Диссертация (1137475), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ðàññìîòðèì òàêæå åãî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðè z2 → ∞.18Ïîäñòàâèâ ðàçëîæåíèåp(z) = z −u+ ...,z2â (40), ïîëó÷àåì−D(z1 )(z −∂t p(z1 ) − ∂t1 p(z2 )u)=− 1.z2p(z1 ) − p(z2 )Äàëåå ó÷èòûâàåì ∂t1 z2 = 0 è D(z1 )z2 , ïîëó÷àåì−1∂t p(z1 )D(z1 )u = − 1.z2−z2È îêîí÷àòåëüíîD(z1 )u = −∂t1 p(z1 ).2.4.1 ÐåäóêöèÿÔóíêöèÿ z(p) ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê p(z), ìû ñ÷èòàåì åå îäíîëèñòíîéôóíêöèåé âáëèçè áåñêîíå÷íîñòè.
Êîýôôèöèåíòû ui çàâèñÿò îò äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ t1 , t2 , t3 . . . (÷àñòî èõ íàçûâàþò "âðåìåíàìè")z(p) = p +u1 u2+ 2 + ...ppÌû ìîæåì ðàññìîòðåòü ñëåäóþùóþ ðåäóêöèþ - ïóñòü z(p) çàâèñèò îòâñåõ âðåìåí tj ÷åðåç ôóíêöèþ U = U ({tj }). Ò.å.z(p; {tj }) = z(p, U ),U = U ({tj }).Òåïåðü ó íàñ u1 , u2 , u3 , ... ñòàëè çàâèñèìûìè, îíè âñå âûðàæàþòñÿ ÷åðåçîäíó ôóíêöèþ U = u1 .Óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü îáðàòíóþ ôóíêöèþ p(z). Ïðèìåíèì ïðàâèëàäèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, òîãäà ëåâàÿ ñòîðîíà óðàâíåíèÿ(40) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:X z −k ∂U ∂p(z2 )1k≥1k ∂tk ∂U"=X z −k ∂U1k≥1k ∂tk19#∂U p(z2 ) = [D(z1 )U ] ∂U p(z2 ).Öåëèêîì[D(z1 )U ] ∂U p(z2 ) = −∂ log(p(z1 ) − p(z2 )) ∂U.∂U∂t1Çàòåì[D(z1 )U ] ∂U p(z2 ) = −∂U p(z1 ) − ∂U p(z2 )∂t1 U.p(z1 ) − p(z2 )Òåïåðü ó÷òåì, ÷òîD(z)U = −∂t1 p(z) = −∂p(z)∂t U,∂U 1ñëåäîâàòåëüíî,−∂t1 U ∂U p(z1 )∂U p(z2 ) = −∂U p(z1 ) − ∂U p(z2 )∂t1 U.p(z1 ) − p(z2 )Òàê êàê ∂t1 U 6= 0, ìû ìîæåì ñîêðàòèòü íà íåãî îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãîóðàâíåíèÿ:∂U p(z1 ) − ∂U p(z2 ),p(z1 ) − p(z2 )11−,p(z1 ) − p(z2 ) =∂U p(z2 ) ∂U p(z1 )11p(z1 ) += p(z2 ) +.∂U p(z1 )∂U p(z2 )∂U p(z1 )∂U p(z2 ) =Ñëåäîâàòåëüíî, ξ(U ) := p(z) +÷åííîå óðàâíåíèå êàê−1∂U p(z)íå çàâèñèò îò z .
Ïåðåïèøåì ïîëó-1= p(z) − ξ(U ).∂U p(z)Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå Ëåâíåðà äëÿ îáðàòíîé ôóíêöèèp(z)1∂p(z)=−.∂Up(z) − ξ(U )(41)Óðàâíåíèå äëÿ z(p), ñîîòâåñòâåííî, áóäåò∂z(p)1∂z(p)=.∂Up − ξ(U ) ∂p(42)Çäåñü ξ(U ) ìîæåò áûòü ëþáîé íåïðåðûâíîé (äåéñòâèòåëüíîçíà÷íîé äëÿãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà) ôóíêöèåé îò U . ×òîáû ïîíÿòü ãåîìåòðè÷åñêèé20ñìûñë ξ(U ), âûáåðåì òî÷êó z2 = z∗ , òàêóþ, ÷òî ∂U p(z∗ ) = ∞, òîãäàξ(U ) = p(z∗ , U ).Äëÿ çàäàííîé ξ(U ) ðåøåíèÿ õîðäîâîãî óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà ÿâëÿþòñÿàíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè z(p, U ), êîòîðûå îñóùåñòâëÿþò îäíîçíà÷íîå êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå èç âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç îòðîñòêà, íà÷èíàþùåãîñÿ èç òî÷êè äåéñòâèòåëüíîé îñèâ z ïëîñêîñòè. Ïðè ôèêñèðîâàííîé íîðìèðîâêå íà áåñêîíå÷íîñòèz(p) = p +U+ O(p−2 ),p(43)îòîáðàæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Ñ èçìåíåíèåì U , êîíå÷íàÿ òî÷êà îòðîñòêà äâèæåòñÿ ïî ôèêñèðîâàííîé êðèâîé â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ôîðìà êîòîðîé îïðåäåëåíà ôóíêöèåé ξ(U ).
