Диссертация (1137475), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ñëåäîâàòåëüíî, ℘01 (u, τ 0 ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ òåìèæå ïåðèîäàìè.• ζ1 (u + 1, τ 0 ) = ζ1 (u, τ 0 ) è ζ1 (u + τ 0 , τ 0 ) = ζ1 (u, τ 0 ) − 2πi, îòêóäàñëåäóåò, ÷òî ζ1 (u + ξk , τ 0 ) − ζ1 (u + ξj , τ 0 ) ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîéôóíêöèåé îò u ñ ïåðèîäàìè 1 è τ 0 .(1)(2)Ïîýòîìó, Fjk , Fjk , Gjk è, êàê ñëåäñòâèå, Fjk (u) ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îò u ñ ïåðèîäàìè 1 è τ 0 . Âîçìîæíûå ïîëþñà â ïàðàëëåëîãðàììå, íàòÿíóòîì íà 1 è τ 0 , åñòü u = −ξk è u = −ξj .Ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ îêîëî u = 0 :ζ1 (u, τ 0 ) =1+O(u),u℘1 (u, τ 0 ) =1+O(1),u2℘01 (u, τ 0 ) = −2+O(u).u3(159)Èñïîëüçóÿ èõ, ïðîâåðèì ïðåäïîëàãàåìûé ïîëþñ u = −ξk . Ïîäðîáíîâûïèøåì òîëüêî ñèíãóëÿðíûå ÷ëåíû21 11 −+ O(u) ++ O(1)−Gjk =2(4πi)2(u + ξk )3(4πi)2 u + ξk1000−ζ1 (−ξk + ξj , τ ) + (u + ξk )℘1 (−ξk + ξj , τ )ζ1 (ξj , τ )+ O(1) −(u + ξk )21 1−−+ O(1) ℘1 (−ξk + ξj , τ 0 )+2(4πi)u + ξk+ ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû =1 11ζ1 (ξj ) − ζ1 (−ξk + ξj )=−+++2332(4πi)(u + ξk )(u + ξk )(u + ξk )2℘1 (−ξk + ξj ) ℘1 (−ξk + ξj )+++ O(1) .u + ξku + ξkÑîîòâåñòâåííî, ìû ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèÿ âáëèçè u = −ξk :Gjk1=(4πi)2ζ1 (ξj , τ 0 ) − ζ1 (−ξk + ξj , τ 0 )2℘1 (ξj − ξk , τ 0 )++ O(1) ,(u + ξk )2u + ξk(160)11(1)Fjk =+ O(1) ,(161)4πi (u + ξk )252(2)Fjk11=−+ O(1) .4πiu + ξk(162)Ïîäñòàâëÿÿ èõ â (158), ìû ìîæåì ðàçëîæèòü Fjk (u) îêîëî u = −ξkñëåäóþùèì îáðàçîì:1∂ξk ∂τ111∂ 2τFjk (u) =−+4πi (u + ξk )2 ∂λj ∂λk 4πi u + ξk ∂λj ∂λk12℘1 (ξj − ξk , τ 0 ) ∂τ ∂τζ1 (ξj , τ 0 ) − ζ1 (−ξk + ξj , τ 0 )+++O(1) =(4πi)2(u + ξk )2u + ξk∂λj ∂λk1∂ξk ∂τ11+=4πi (u + ξk )2 ∂λj ∂λk (4πi)2ζ1 (ξj , τ 0 ) − ζ1 (−ξk + ξj , τ 0 )(u + ξk )2∂τ ∂τ+∂λj ∂λk112℘1 (ξj − ξk , τ 0 ) ∂τ ∂τ∂ 2τ−+ O(1).+u + ξk∂λj ∂λk 4πi u + ξk ∂λj ∂λkÇàïèøåì ýòî êàêFjk (u) =f2f1++ O(1),(u + ξk )2 u + ξkãäå ∂τ ∂ξk1 00+ζ1 (ξj , τ ) − ζ1 (−ξk + ξj , τ ),∂λj 4πi∂λj212 ∂τ ∂τ∂τ℘1 (ξj − ξk , τ 0 ) −.f1 =4πi 4πi ∂λj ∂λk∂λj ∂λk1 ∂τf2 =4πi ∂λkÏîýòîìó, åñëè ∂τ∂ξk1 00=ζ1 (−ξk + ξj , τ ) − ζ1 (ξj , τ ),∂λj4πi∂λj(163)∂ 2τ1∂τ ∂τ=℘1 (ξk − ξj , τ 0 )∂λk ∂λj2πi∂λk ∂λj(164)äëÿ âñåõ j = 1, .
