Диссертация (1137535), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Он подтверждает, что εἰδέων πραγματεία означает неплатонические эйдосы, а геометрические фигуры: [Huffman 2005: 225–6].372 Ср. напр. [Knorr 1975: 137].373 DK 23 B 2.374 Arist. Phys. 203a8–13; [Аристотель 1981: 109–10].133Рис. 8: Гномоны [Lučić 2015b: 1.3].Гномон сохраняет неизменной форму того, к чему его прибавляют375, и сбольшой долей уверенности мы можем сказать, что он принадлежит к томуже типу псефической арифметики, что и теория четных и нечетных чисел.376Также Хит продемонстрировал, что средствами псефической арифметики,то есть с помощью гномона, ранние пифагорейцы могли проверять разные«пифагорейские тройки»:377 если к квадрату нечетного числа добавитьгномон, являющийся квадратным числом, то наглядно получается новоеквадратное число, а тем самым, и «пифагорейская тройка».
Саму «теоремуПифагора» Эвклид формулирует так:В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающейпрямой угол, равен <вместе взятым> квадратам на сторонах,заключающих прямой угол.378Историки математики реконструировали теорию четного и нечетного,которая могла существовать в V веке, а также методы анализа, которыеиспользовались пифагорейцами.Главная истина древней теории о четном и нечетном видна в вышеприведенном фрагменте Эпихарма, истолкованному в смысле «четностьизменяется одним псефом»; такое толкование (как и само существование375 У Аристотеля мы находим описание двух видов гномонов, «арифметического» (Phys.203a10–15) и «геометрического» (Cat. 15a30–32).
Первый вид он, в пассаже из«Физики», который только что привели, приписывает пифагорейцам. В «Категориях»[Аристотель 1978: 89] он пишет: «[...] квадрат, если приложить к нему гномон,правда, увеличивается, но иным по качеству не становится». Ср. [Lučić 2015b: 1.4].376 [Жмудь 2012: 244].377 Ср. [Жмудь 2012: 244], [Knorr 1975: 155]. Как говорит фон Фриц [Fritz 1945: 252],«one can safely assume that it belongs to the very oldest period of Pythagoreanmathematics».378 Euc. I, prop. 47; [Эвклид 1948–50, I–VI: 58]. См. [Knorr 1975: 174ff].134псефической арифметики) подкрепляется определением нечетного у Эвклида,которое явно опирается на нечто вроде визуального представления чисел:379Определение 6: Четное число есть делящееся пополам.Определение 7: Нечетное же — не делящееся пополам илиотличающееся на единицу од четного числа.380В соответствии с этим толкованием, Бекер, ссылаясь на Барнета, 381утверждал, что целое число представлялось рядом камешков в двух цветах, асложные числа —квадратами или прямоугольниками:Рис.
9: Линейные и фигурные числа [Lučić 2015b: 2.3].Аристоксен во фрагменте 23 в контексте пифагорейцев так определяетчетные и нечетные числа (это тоже считается подтверждением псефическойприроды ранней арифметики):Четными числами называются те, что делятся на равные части,нечетными — те, что на неравные и имеют середину. Поэтому считается,что по нечетным дням происходят кризисы болезней и перемены,связанные с началом [болезни], кульминацией и выздоровлением, так какнечетное число имеет начало, середину и конец. 382379 Ср. [Knorr 1975: 135].380 Euc.
VII, def. 6, 7; [Эвклид 1948–50, VII–X: 9].381 [Becker 1934], [Burnet 1948: 99–107]. Как резюмирует Филип [Philip 1966: 203],«Becker and others have borrowed this hypothesis of psephoi-arithmetic from Burnet, andBurnet attempts historical justifications as they do not. He points to the method of Eurythus(Arist. Met. 1092b8–15) who by an arrangement of pebbles represented the form (μορφή)of man or horse. This, however, cannot be an arithmetical procedure [...].»382 Aristox. fr. 23 = DK 58 B 2 [Stobaeus 1, Proem 6 (p. 20.1 Wachsmuth)]. Жмудь началоотрывка переводит так: «Ведь число содержит в себе и все остальное, и между всемичислами имеется рациональное отношение (λόγος)» [Жмудь 2002: 308], [Жмудь 2012:226, 390].
Это единственный сохранившийся отрывок Аристоксенова труда «Обарифметике». Здесь можно вспомнить о связывании четного и нечетного с135Разница между четными и нечетными числами такова:Рис. 10: Четные и нечетные числа. Нечетные числа имеют «середину»[Lučić 2015b: 2.3].Как объясняет Жмудь, «говорить о середине применительно к числу имеетсмысл лишь в том случае, если его представляют в виде счетных камешков,псефов».
Если сравнить определение Эвклида, видно, что концепт числаэволюционировал; поэтому описание, сохранившееся у более позднихавторов,старше,и,скореевсего,действительнопроисходитизпифагорейской математики V века.383 Несмотря на это, определения VII.8–11«Начал» соответствуют основному знанию древней теории о четном инечетном.Рис. 11: Примеры умножения четных и нечетных чисел; нечетныйрезультат имеет «середину» и в прямоугольной форме [Lučić 2015b: 2.3].Однако критика реконструкции псефической арифметики достаточносильная.384 Филип отрицал важность упомянутого пассажа из «Физики»,говоря, что он не представляет интереса для истории арифметики и что идеябезграничным и ограничивающим, о котором говорили в разделе 2.1.
Как предлагалБарнет [Burnet 1948: 288–9], четные числа неограниченные, потому что у них нетлимита на разделение на две половины (..|..), в то время как у четных есть предел,т. е. они могут делиться только на неровные части (..|...). Буркерт считал такиеинтерпретации мало вероятными [Burkert 1972: 33 n.