U âñåãäà îòðèöàòåëüíà è ðàñòåò ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñðîñòîì "ðîñòêà" -ðàçðåçà.Çàâèñèìîñòü U îò âðåìåí tj îòïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ(41). Ïîäðîáíî:D(z)U = −∂t1 p(z),X z −k∂t1 U∂p(z) ∂U== ∂t1 UBk0 (ξ(U )) .D(z)U = −∂U ∂t1p(z) − ξ(U )kk≥1Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü óðàâíåíèåì Ëåâíåðà.Ïîëó÷èëîñü, ÷òî èåðàðõèÿ dKP ðåäóöèðîâàëà ê áåñêîíå÷íîìó ÷èñëóóðàâíåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà íà U∂U∂U= Bk0 (ξ(U )).∂tk∂t1(44)Èõ îáùåå ðåøåíèå äàåòñÿ â âèäåXtk Bk0 (ξ(U )) = 0.k≥1Íàäî åùå îòìåòèòü ñîîòíîøåíèåXk≥1tk∂U= 0,∂tkêîòîðîå ñðàçó ñëåäóåò èç (44) è (45).21(45)2.4.2 ÏðèìåðÐàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü ξ(U ) = 0.
Òîãäà óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà ïðèìóòâèä∂p(z)1=−,∂Up(z)∂z(p) 1 ∂z=.∂Up ∂p√2Òîãäà, ó÷èòûâàÿ íîðìèðîâêó (43), p(z)√ = z − 2U îòâå÷àåò ïðÿìîìóðàçðåçó âäîëü ìíèìîé îñè ââåðõ äî i −2U :p(z∗ , U ) = ξ(U ) = 0,z∗2 = 2U = i2 (−2U ),√z∗ = i −2U ,U âñåãäà îòðèöàòåëüíî.223Áåçäèñïåðñèîííûå Ïôàôôîâû èåðàðõèè3.1Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà3.1.1 Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏÈòàê, êàê ìû óæå îòìå÷àëè âî ââåäåíèè, äàííàÿ áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè1∂t D(z)F − ∂t1 D(ζ)FeD(z)D(ζ)F 1 − 2 2 e2∂t0 (2∂t0 +D(z)+D(ζ))F = 1 − 1,z ζz−ζ(46)2 −2∂t0 D(z)F2 −2∂t0 D(ζ)F−ζ e−D(z)D(ζ)F z ee= z +ζ −∂t1 2∂t0 +D(z)+D(ζ) Fz−ζ(47)íà ôóíêöèþ F = F (t) îò áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà (äåéñòâèòåëüíûõ) âðåìåít = {t0 , t1 , t2 , .
. .}, ãäåX z −k∂tk .(48)D(z) =kk≥1 äàëüíåéøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð(49)∇(z) = ∂t0 + D(z),êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå óäîáíåå, ÷åì D(z). Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûåôóíêöèèp(z) = z − ∂t1 ∇(z)F,w(z) = z 2 e−2∂t0 ∇(z)F ,(50)è ñ èõ ïîìîùüþ ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ (46), (47) â áîëåå êîìïàêòíîé èêðàñèâîé ôîðìåeD(z)D(ζ)F11−w(z)w(ζ)=p(z) − p(ζ),z−ζ(51)w(z) − w(ζ)= p(z) + p(ζ).(52)z−ζÏåðåìíîæèâ ýòè óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå22F00−122F00−1p (z) − ew(z) + w (z) = p (ζ) − ew(ζ) + w (ζ) ,2e−D(z)D(ζ)F +2∂t0 Fîòêóäà ëåãêî óâèäåòü, ÷òî âåëè÷èíà p (z) − ew(z) + w (z) íå çàâèñèò îò z (çäåñü è äàëåå ìû èñïîëüçóåì êðàòêîå îáîçíà÷åíèå Fmn =2232F00−12F= ∂t∂m ∂t). Óñòðåìèâ z ê áåñêîíå÷íîñòè, íàéäåì, ÷òî ýòî âûðàæåíèå ðàâíîn2.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì, ÷òî p(z) è w(z) óäîâëåòâîðÿþòF02 − 2F11 − F01àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ [17]22−1p (z) = R w(z) + w (z) − V,(53)2ãäå R = eF00 , V = 2F11 + F01− F02 íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå ïàðàìåòðû (R - ïîëîæèòåëüíî). Ýòî óðàâíåíèå çàäàåò àëãåáðàè÷åñêóþ êðèâóþ,ïðè÷åì w, p àëãåáðàè÷åñêèå ôóíêöèè íà íåé.