. . , N , j 6= k , òîãäà Fjk (u) ðåãóëÿðíà íà u = −ξk . Àíàëîãè÷íî, åñëè ýòè óðàâíåíèÿ ñ ïåðåñòàâëåííûìè j è k óäîâëåòâîðÿþòñÿäëÿ âñåõ k = 1, . . . , N , k 6= j , òîãäà Fjk (u) ðåãóëÿðíà ïðè u = −ξj .53Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (155) è (156) âûïîëíÿþòñÿ äëÿ âñåõj, k = 1, . .
. , N , j 6= k . Òîãäà Fjk (u) - ðåãóëÿðíàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé. Òî, ÷òî Fjk (0) = 0, ëåãêî óâèäåòü,òàê êàê íóëþ ðàâíî êàæäîå èç ñëàãàåìûõ:1 (1)00=℘1 (ξk ), τ ) − ℘1 (ξk , τ ) = 0 = Fkj (0),4πi1 (2)0000Fjk (0) =−ζ1 (ξk , τ ) + ζ1 (ξk , τ ) + ζ1 (ξj , τ ) − ζ1 (ξj , τ ) = 0,4πi1 00000000Gjk (0) =℘ (ξk , τ ) − ℘1 (ξj , τ ) − ℘1 (ξk , τ ) + ℘1 (ξj , τ ) +2(4πi)2 11 000+ζ1 (ξk , τ ) − ζ1 (ξj , τ ) + ζ1 (ξj , τ ) ℘1 (ξk , τ 0 )−2(4πi)1 000−ζ1 (ξj , τ ) − ζ1 (ξk , τ ) + ζ1 (ξk , τ ) ℘1 (ξj , τ 0 )+2(4πi)1 0000−ζ1 (ξk , τ )℘1 (ξk , τ ) + ζ1 (ξj , τ )℘1 (ξj , τ ) =+(4πi)21 =ζ1 (ξk , τ 0 )℘1 (ξk , τ 0 ) − ζ1 (ξj , τ 0 )℘1 (ξj , τ 0 ) − ζ1 (ξk , τ 0 )℘1 (ξk , τ 0 )+2(4πi)00+ζ1 (ξj , τ )℘1 (ξj , τ ) = 0.(1)Fjk (0)Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàëîæåíèè óñëîâèé (155) è (156), Fjk (u) = 0, ÷òîîçíà÷àåò, ÷òî ýëëèïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà Ëåâíåðà (154) ñîâìåñòíà.Ñèñòåìà óðàâíåíèé (155), (156) ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì àíàëîãîìçíàìåíèòîé ñèñòåìû Ãèááîíñà-Öàðåâà [3, 4]. Äàííàÿ ñèñòåìà óæå ïîÿâëÿëàñü â ëèòåðàòóðå [62, 63, 64, 65], íî â äðóãèõ çàäà÷àõ.5.3Îáîáùåííûé ìåòîä ãîäîãðàôà ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìû ðåäóöèðîâàëè èåðàðõèþ dDKP äî ñèñòåìûýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ëåâíåðà è âñïîìîãàòåëüíûõ óðàâíåíèé∂λi (t)∂λi (t)= φi,n ({λj (t)),∂tn∂t0(165)ãäå φi,n òàêèå æå êàê â (150).