27]. На наш взгляд, этаинтерпретация выглядит справедливо, но только как возможная интерпретациядревнего определения четных и нечетных чисел Филолая, а не как ее причина.Однако, здесь мы не будем углубляться в эту плодотворную идею. — Ср. и [Huffman1993: 185, 191]: «As in the case of εἶδος, there is no reason to assume that the simple useof the word μορφή implies that Philolaus is referring to the representation of numbers byshapes in the Pythagorean pebble arithmetic.
Parmenides F8.53 shows that for a Presocraticthe use of μορφή need have no reference to physical shape.»383 [Жмудь 2012: 226, 226–7 сн. 80]. Ср. [Van der Waerden 1961: 108ff].384 [Knorr 1975: 135–6].136о камешках идет от Платона.385 Этот вывод соотносится с оценкой Буркерта,что до Архита пифагорейская арифметика состояла из «заимствованных увавилонян формул, числовой мистики и туманной спекуляции о четном инечетном».386В одной из последних работ на эту тему Нец доказывает387, что веськонцепт «псефической арифметики» ошибочен и что целые книги (напр.[Knorr 1975]) написаны на основе, по сути, неправильной идеи — «гипотезыБекера».
Он считает, что «камешки» — это просто метоним для«калькуляцию», которая в это время была связана со всеприсутствующимабакусом. Из этого следует, что все, что мы знаем об Эврите, Эпихарме и т. д.(где речь идет о «numbers-as-constituted-by-counters») не говорит ни о какомспециальном знании. Для греков числа — «counters». Более того, фрагментЭпихарма, который приводят как ключевое свидетельство о «псефическойарифметике» и теории «четного и нечетного» в V веке, возможно, не являетсяподлинным.
«Знание» публики по данному вопросу не должно никогоудивлять — они все знали, что такое абакус.388Нец находит источники заблуждения о «псефической арифметике» в кратковышеописанном нами толковании Бекера; как напоминает Нец, толкованиебыло предложено Барнетом еще в конце XIX века 389 и потом разработаносамим Бекером в 1936 г. «Гипотеза Бекера» — это заблуждение осуществовании «специфической формы раннепифагорейской арифметики» ивера в то, что фрагменты «Начал» (прежде всего IX.21–34) являются копиейэтой древней арифметики.390 Нец делает вывод похожий на вывод Буркерта,385 [Philip 1966: 203]. По его словам [1966: 103] «we must, however, be cautious in inferringfrom a supposed use of psephoi conclusions as to number theory that seem obvious to us».386 Ср. [Жмудь 2012: 243 сн. 157], [Burkert 1972: 427ff].387 [Netz 2014: 178–9].388 [Netz 2014: 179 n.
36].389 [Burnet 1948: 99–107].390 Бекер считал, что все эти теоремы можно продемонстрировать с помощью древнегопифагорейского метода представления чисел с помощью камешков («псефов»):[Becker 1936: 538].137что первым и последним математиком у ранних пифагорейцев был Архит.391Какмывидим,интерпретациивсеэтипифагорейскойаргументыобосновываются«математики»какчастиврамкахпредысториисегодняшней математики. Если отбросить этот компонент, остается факт, чтонекое занятие числами (в доаристотелевском смысле) существовало.
И то, чтооно не имеет ценности для истории математики (как говорил Филип), никакне означает, что оно не имеет значения для истории мысли.Значит, на наш взгляд, в данном случае нет причин не доверятьАристотелю,потомучтопредложеннаястандартнаяинтерпретацияпсефической арифметики согласуется с независимыми свидетельствами.Место теории четного и нечетного соответствует важности этих концептовдля Филолая.
Как правильно отмечает Лучич, псефами невозможнопредставить число как абстрактный концепт, и этот факт соответствуетнашим выводам о несовместимости аристотелевского концепта числа смыслительными феноменами, которые мы находим во фрагментах Филолая ив практике Эврита (связь с Эвритом отмечал и Норр 392). Также с этимидеально согласуется и практика конструирования «треугольных чисел», и,возможно, «Петрон» (подраздел 2.2.1). Как добавляет Лучич, наверное, уже всередине IV века камешки не были основным средством арифметики 393; этоможно предполагать с большой уверенностью, потому что до этого появиласьрадикально новая идея числа; об этом поговорим в подразделе 2.3.4.Отрицание«математической»ценностипсефическойарифметики,возможно, частично связано и с тем, что ее достижения кажутсянезначительными. Попробуем показать, что это не совсем так.391 В таком случае стоит сделать вывод, что вся пифагорейская «математика» до Архитабыла перформансами Эврита и метафизикой Филолая: [Netz 2014: 183].392 [Knorr 1975: 144, 144 n.
49]: «For there the operation of marking out by pebbles the figureof a living thing, like a man or a horse, to determine its proper number, is compared withthe practice of “bringing numbers into the shape of triangle and square”.» Норр в рамкахсвоего труда не разрабатывал дальше это существенно важное сравнение; мывернемся к нему ниже.393 [Lučić 2015b: 2.1].1382.3.4. Лекция Феодора и древнее доказательствоРезультат изучения природы первого открытия несоизмеримости вподразделе 2.3.2 неудовлетворителен. С одной стороны, мы имеем,кажущееся правдоподобную демонстрацию с помощью квадрата, но с другой,убедительныесвидетельстваобарифметическойприродераннепифагорейской математики в V веке. Однако у нас есть и другиесвидетельства: они касаются пифагорейца Феодора из Кирены, которыйпродолжил дело Гиппаса по исследованию несоизмеримости поколениеспустя.Реконструкцияегодействийбудетспособствоватьлучшемупониманию несоизмеримости в раннем пифагореизме и самой природывозможного доказательства у Гиппаса.Посмотрим на имеющиеся у нас свидетельства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