Ëîêàëüíûé ïàðàìåòð âáåñêîíå÷íîñòè ýòî z −1 . Êàê íåòðóäíî âèäåòü èç (50), ôóíêöèè p è wèìåþò, ñîîòâåòñòâåííî, ïðîñòîé è äâîéíîé ïîëþñû íà áåñêîíå÷íîñòè.3.1.2 Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÒîäûÄëÿ öåëîñòíîñòè òåêñòà ïðèâåäåì åùå ðàç óðàâíåíèÿ áåçäèñïåðñèîííîéèåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû:ze−∂r D(z)F − ζe−∂r D(ζ)F=,ez−ζ(54) ∂r D̄(z̄)F∂r D̄(ζ̄)F1 ∂s ∂s −∂r +D̄(z̄)+D̄(ζ̄) Fz̄e− ζ̄eeD̄(z̄)D̄(ζ̄)F 1 −e=, (55)z̄ ζ̄z̄ − ζ̄ ze−∂s D(z)F − ζe−∂s D(ζ)F1 ∂r ∂s +∂r +D(z)+D(ζ) FD(z)D(ζ)Fe=,e1−zζz−ζ(56) −∂s D̄(z̄)F−∂s D̄(ζ̄)Fz̄e− ζ̄e1 −∂r ∂s −∂r +D̄(z̄)+D̄(ζ̄) Fe=,eD̄(z̄)D̄(ζ̄)F 1 −z̄ ζ̄z̄ − ζ̄(57) 1 ∂r ∂r +D(z)−D̄(ζ̄) F1 ∂s ∂s +D(z)+D̄(ζ̄) Fe−D(z)D̄(ζ̄)F 1 −e=1−e, (58)z ζ̄z ζ̄ z −∂r ∂s +D(z)+D̄(ζ̄) F − ∂s −∂r +D̄(ζ̄) D(z)F− ∂s +∂r +D(z) D̄(ζ̄)Fe−1= ee−1 .ζ̄(59)−kX z̄∂t̄k ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì àíàëîãîìÇäåñü D̄(z̄) =kD(z)D(ζ)F1 ∂se1−zζ ∂s +∂r +D(z)+D(ζ) Fk≥1äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà (48).Íàáîð âðåìåí â ñëó÷àå èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû áóäåòt = {.
. . , t̄2 , t̄1 , t̄0 , t0 , t1 , t2 , . . .}.24Ñîîòâåòñòâåííî, ó îïåðàòîðà (49) ïîÿâëÿåòñÿ ÷åðòîâàííûé àíàëîã¯∇(z̄)= ∂t̄0 + D̄(z̄). Ñ ýòîãî ìîìåíòà ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ âðåìåíàìè t0 ,t̄0 âìåñòî s, r.Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèèP (z) = ze−(∂t0 +∂t̄0 )∇(z)F ,¯−(∂t0 +∂t̄0 )∇(z)FP̄ (z) = zeW (z) = ze−(∂t0 −∂t̄0 )∇(z)F ,¯(∂t0 −∂t̄0 )∇(z)F,W̄ (z) = ze(60),ñ èõ ïîìîùüþ ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü óðàâíåíèÿ (54)(59) â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìåD(z)D(ζ)FeeD(z)D(ζ)FeD(z)D̄(ζ̄)FeD(z)D̄(ζ̄)F11−P (z)P (ζ)=W (z) − W (ζ) (∂t −∂t̄ )∂t Fe 0 0 0 ,z−ζP (z) − P (ζ) (∂t +∂t̄ )∂t F1=e 0 0 0 ,1−W (z)W (ζ)z−ζ!111−=1−,P (z)P (ζ)W (z)W (ζ)(61) W (z) − W (ζ) = P (z) − P (ζ) e2∂t0 ∂t̄0 F ,ãäå P (ζ) := P̄ (z̄), W (ζ) := W̄ (z̄).
