 12.3].Раб пытается удвоить по площади квадрат со стороной длиной в два фута;этот квадрат по площади четырехфутовый (маленький квадратик в углулевого рисунка). Вопрос Сократ формулирует так [83c]: «Из каких же сторонполучается восьмифутовый квадрат?». В процессе, как показано на нашемрисунке 15, оказывается, что квадрат из четырехфутовых сторон — этонеправильный ответ (левое изображение) и что [84е] «не получился у нас изтрехфутовых сторон восьмифутовый квадрат» (среднее изображение).
Нокогда построена конструкция, изображенная на рисунке справа, звучитвопрос: [85b] «А из каких сторон [...] получился у нас восьмифутовыйквадрат»? Сократ отвечает за раба: «Люди ученые называют такую линиюдиагональю».Следовательно, искомый квадрат существует, но он «неуловим». На левомизображении (рис. 15) он скрывается между средним и маленьким(изначальным) квадратом. Заметим, что всю демонстрацию легко переложитьв псефическую систему.Чтобы с помощью такого метода показать, что удвоение площадиневозможно для любого квадрата, а не только для случайно выбранногочетырехфутового, по словам Лучича, достаточно осуществить следующуюпроцедуру:148Рис.
16: Процесс обобщения действия из «Менона» средствами псефическойарифметики [Lučić 2015b: 2.7].Квадрат, по известным нам правилам четных и нечетных чисел, делитсяпополам (тем самым сохраняя пропорции) до тех пор, пока не получаетсяситуация из «Менона». Эта процедура соответствует тому, что описал Эвклидв предложении IX.34:Если число не будет из получаемых удвоением от двойки и не имеетнечетную половину, то оно будет и четно-четным и четно-нечетным.
417Процедураимеетбеспрепятственно«исследовательский»вписываетсяврамкихарактер,нодвухмернойприэтомпсефическойарифметики. Она, в отличие от «традиционного доказательства по четному инечетному» и «доказательства по единственной факторизации», не требуетничего, кроме основ обращения с четными и нечетными числами с помощьюпсефов. Лучич такое доказательство называет «раннепифагорейским».418Если это так, то можно предположить, что Феодор пытался использоватьдревний метод и для увеличения больше, чем в 2 раза. Как трактует Лучич,лекция Феодора могла основываться на таком же вопросе, который Сократ417 Euc. IX, prop. 34; [Эвклид 1949–50, VII–X: 96].418 [Lučić 2015a: 29]. Более того, Лучич реабилитирует идею, что доказательствонесоизмеримости могло принадлежать самому Пифагору [2015a: 30]: его простота, атакже тот факт, что основные постулаты теории четного и нечетного навернякапредшествуют Гиппасу (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