Ìû ïîêàæåì, ÷òî ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèéâ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñàìîñîãëàñîâàíà è ìîæåò áûòüðåøåíà ïîñðåäñòâîì îáîáùåííîãî ìåòîäà ãîäîãðàôà [41].54Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèåì ñîâìåñòèìîñòè ñèñòåìû (165) ÿâëÿåòñÿ∂λj φi,n∂λj φi,n0=φj,n − φi,nφj,n0 − φi,n0äëÿ âñåõ i 6= j , n, n0 .Óáåäèìñÿ â ýòîì. Óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè íàõîäèì èç ðàâåíñòâà âòîðûõïðîèçâîäíûõ∂ ∂λi∂ ∂λi=.∂t0n ∂tn∂tn ∂t0nÐàññìîòðèì ëåâóþ ñòîðîíó äàííîãî ðàâåíñòâà è âîñïîëüçóåìñÿ (165) :∂∂λi∂φi,n ∂λj ∂λi∂ 2 λi∂ 2 λi(φ=)=+φ.i,ni,n∂t0n ∂tn∂t0n∂t0∂λj ∂t0n ∂t0∂t0n ∂t0Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ (165) åùå ðàç äëÿ∂λj∂t0n :∂λj ∂λi∂λi∂λj ∂λi∂φi,n∂∂φi,n∂φi,n0 ∂λj ∂λiφj,n0+φi,n(φi,n0)=φj,n0+φi,n.∂λj∂t0 ∂t0∂t0∂t0∂λj∂t0 ∂t0∂λj ∂t0 ∂t0Ïîëó÷èëè∂ 2 λi=∂t0n ∂tn∂φi,n∂φi,n0φj,n0 +φi,n∂λj∂λj∂λj ∂λi.∂t0 ∂t0∂ 2 λi=∂tn ∂t0n∂φi,n∂φi,n0φj,n +φi,n0∂λj∂λj∂λj ∂λi,∂t0 ∂t0Àíàëîãè÷íî∂φi,n∂φi,n0∂φi,n0∂φi,nφj,n0 +φi,n =φj,n +φi,n0 ,∂λj∂λj∂λj∂λj∂φi,n∂φi,n0(φj,n0 − φi,n0 ) =(φj,n − φi,n ).∂λj∂λjÎòñþäà ïîëó÷àåì∂λj φi,n0∂λj φi,n=.φj,n − φi,nφj,n0 − φi,n0Èíà÷å ãîâîðÿ, ìû ïîêàçàëè, ÷òîΓij :=∂λj φi,nφj,n − φi,n55(166)íå çàâèñèò îò n, ò.
å. (166) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ n îäíîâðåìåííî. Ýòîýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî îòíîøåíèå∂λj Q(u(z), ξi , τ ),Q(u(z), ξj , τ ) − Q(u(z), ξi , τ )(167)ãäå Q - ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ (151), íå çàâèñèò îò z .  ÏðèëîæåíèèVI íåçàâèñèìîñòü (167) îò z äîêàçàíà ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì, è íàéäåíûêîýôôèöèåíòû Γij . Ò.å. ïîëó÷àåì:∂τ1 S 0 (ξj ) 00S(ξ−ξ).Γij = −ij4πi S 0 (ξi )∂λjÒåîðåìà 5.2.i = 1, . . . , N :(168)Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó äëÿ Ri = Ri ({λj }),∂Ri= Γij (Rj − Ri ),∂λji, j = 1, .
. . , N,i 6= j,(169)ãäå Γij îïðåäåëÿåòñÿ êàê â(168) (ïðè N = 1 óñëîâèå (169) èñ÷åçàåò).Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå:(i) Ñèñòåìà (169) ñîâìåñòíà â ñìûñëå [41].(ii) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Ri óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå (169). Åñëè λi (t)îïðåäåëÿåòñÿ íåÿâíî ñîîòíîøåíèåì ãîäîãðàôàXt0 +φi,n ({λj })tn = Ri ({λj }),(170)n≥1òîãäà λj (t) óäîâëåòâîðÿåò (165).Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ (i) ïðåäëîæåíèÿ çàìåòèì, ÷òî Γij (168) ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ëîãàðèôìè÷åñêóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè gi ñëåäóþùèì îáðàçîì:Γij =1 ∂log gi ,2 ∂λj(171)ãäå∂τ1(S 0 (ξi ))2.(172)4πi∂λiÄîêàçàòåëüñòâî (171) äàíî â Ïðèëîæåíèè VII. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîgi =∂Γij∂Γik=,∂λk∂λj56i 6= j 6= k.(173)Ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ñîâìåñòèìîñòè Öàðåâà.