Ðàçäåëèâ ïåðâîå óðàâíåíèå íà âòîðîå,ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèåW (z)+W −1 (z)−e2∂t0 ∂t̄0 F P (z) + P −1 (z) = W (ζ)+W −1 (ζ)−e2∂t0 ∂t̄0 F P (ζ) + P −1 (ζ) ,èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèåW (z) + W −1 (z) − e2∂t0 ∂t̄0 F P (z) + P −1 (z) := Cíå çàâèñèò îò z .
Óñòðåìëÿÿ z → ∞, ìû ìîæåì âûðàçèòü êîíñòàíòó C÷åðåç ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè F : C = 2e−(∂t0 −∂t̄0 )∂t0 F ∂t̄0 ∂t1 F . Ðàçäåëèâòðåòüå óðàâíåíèå â (61) íà ÷åòâåðòîå, ìû ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå, êîòîðîå2∂2 Fãëàñèò, ÷òî C âåùåñòâåííî, ò. å. e∂t0 F ∂t0 ∂t̄1 F = e t̄0 ∂t̄0 ∂t1 F . Ýòî ïåðâîåóðàâíåíèå â (14).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî P (z), W (z) óäîâëåòâîðÿþòóðàâíåíèþ [17]W (z) + W −1 (z) − R2 P (z) + P −1 (z) = C,25(62)ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìèR2 = e2F00̄ ,C = 2eF00̄ −F00 F0̄1 .(63)Ôóíêöèè P̄ , W̄ óäîâëåòâîðÿþò òàêîìó æå óðàâíåííèþ. Êàê è â ñëó÷àåèåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ, ýòî óðàâíåíèå çàäàåò ýëëèïòè÷åñêóþ êðèâóþ; P èW - àëãåáðàè÷åñêèå ôóíêöèè íà íåé, à z −1 ëîêàëüíûé ïàðàìåòð âáëèçè∞.
Êàê âèäíî èç (60), P è W èìåþò ïðîñòûå ïîëþñû íà áåñêîíå÷íîñòè.Äëÿ äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèé óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ ôóíêöèÿìèpP (z)/W (z) = e−∂t̄0 ∇(z)F .(64)Ó ôóíêöèè f ïðîñòîé ïîëþñ íà ∞, à g òàì ðåãóëÿðíà. Êîìïëåêñíî ñî¯ïðÿæåííûå ê íèì ôóíêöèè òàêîâû: f (z) = f¯(z̄) = z̄e−∂t̄0 ∇(z̄)F , g(z) =¯ḡ(z̄) = e−∂t0 ∇(z̄)F .  òåðìèíàõ ýòèõ ôóíêöèé óðàâíåíèå ýëëèïòè÷åñêîéêðèâîé èìååò âèä:f (z) =pP (z)W (z) = ze−∂t0 ∇(z)F ,g(z) =R2 (f 2 g 2 + 1) + Cf g = f 2 + g 2 .(65)Îòìåòèì ñèììåòðèþ f ↔ g . Ôóíêöèè f¯(z), ḡ(z) óäîâëåòâîðÿþò òàêîìóæå óðàâíåíèþ.263.2Ýëëèïòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà3.2.1 Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏÒåïåðü êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì ïðîäîëæèòü èññëåäîâàíèå èåðàðõèè ñ ïîìîùüþ ýëëèïòè÷åñêîé ïàðàìåòðèçàöèè. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ òýòà-ôóíêöèé ßêîáè θa (u) = θa (u|τ ) (a == 1, 2, 3, 4). Èõ îïðåäåëåíèÿ è îñíîâíûå ñâîéñòâà îïèñàíû â ÏðèëîæåíèèI.Òåîðåìà 3.1.
Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ äîïóñêàåò ýëëèï-òè÷åñêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ, è â òàêîé ôîðìå âìåñòî (51), (52) è (50)çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì:θu(z)−u(z)|τ112,z1−1 − z2−1 e∇(z1 )∇(z2 )F =(66)θ4 u(z1 )−u(z2 )|τñ äèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì(67)∇(z) = ∂t0 + D(z),è âñïîìîãàòåëüíûì óðàâíåíèåì , îïðåäåëÿþùèì ôóíêöèþ u(z)e∂t0 ∇(z)F = zθ1 (u(z)|τ ).θ4 (u(z)|τ )(68)Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîíàäîáÿòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû.Ëåììà 3.1. Óðàâíåíèåöèþ.(53) äîïóñêàåò ýëëèïòè÷åñêóþ ïàðàìåòðèçà-Äîêàçàòåëüñòâî. Ýëëèïòè÷åñêàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ óðàâíåíèÿ (53) èìååò âèä:θ42 (u(z))w(z) = 2,θ1 (u(z))p(z) = γ θ42 (0)θ2 (u(z)) θ3 (u(z)),θ1 (u(z)) θ4 (u(z))(69)ãäå u(z) = u(z, t) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò z , γ íå çàâèñèò îò z , èR = γ θ2 (0) θ3 (0) ,V = −γ2θ24 (0)+θ34 (0).(70)Íà äàííîì ýòàïå γ ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð, íî ìû óâèäèì, ÷òî åãî íåëüçÿ ïîëîæèòü ðàâíûì ôèêñèðîâàííîìó ÷èñëó, íàïðèìåð, åäèíèöå, ïîòîìó27÷òî îí ÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé, òàê æå êàê ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð τ : γ = γ(t), τ = τ (t).
 òàêîé ïàðàìåòðèçàöèè óðàâíåíèå êðèâîéçàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 2 222(u)(u)θθ(u)(u)θθ321442244θ4 (0) 2= θ2 (0)θ3 (0) 2+− θ2 (0) + θ3 (0) . (71)θ1 (u) θ42 (u)θ1 (u) θ42 (u)Ò.å. ìû ïðîñòî ïîäñòàâèëè ÿâíûé âèä äëÿ p è w â óðàâíåíèå ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé è ñîêðàòèëè γ 2 ñ îáåèõ ñòîðîí. Ýòî óðàâíåíèå ìîæíîäîêàçàòü, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå òîæäåñòâà äëÿ òýòà-ôóíêöèé, èëè ñðàâíåíèåì àíàëèòè÷åñêèõ ñâîéñòâ îáåèõ ñòîðîí.  äàííîì ñëó÷àå íàì áóäåòóäîáíåå èñïîëüçîâàòü âòîðîé ñïîñîá. Ïîëþñû, î÷åâèäíî, ñîâïàäàþò.
Òåïåðü ïðîâåðèì, ÷òî íóëè ëåâîé ñòîðîíû îáíóëÿþò ïðàâóþ.Íóëü u = 12 . Ïîäñòàâèì u + 12 , à çàòåì ïîëîæèì u = 011= θ2 (u), θ4 u += θ3 (u),θ1 u +22 2 2θ(u)θ(u)322244θ2 (0)θ3 (0) 2+− θ2 (0) + θ3 (0) =θ2 (u) θ32 (u) 44θ(u)+θ(u)322244= θ2 (0)θ3 (0)− θ2 (0) + θ3 (0) ,θ22 (u)θ32 (u) 4θ3 (0) + θ24 (0)4242− θ2 (0) + θ3 (0) = 0.θ2 (0)θ3 (0)θ22 (0)θ32 (0)Òåïåðü ïðîäåëàåì òî æå ñàìîå äëÿ u =1+τθ1= B(u)θ3 (u), θ4 u += B(u)θ2 (u),2 2 2θ(u)θ(u)234422+− θ2 (0) + θ3 (0) =θ2 (0)θ3 (0) 2θ3 (u) θ22 (u) 44θ(u)+θ(u)234422− θ2 (0) + θ3 (0) ,= θ2 (0)θ3 (0)θ22 (u)θ32 (u) 4 θ2 (0) + θ34 (0)2244θ2 (0)θ3 (0)− θ2 (0) + θ3 (0) = 0.θ22 (0)θ32 (0)Ñëåäîâàòåëüíî, îíè îòëè÷àþòñÿ íà êîíñòàíòó. Íàéäåì åå, ïîäñòàâèâu = 0, 2 θ4 (0) θ12 (0)θ22 (u) θ32 (0)22444θ4 (0) 2= θ2 (0)θ3 (0) 2+− θ2 (0) + θ3 (0) ,θ1 (0) θ42 (0)θ1 (0) θ42 (0)1+τu+21+τ2 :2844ζ1 (0) = ζ1 (0) + 0 − θ2 (0) + θ3 (0) .Ïîëó÷èëè, ÷òî êîíñòàíòà ðàâíà íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèå âåðíî, è êðèâàÿ äîïóñêàåò ïàðàìåòðèçàöèþ (69), (70).Ôóíêöèÿ u â (69) çàâèñèò îò z è îò âñåõ âðåìåí: u(z) = u(z, t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