Ýòî îçíà÷àåò,÷òî ñèñòåìà (165) ïîëóãàìèëüòîíîâà. Îñíîâíûì ãåîìåòðè÷åñêèì îáúåêòîì, ñâÿçàííûì ñ ïîëóãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé, ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíàÿìåòðèêà. Âåëè÷èíû gi = gii ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòàìè ýòîé ìåòðèêè, àΓij = Γiij ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñèìâîëàìè Êðèñòîôôåëÿ. äåéñòâèòåëüíîñòè óñëîâèÿìè ñîâìåñòèìîñòè ñèñòåìû (169) ÿâëÿþòñÿ (173) âìåñòå ñ∂Γij= Γij Γjk + Γik Γkj − Γik Γij ,∂λki 6= j 6= k.(174)Âèäíî, ÷òî (173) ñëåäóåò èç (174), ïîñêîëüêó åãî ïðàâàÿ ÷àñòü î÷åâèäíîñèììåòðè÷íà ïðè ïåðåñòàíîâêå j è k . Êàê ïîêàçàíî â [41], óðàâíåíèå(174), â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ (166) è óñëîâèÿ (173).
ÂÏðèëîæåíèè VIII äàåòñÿ íåçàâèñèìîå ïðÿìîå äîêàçàòåëüñòâî óðàâíåíèÿ(174), íà÷èíàÿ ñ ÿâíîãî âèäà Γij .Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ (ii) ïðåäëîæåíèÿ ïðàêòè÷åñêè àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû (10) ñòàòüè Ñ. Öàðåâà [41]. Îòëè÷èå îò[41] ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ â íàøåì ñëó÷àåáåñêîíå÷íî. Íåñìîòðÿ íà ýòó ðàçíèöó, ìåòîä Öàðåâà äåéñòâèòåëüíî ðàáîòàåò. Äëÿ ïîëíîòû ìû ïðèâîäèì çäåñü äîêàçàòåëüñòâî. (Äàëüíåéøèåðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû ïðèâåäåííûì â [40].) Äèôôåðåíöèðóåì ñîîòíîøåíèåXφi,n ({λj })tn = Ri ({λj })t0 +n≥1ïî t01+X ∂φi,n ∂λjn≥1∂λj ∂t0tn =∂Ri ∂λj.∂λj ∂t0∂Ri X ∂φi,n ∂λj1=(−tn ).∂λj n≥1 ∂λj∂t0Îòêóäà ïîëó÷àåìNXj=1ãäåMij∂λj= 1,∂t0∂Ri X ∂φi,nMij :=−tn .∂λj n≥1 ∂λj57(175)(176)Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (170) ïî tk .
Ëåâàÿ ñòîðîíà äàñò0+X ∂φi,nX∂ X∂tn X ∂φi,n ∂λj(φi,n tn ) =tn +φi,n=tn + φi,k .∂tk n≥1∂t∂t∂λ∂tkkjkn≥1n≥1n≥1Ïîëó÷èìX ∂φi,n ∂λj∂λj ∂tkn≥1tn + φi,k =Îòêóäà∂Ri X ∂φi,n−∂λj n≥1 ∂λj!∂Ri ∂λj.∂λj ∂tk∂λjtn = φi,k .∂tkÎêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìNXMijj=1∂λj= φi,k .∂tk(177)Èñïîëüçóÿ (166), (169) è ñîîòíîøåíèÿ ãîäîãðàôà (170), âûðàæåíèåäëÿ Mij ïðèíèìàåò âèäMij =X∂Ri X ∂φi,n−tn = Γij (Rj − Ri ) −Γij (φj,n − φi,n )tn =∂λj n≥1 ∂λjn≥1= Γij!#!"Rj −Xφj,n tn−Ri −n≥1Xφi,n tn= Γij (t0 − t0 ) = 0,n≥1åñëè i 6= j . (Çäåñü âàæåí òîò ôàêò, ÷òî êîýôôèöèåíòû Γij , îïðåäåëåííûåâ (166), íå çàâèñÿò îò n.) Ñëåäîâàòåëüíî, (175) è (177) ñâîäÿòñÿ êMiiÎòêóäà∂λi= 1,∂t0Mii∂λi= φi,k .∂tk∂λi1∂λi= φi,k= φi,k,∂tkMii∂t0÷òî äîêàçûâàåò (165).585.4Ìåòðè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû giËåììà 5.1. Ìåòðèêà gi ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåòðèêó åãîðîâñêîãî òè-ïà, ò.å. èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå∂gi∂gk=.∂λk∂λi(178)Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
